矩阵乘积的秩不大于每个矩阵的秩的说明

两个矩阵相乘可能会使一行或一列为零，从而降低秩，但原本为零的行或列相乘后仍然为零，所以秩不能增加，只会保持不变或减少。

证明:因为k是满秩方阵，是可逆的，并且存在k的逆，方程两边同时乘以k的逆，所以。

k逆()=()，第一个括号是β向量组，第二个括号是α向量组。

这说明α向量组可以用β向量组线性表示，所以两个向量组可以互相线性表示，所以两个向量组是等价的。因为等价向量组的秩相同，β向量组的秩也相同，所以β向量组是线性无关的。

扩展数据:

在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性无关列的最大数量..同理，行秩就是a的线性无关行的最大个数，也就是说，如果把矩阵看成一个行向量或一个列向量，秩就是这些行向量或列向量的秩，也就是最大无关组中包含的向量个数。

定理:矩阵的行秩、列秩和秩都相等。

定理:初等变换不改变矩阵的秩。

定理:若A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)。

定理:秩Rab

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