勾股定理

勾股定理

最早的毕达哥拉斯定理

《周快suan经》简介

加菲尔德证明勾股定理的故事

勾股定理的一些练习

勾股定理的别名

[编辑此段]勾股定理

勾股定理:

在中国，直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方的特性被称为勾股定理或毕达哥拉斯定理。

定理:

如果直角三角形的两个直角为A，B，斜边为C，则A ^ 2+B ^ 2 = C ^ 2；也就是说，直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。

如果三角形的三条边A、B和C满足A ^ 2+B ^ 2 = C ^ 2，则该三角形是直角三角形。(称为勾股定理的逆定理)

来源:

是一个基本的几何定理，传统上认为是古希腊的毕达哥拉斯证明的。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，把一百头牛斩首以示庆祝，所以也叫“百牛定理”。在中国，《周快舒静》记载了勾股定理的一个特例，据传是商代的商高发现的，所以也叫商高定理。三国时期的赵爽在《周髀算经》中对勾股定理做了详细的注释作为证明。法国和比利时叫驴桥定理，埃及叫埃及三角。在中国古代，直角三角形的较短的直角边叫钩，较长的直角边叫弦，斜边叫弦。

[编辑此段]最早的勾股定理

根据许多泥板记载，巴比伦人是世界上最早发现毕达哥拉斯定理的人。这只是一个例子。比如公元前1700年，一块泥板上的第九题(编号BM85196)大意是“有一根长5米的木梁(AB)垂直靠在墙上，上端(A)向下滑动一米到D..下端(C)离墙根(B)有多远？”他们用勾股定理解决了这个问题，如图所示。

设AB = CD = L = 5m，BC=a，AD = H = 1m，BD = L-H = 5-1m = 4m。

a = √[ l-(l-h)]= √[ 5-(5-1)]= 3m，∴三角形BDC是一个3边、4边、5边的扭曲形状。

[编辑此段]周快舒静简介

《毕达哥拉斯周快经》是计算十书之一。成书于公元前二世纪，原名《周解》，是中国最古老的天文著作，主要阐述了当时的遮天理论和四季历方法。初唐时，它被规定为国子监的教材之一，故改名为《周快》。《周易·suan经》在数学上的主要成就是引入了勾股定理及其在测量中的应用。原书并没有证明勾股定理，但证明是由人赵爽在《周传·勾股方注》中给出的。《周易·suan经》采用了相当复杂的分数算法和开平方法。

[编辑此段]加菲尔德证明勾股定理的故事

1876一个周末的傍晚，在华盛顿特区的郊外，一个中年人正在散步，享受着傍晚的美景。他当时是俄亥俄州* * *和党员加菲尔德。走着走着，他突然发现附近的一个小石凳上，有两个孩子在聚精会神地谈论着什么，有大声争吵的，也有小声讨论的。在好奇心的驱使下，加菲猫循着声音来到两个孩子身边，想弄清楚两个孩子在干什么。只见一个小男孩俯下身，用树枝在地上画了一个直角三角形。所以加菲尔德问他们在做什么。小男孩头也不抬地说:“请问先生，如果一个直角三角形的两个直角分别是3和4，那么斜边的长度是多少？”加菲猫回答:“是五。”小男孩又问:“如果两个直角边分别是5和7，那么这个直角三角形的斜边的长度是多少？”加菲尔德不假思索地回答:“斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩补充道:“先生，你能说实话吗？”加菲猫一时语塞，无法解释，很不开心。

于是加菲猫停止行走，立即回家讨论小男孩给他的问题。经过反复思考和计算，他终于想通了道理，并给出了简明的证明方法。

如下所示:

解:在网格中，两条直角边的小三角形的面积等于一条斜边的三角形的面积。

勾股定理的内容:直角三角形的两个直角A和B的平方和等于斜边C的平方，

a^2；+b^2；=c^2；

说明:中国古代学者把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“弦”，斜边称为“弦”，所以他们把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形各边之间的关系。

比如一个直角三角形的两个直角分别为3和4，那么斜边c= a+b=9+16=25。

那么斜边就是5。

【编辑此段】勾股定理部分练习题

第一章勾股定理1。勾股定理的内容，勾股定理是如何得到的，你从定理的证明中得到了什么启示？

练习:

