特征值和特征向量理论在几何变换中的应用

矩阵乘法对应一个变换，就是把任意一个向量变成一个方向或长度不同的新向量。在这个变换的过程中，原始向量主要是旋转和扩展。如果一个矩阵只对某个向量或某些向量进行伸缩变换，而对这些向量不产生旋转效应，那么这些向量称为这个矩阵的特征向量，伸缩比就是特征值。

其实上一段不仅讲了矩阵变换特征值和特征向量的几何意义(图形变换)，还讲了它们的物理意义。物理的意义就是运动的画面:特征向量在一个矩阵的作用下伸缩，伸缩的程度由特征值决定。特征值大于1，属于这个特征值的所有特征向量突然变长；当特征值大于0小于1时，特征向量的形状急剧收缩；当特征值小于0时，特征向量在边界上收缩，向相反的方向去零点。

注:教科书上常说特征向量是在矩阵变换下不改变方向的向量。事实上，当特征值小于零时，矩阵将完全改变反方向的特征向量。当然，特征向量还是特征向量。我同意特征向量不改变方向的说法:特征向量从不改变方向，只改变特征值(方向反过来特征值就是负的)。

特征向量是线性不变量。

所谓特征向量概念的一大亮点就是不变量，这里称之为线性不变量。因为我们常说的线性变换，线性变换，不是把一条线(向量)变成另一条线(向量)，线的方向和长度一起变化。但是，有一类叫做“特征向量”的向量比较特殊，它的方向是不变的，长度只在矩阵的作用下发生变化。方向不变的特征称为线性不变量。

如果有读者坚持认为负特征向量改变了向量的方向，你不妨这样来看线性不变量:特征向量的不变性是它们变成了有自己* * *线的向量，在线性变换下它们的直线保持不变；特征向量和他的变换向量在同一条直线上，变换向量或拉长或缩短，或反向拉长或缩短，甚至变成零向量(当特征值为零时)。