阿贝尔-鲁芬尼定理的研究历程

在1824中，阿贝尔证明了求解五次或五次以上的代数方程没有通式。这个证明写在“在代数方面，所谓方程有根式解(代数可解性)，即这个方程的解可以用加减乘除开整数次幂等有限次运算来表示。代数方程组的求解从16世纪上半叶开始成为代数。三次和四次方程的通解是由意大利的几位数学家求解的。在接下来的几百年里，代数主要致力于求解五次甚至更高阶的方程，但始终没有成功。对于方程理论，拉格朗日系统地研究了方程根(1770)的性质，正确地指出了方程根的排列替换理论是求解代数方程的关键。从而实现了代数思维方式的转变。虽然拉格朗日没能完全解决高次方程的求解问题，但他的思维方法启发了后人。1799年，P. Ruffini首先证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其“证明”是有缺陷的。两年后，高斯解决了割圆方程可解性的理论问题。拉格朗日和高斯的工作是阿贝尔的研究。在大学一年级时，他开始学习高斯的论文《算术》..后来，他了解到柯西在排列理论方面的成就。然而，他当时并不知道鲁菲尼的工作。阿贝尔就是在这种背景下思考代数方程可解性的理论问题的。

在1824中，Abel第一次正确证明了一般五次方程是根不可解的。更详细的证明发表在1826期《crell》杂志第一期，题为《一般方程代数解高于四次的不可能性证明》。在这篇论文中，阿贝尔讨论并纠正了鲁芬尼论证中的缺陷。鲁菲尼的“证明”。因此，在由已知方程的系数决定的基本定义域和定义域的展开下是无法工作的。此外，鲁菲尼的“证明”还使用了一个未被证明的关键命题，这个命题后来被称为阿贝尔定理。这个定理说，如果一个代数方程可以用根来求解，那么根的表达式中的每一个根都可以表示为方程的根和一些单位根的有理函数。阿贝尔就是用这个定理来证明高于四次的一般方程不可能有根解。

上面提到的阿贝尔定理也是“置换群”的思想。

当他在进一步思考哪些方程(如X ^ N-1 = 0)可以用根来求解时，阿贝尔证明了以下定理:对于任意次的方程，如果方程的所有根都可以用其中一个来有理地表示(我们用X来表示)，并且任意两个根Q(x)和Q1(x) (X)如果满足关系式QQ1(x)=Q1Q(x)，那么所考虑的方程总是代数的换句话说，根xi=Q1(Xi)，Q2(Xi)，…，Qn(Xi)是根x1，x2，…。

阿贝尔的遗作中有一份未完成的手稿，即《Surla résolution algébrique des Fontions》(1839)。本文叙述了方程理论的发展，并再次讨论了特殊方程的可解性。它为伽罗瓦遗作的出版铺平了道路。在序言中，阿贝尔暗示了一种重要的思维方式。他认为在解方程之前，应该先证明其解的存在性，这样整个过程就可以避免“计算的复杂性”。在代数方程可解性的理论研究中，他还提出了一个研究纲领，即他的工作需要解决两类问题:一是构造任意数的代数。二是确定已知方程能否用根求解。他试图描述所有能用根求解的方程的特征。但他因早逝而未能完成这部作品，他只解决了第一类问题。几年后，伽罗瓦接替了他的工作，用群方法彻底解决了代数方程可解性的理论问题，从而建立了所谓的伽罗瓦理论。

在19世纪之前的300年里，数学家们一直忙于证明一元四次以上的方程是否存在解。可惜他们要么退缩，要么半途而废，谁也解不开这个结。1818年，挪威一位16岁的阿尔伯特，在研究了大量前人关于这个问题的资料后，坚定地对他的老师说:“让我来解决这个历史问题，我可以证明方程是否有解超过四次。”凭着自信、聪明和勤奋，他用了6年时间，给了历史一个满意的答案:高于四次的方程没有代数解。这就是著名的阿尔伯特-鲁芬尼定理。