1.在△ABC中，∞∠C = 90。(1+0)如果A = 2，B = 3，以C为边的正方形面积是多少？(2)如果A = 5，C = 13，B是什么？(3)如果c = 61，b = 11，A是什么？(4)如果a∶c =3∶5，c =20，那么B是什么？(5)若∠ A = 60且AC =7cm，AB = _cm，BC = _cm。

2.直角三角形的一条直角边和斜边分别为8cm和10cm，所以斜边上的高度高于_ cm。

3.等腰三角形的周长是20厘米，底高是6厘米，底长是_厘米。

4.在△ABC中，若AD = _cm，∠ BAC = 120，AB = 12 cm，则BC的高度为_cm。

5.已知在△ABC，∠ ACB = 90，CD⊥AB在d，BC=，DB=2cm，则BC = _ BC=_ cm，AB= _cm，AC= _cm _ cm。

6.如图，有人想过河。由于海流的影响，实际着陆点C偏离了预定到达点B200m。结果他实际在水里游了520m，河的宽度是_ _ _ _ _ _。

7.在一棵树的10米的高度有两只猴子。一只猴子爬下树，走到离树20米远的池塘边。另一个爬到树顶D直接跳到A，距离按直线计算。如果两只猴子经过的距离相同，这棵树就有_ _ _ _ _ _ _ _ _米高。

8.给定一个Rt△的两边分别是3和4，第三边的平方是()。

a，25 B，14 C，7 D，7或25

9.小凤的妈妈买了一台29英寸(74厘米)的电视机。以下关于29英寸的说法哪个是正确的？

A.小峰认为是指屏幕的长度；b .小峰妈妈认为是指屏幕的宽度；

C.小峰爸爸认为是指屏幕的周长；d .销售员认为是指屏幕对角线的长度

2.你有多少种方法证明三角形是直角三角形？

练习:

(×经典习题×)

据中国古代《周快舒静》记载，商高在公元前1120年告诉周公，如果把一把尺子折成直角，两端相连就成直角三角形。若钩三，股四，则弦等于五，后人总结为“钩三，股四，弦五”。

(1)观察:3，4，5，5，12，13，7，24，25，...发现这几组的滴答数都是奇数，从3开始就没有间断过。计算0.5 (9+1)和0.5 (25-1)和0.5 (25+1)，根据你发现的规律，写出能分别代表7、24、25这三个数的股和弦公式。

(2)根据(1)定律，如果用n(n为奇数，n≥3)来表示所有这些勾股，请直接用包含n的代数表达式来表示它们的弦。

回答:

(1) 0.5(9+1)∧2+0.5(25-1)∧2=169=0.5(25+1)∧2 0.5(13+1)∧2+0.5(49-1)∧2=0.5(49+1)∧2

(2)弦:0.5 (n 2-1)弦:0.5 (n 2+1)

如果一个三角形的三条边长是(a+b)2=c2+2ab，那么这个三角形是()。

A.等边三角形；b .钝角三角形；c .直角三角形；d .锐角三角形

1.在δδABC中，如果AB2+BC2 = AC2，那么∠ A+∠ C = 0。

2.如图，如果小正方形的边长为1，则正方形网格中的△ABC为()。

(a)直角三角形(b)锐角三角形

(c)钝角三角形(d)以上答案都不正确

给定三角形三条边的长度分别为2n+1，2n+2n，2n+2n+1 (n为正整数)，则最大角等于_ _ _ _ _ _ _ _ _。

三角形的三个内角的度数比是1:2:3，它的最大边是m，所以它的最小边是_ _ _ _。

一个斜边高为m的等腰直角三角形的面积等于_ _ _ _。

3.如图，在四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A = 90°，求四边形ABCD的面积。

三角学中有一个很重要的定理，在中国叫勾股定理和商定理。因为《周并行算经》中提到，商高说“勾三股四弦五”。这里有一些证明。

原证明有分歧。设A和B是直角三角形的直角边，C是斜边。考虑下图中两边都是a+b的正方形A和B。把A分成六份，B分成五份。由于八个小直角三角形全等，从等值中减去等值，可以推导出斜边的平方等于两个直角边的平方之和。这里，B中的四边形是边长为c的正方形，因为直角三角形的三个内角之和等于两个直角。上述证明方法称为减法同余证明方法。图表B是每周并行计算经典中的“弦图”。

