勾股定理的证明

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。它有很长的历史。几乎所有的文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等。)都研究过这个定理。希腊著名数学家毕达哥拉斯(580-568- 501-500)曾经研究过这个定理，所以西方国家称这个定理为毕达哥拉斯定理。据说毕达哥拉斯非常喜欢这个定理。当他在公元前550年左右发现这个定理时，他宰杀了数百头牛羊以感谢上帝的暗示。但是毕达哥拉斯对毕达哥拉斯定理的证明已经失传了。希腊著名数学家欧几里德(公元前330- 275年)在其代表作《几何原本》(第一卷，命题47)中写道，给出了一个很好的证明(如图1):正方形ABFH，AGKC，BCED由直角三角形的直角边AB，AC和斜边BC向外作出，甚至FC，BK作成阿尔⊥德。然后欧几里德以△BCF和△BCK为媒介证明了正方形ABFH和直角BDLM以及正方形ACKG和直角MLEC。

在中国，这个定理的叙述最早见于《周朝并行计算经》(约写于公元前一世纪的西汉)，书中(约1120)有一段话是周公问的，“勾三，练四，弯五”，意思是一个直角三角形的两条右边分别是3和4。以夕阳为钩，以太阳的高度为股，分别乘毕达哥拉斯，分方，邪斜于日。所以这句话很清楚的陈述了勾股定理的内容。三国时的赵爽(约3世纪)，在他的数学文献《毕达哥拉斯方格图》(作为《周髀算经》的注解)中，曾说如果中间的正方形被涂成黄色，则称之为“中黄实”或“差实”。他写道:“根据弦图，可以乘成朱轼2，乘成朱轼4，乘上毕达哥拉斯之差，乘成中黄色立体，加上差立体，也叫弦立体”。如果用现在的符号，可以用A、B、C分别记录钩、股、弦的长度。