金融数学理论的发展与应用
一、金融数学的定义
金融数学或数学金融学，或数学金融学，来源于数学金融学，可以理解为以数学为工具解决金融问题的学科。金融数学是建立适合金融行业具体事实的数学模型，编制一定的软件，模拟理论研究成果，对实际数据进行计量经济分析和研究的应用学科。
金融数学的最大特点是现代数学工具的广泛应用，特别是随着控制论和随机过程的研究成果在金融领域的创造性应用，形成了金融数学这一新兴的边缘学科，国际上也称之为数学金融学。金融数学起源于对金融问题的研究。随着金融市场的发展，金融学与数学的联系越来越紧密，并取得了飞速的发展。
广义的金融数学是指应用数学理论和方法研究金融经济运行规律的一门新学科。从狭义上讲，金融数学的主要研究内容是关于不确定多期条件下的投资组合选择和资产定价理论，而套利、最优性和均衡是该理论中最重要的三个概念。
金融数学是在一些金融或经济假设的基础上，运用抽象的数学方法，建立金融机制的数学模型。金融数学的范围包括数学概念和方法(或其他自然科学方法)在金融尤其是金融理论中的各种应用。应用的目的是用数学方法表达、推理和论证金融原理。金融数学是金融学的一个分支，所以金融数学首先是以金融理论为基础的，这并不意味着金融数学一定要有正规的金融学学术训练(这才是真正有益的)。虽然金融学因其充分的特性而独立于它，但它是作为经济学的一个应用分支发展起来的，所以金融数学也是建立在经济学原理和技术的基础上的。因为金融与同学、数学、税务理论密切相关，金融数学需要建立在会计原理、金融技术、理论等知识的基础上。
金融数学的理论基础，当然也包括现代数学理论和数学理论。第一步是数学或统计建模，即从复杂的金融中选取关键因素，区分相关因素和不相关因素，然后从一系列假设条件中推导出各种关系，最后得到一个结论来解释结论。这种建模活动不仅非常有用，而且极其重要，因为在金融中，一个小小的错误、一个错误的推导、一个错误的结论或者对结论的错误解读，甚至会导致一场金融灾难。此外，计算机技术的应用在金融数学的研究中也有非常突出的地位。
综上所述，金融数学是金融学、数学、统计学、经济学和计算机科学的交叉学科，属于应用科学的层次。金融数学也是金融定性描述阶段之后的更高层次的定量和分析学科。
二、现代金融数学理论的发展
1随机最优控制理论
现代金融理论一个更重要的应用领域是解决随机问题，而解决这个问题的重要手段就是随机最优控制理论。随机最优控制是控制理论中发展较晚的一个阶段。Berman的最优化原理、测度论和泛函分析方法的应用，是20世纪60年代末70年代初数学家们对这一新的数学研究领域作出的重要贡献，金融经济学家们很快吸收了随机最优控制的理论和方法。20世纪70年代初，出现了几篇经济学论文，包括默顿用连续时间方法对消费和投资组合的讨论，以及布罗克和米尔曼用离散时间方法对不确定条件下最优经济增长的讨论。此后，随机最优控制方法被应用于大多数金融领域，我国以彭士阁为代表的中青年学者也对其做出了突出贡献。
2鞅理论
现代金融理论的最新研究成果是鞅理论的引入。假设F在金融市场中有效，证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。Karatzas和Shreve倡导的鞅方法直接将鞅理论引入现代金融理论，利用等价鞅测度的概念来研究衍生证券的定价问题。所得结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律，而且为解决复杂衍生金融产品的定价和风险问题提供了一种有效的算法。利用鞅论研究金融理论的另一个好处是，可以更好地解决金融市场不完全时衍生证券的定价问题，从而对现代金融理论有所突破。目前，基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位，但在我国还是一片空白。