集合论的评价和理解

现在来讨论一些感兴趣的相关话题。人们对这些话题有不同的看法。对我来说，就是下表中的感叹号！的数量代表了它对我的工作的促进程度。

题目a:集合论的兴趣来源

数学基础/应用于哲学！

数学的应用！！！

历史原因！！！

内部开发！！！！

美女！！！！！！！！！

证明的乐趣！！！！！

泛化！！！！！！

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我们也可以用这些题目来对当前的工作和学者对集合论的评价进行分类，所以下面我们将重点讨论他们的区别。很大程度上，我是因为他们的概括而被数学，然后是数理逻辑所吸引，我认为我的概括是正确的；看来我错了。我感觉例子经常会把你搞糊涂:特殊性质只是陷阱，因为一般情况下不成立。注意“泛化”。我的意思是我宁愿以一般的一阶完备理论为研究对象，也不愿以有限的Morley秩单群为研究对象，但我的信条不是“不要只看树，不要看林”。处理每一个问题，都要根据问题的特点来处理。找到自己领域对其他领域的应用，就是展示别人会感兴趣的东西；但是给你一个问题，为什么不尽最大努力，最大程度的普及呢？当然，如果定理已经证明，附加的推广很普通，那也没意思。

从另一个角度来说，我的很多同事，包括集合论领域的一些最优秀的大脑，他们对自己领域的自卑态度让我很惊讶。面对数学家，他们中的许多人感到自卑。好像这里有数学家，这里有逻辑学家，都是不相干的领域。他们认为数学家真的在更深、更难、更丰富、更有意义的领域工作，所以我们数学逻辑学家必须找到“数学逻辑”这就导致了数学的应用，逻辑学家做了很多工作，就像亚伯拉罕·罗宾逊学派做的那样。现在我喜欢证明数学很多领域的定理，只要可以，但是我不喜欢这种在数理逻辑领域卑躬屈膝的态度。

其他许多人在发挥集合论在数学基础和哲学中的作用方面做了大量的工作。我对此没有异议，但我有疑问。我的感受和很多作家类似:他们理解批评家在文化生活中的作用，但他们认为固守批评家的思想只会产生枯燥的作品，而这些思想本身会因为其内在美而永远闪耀。也有人抱怨集合论失去了“往日的美好时光”。当时被证明是由思想构成的，而不是像现在这样技术化。总的来说，我不是《旧时光》的支持者，因为我当时忽略了你的技术能力，但技术是我的旗帜。很多时候技术并不是实现想法的常规事项，而是对组织、想法等所有环节都起作用。这些技术相当困难，并且通常包含重要的新想法。我的感觉，夸张一点说，就是集合论的美感是永恒的，但它的哲学价值是潮流引导的。而且我感觉这些投诉人的话是矛盾的。比如他们有的说数理逻辑现在比以前更数学化，有的说它处理的东西有意义。对了，这些矛盾的观点在实践中并不矛盾，很多人支持的不止一个。

关于集合论的美感，我指的是在一个结构中定义、定理和证明和谐占有位置的美感。但是我不怕复杂的证明。本科的时候在伯克霍夫-麦克莱的书里发现伽罗瓦理论很美，后来又发现莫利理论及其证明很美。疲惫的读者可能会怒不可遏:“美女？”你可以在你的乱七八糟中找到美的痕迹。“，我只能说各有各的爱好，我的就是这样。

题目b:集合论的框架

ZFC(泽梅洛-弗兰克尔的8个公理+选择公理)！！！！！！！

力法！！！！

内模！！！

大基数！！！

ZF+依赖选择公理(DC)+某些形式的决定性公理！

这是一个合理但重叠的划分。无论如何，我们都在ZFC的框架内证明这个定理。从ZFC框架支持者的角度来看，证明定理就是在ZFC的框架内证明，其他框架都是辅助的，这一点我很赞同。强制法告诉我们，在无法证明一个定理的时候，用大基数来证明一致性，运气好的时候，大基数可以按线性顺序排列来比较大小。最后，使用内部模型来说明大基数是必要的，或者可以获得更好的等价结果。我的感觉是，除了协调的结果，ZFC框架已经覆盖了我们直观的范围，所以一个证明指的是ZFC框架下的一个证明，这当然是ZFC框架合理的有力证明。强化强制法本质上是告诉我们，所有的集合定义域都是同等合法的，所以要研究所有具有特殊代表性的集合定义域，比如能形成的集合L是不具有代表性的。强迫方法表明，在ZFC框架下，证明定理或假设广义连续统假设成立并不重要。这是强迫方法的一个强有力的结论，但我怀疑这种强迫方法的观点会得到支持。从折中的角度来看，强制方法框架和ZFC框架是互补的，一个框架否定了另一个框架中的结果，所以你对一个框架感兴趣，你也会对另一个框架感兴趣。其实我是被逼的，认真对待逼法。我想证明在解决阿贝尔群基数的怀特海问题时，我在Alef 1势集的每个稳定子集上使用菱形定理是正确的，因为它是连续的。[BD]中的强制方法太弱)。