下图是H. Perigal在1873中给出的证明，是一种加法同余证明方法。其实这个证明是重新发现的，因为Labitibn Qorra (826 ~ 901)已经知道了这个除法。(比如右图)下列证明之一是H？e？是杜德妮在1917给的。也是一种加同余的证明方法。

如右图所示，边长为b的正方形面积加上边长为a的正方形面积等于边长为c的正方形面积。

下图的证明方法据说是L？达？Vinci(1452 ~ 1519)设计的，用的是减法同余的证明方法。

欧几里得在《几何原本》第一卷命题47中对勾股定理给出了极其巧妙的证明，比如下一页的图片。因为图形漂亮，有人叫它“修士的头巾”，也有人叫它“新娘的轿子”，真的很有意思。华教授曾建议把这张照片送到宇宙中去与“外星人”交流。证明的大纲是:

(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL .

类似地，(BC)2=KEBL

因此

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度数学家和天文学家巴斯卡拉(活跃在1150左右)给出了勾股定理的一个精彩证明，也是一个分裂证明。如下图所示，将斜边上的正方形分成五份。其中四个是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分是以两条直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分再拼起来，得到两个直角的平方和。事实上，

Poshgaro也给出了下图的一个证明。在直角三角形的斜边上画出高度，得到两对相似的三角形，这样就有了

c/b=b/m，

c/a=a/n，

cm=b2

cn=a2

两边加起来

a2+b2=c(m+n)=c2

这个证明在17世纪被英国数学家J. Wallis (Wallis，1616 ~ 1703)重新发现。

几位美国总统与数学有着微妙的联系。g？华盛顿曾经是一位著名的测量员。t？杰斐逊大力推动美国高等数学教育。林肯通过研究欧几里得的《几何原本》来研究逻辑。更有创意的是第17任校长J.A .加菲尔德(Garfield，1831 ~ 1888)，他在学生时代就对初等数学有着浓厚的兴趣和高超的天赋。1876，(当时是众议员，5年后当选美国总统)给出了一个漂亮的勾股定理证明，发表在《新英格兰教育杂志》上。证明的思路是利用梯形和直角三角形的面积公式。如下页所示，它是由三个直角三角形组成的直角梯形。用不同的公式求相同的面积

也就是

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

这种证明往往是中学生学习几何时感兴趣的。

这个定理有很多巧妙的证明(据说有近400种)。下面给学生举几个例子，都是用谜题证明的。

证明1如图26-2所示。在直角三角形ABC的外侧，做正方形ABDE、ACFG和BCHK，它们的面积分别是c2、b2和a2。我们只需要证明一个大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。

通过C引出CM‖BD，将AB交叉到L，连接BC和CE。因为

AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，

所以△ACE≔△AGB

SAEML=SACFG (1)

同样的方法也可以证明。

SBLMD=SBKHC (2)

(1)+(2)

SABDE=SACFG+SBKHC，

即c2=a2+b2

证明2如图26-3所示(图赵)。用八个直角三角形ABC组成一个大正方形CFGH，边长为a+b，里面有一个内接正方形ABED，边长为C，如图所示。

SCFGH=SABED+4×SABC，

所以a2+b2=c2

证明3如图26-4所示(梅文鼎地图)。

在直角△ABC的斜边AB上向外画一个正方形ABDE，在直角AC上画一个正方形ACGF。可以证明(略)扩GF必过E；将CG延伸到k，使GK=BC=a，连接KD，使DH⊥CF在h，则DHCK是边长为a的正方形. set

五边形的面积

一方面，

S=平方ABDE面积+2乘以△ABC面积

=c2+ab (1)

另一方面，

S=平方ACGF面积+平方DHGK面积

+2倍△ABC面积

=b2+a2+ab。(2)

源自(1)和(2)

c2=a2+b2

证明4如图26-5(项名达图)，在直角三角形ABC的斜边上做了一个正方形ABDE，在直角三角形ABC的两个直角CA和CB的基础上完成了一个边长为B的正方形BFGJ(图26-5)。可以证明(略)GF的延长线必过d .将AG延伸到k，使GK=a，设EH⊥GF为h，则EKGH必是边长等于a的正方形

设五边形EKJBD的面积为s .一方面

S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

另一方面，

S=SBEFG+2？S△ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

通过(1)，(2)

引出一个论点

都是按面积验证的:一个大面积等于几个小面积之和。用同一面积的不同表示得到方程，然后简化得到勾股定理。)见/21010000/VCM/0720 gdl。医生。

勾股定理是数学中证明最多的定理之一——有400多个证明！但是第一个有记录的证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传了。目前能看到的最早证明属于古希腊数学家欧几里德。他的证明是演绎推理的形式，记录在数学巨著《几何原本》中。在中国古代的数学家中，第一个证明勾股定理的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创建了勾股方图，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明。在这幅“毕达哥拉斯正方形图”中，以弦为边长的正方形ABDE是由四个相等的直角三角形加上中间的小正方形组成的。每个直角三角形的面积是AB/2；如果中间小正方形的边长是b-a，面积就是(b-a) 2。那么我们可以得到如下公式:4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2。简化后可以得到:a 2 +b 2 =c 2，即c=(a 2 +b 2) (1/2)。赵爽的证明很独特，很有新意。他用几何图形的切、割、拼、补来证明代数表达式之间的恒等式关系，既严谨又直观，为中国古代独树一帜的以形证数、以形统数、代数和几何紧密结合、不可分割的风格树立了典范。以下网址是赵爽的勾股方图:/catch pic/0/01/01f9d 756 be 31e 31e 71a 75 cacc 1410C。GIF之后的大多数数学家都继承了这一点。比如刘徽后来用形式证明的方法证明了勾股定理。刘徽用的是“进出互补法”，即剪贴证明法。他在正方形上剪下一些以毕达哥拉斯为边的区域，并把它们移到正方形中以和弦为边的空白区域。结果刚好填了，用图解法彻底解决了问题。以下网址是刘辉的《绿朱出入图》:/catch pic/A/A7/A 7070d 771214459 d67a 75e 8675 A a4dcb . gif

勾股定理应用广泛。我国战国时期的另一部古书《路史后记十二注》中有这样的记载:“禹治洪水而决流于江河，观山川之形，而决高下。除了特大灾难，东海被淹，没有溺水的危险。”这段话的意思是大禹为了治理洪水，根据地势的高低决定水流的方向，因势利导，使洪水注入大海，这样就不会再有洪水泛滥的灾难，这就是应用勾股定理的结果。

勾股定理在我们的生活中被广泛应用。

16勾股定理的验证方法(附图片):/upload files/2007/11-25/1125862269。文件

练习:一个等腰三角形，三个内角之比是1:1:10，腰长是10cm，那么这个三角形的面积是_ _ _ _。

解:三角形的角分别是15度，150度。

设底边的高度为h，底边的长度为2t。

容易得到sin 15 = sin 60 cos 45-cos 60 sin 45 = h/10。

解是h=5(√6-√2)/2。

tan 15 =(tan 60-tan 45)/(1-tan 60 tan 45)= 5(√6-√2)/2t。

T=5(√6+√2)

因此，面积s = th = 50

【编辑此段】勾股定理的别名

勾股定理是几何学中一颗耀眼的明珠，被称为“几何学的基石”，在高等数学等学科中也有广泛的应用。正因为如此，世界上的几个古文明都被发现并被广泛研究，所以有很多名字。

中国是发现和研究勾股定理最早的国家。中国古代数学家称直角三角形为勾股，较短的右边叫勾，另一条右边叫弦，斜边叫弦，所以勾股定理也叫勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公。直角三角形中，有“三钩四股五弦”。因此，勾股定理在我国也被称为“商高定理”。公元前7-6世纪，中国学者陈子曾给出任何直角三角形的三边关系，即“太阳为钩，太阳为份，钩与份相乘并除，得邪归太阳。

在法国和比利时，勾股定理也被称为驴桥定理。其他国家称勾股定理为平方定理。

陈子死后一百二十年，希腊著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，所以世界上许多国家都称之为毕达哥拉斯定理。为了庆祝这个定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛作为祭祀神灵的奖励，所以这个定理被称为“百牛定理”。