在数学中:集合的内边界是什么意思？(急！)

模糊数学的研究内容主要包括以下三个方面:

首先，研究模糊数学的理论及其与精确数学和随机数学的关系。Chad以精确数学的集合论为基础，兼顾数学集合概念的修改和推广。他提出用“模糊集”作为数学模型来表达模糊的事物。并逐步建立“模糊集”上的运算和变换规律，开展相关的理论研究，就有可能构建研究现实世界中大量模糊性的数学基础和定量描述和处理看似相当复杂的模糊系统的数学方法。

在一个模糊集合中，给定范围内元素的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用0到1之间的实数来表示隶属度，并且还有一个中间过渡状态。比如“老人”就是一个模糊的概念。70岁一定属于老人，其隶属度为1。40岁的绝对不是老人，其隶属度为0。根据查德给出的公式，55岁时的“老”度为0.5，即“半老”，60岁时为0.8。Chad认为指出每个元素的从属集合相当于指定一个集合。当它属于0到1之间的一个值时，它就是一个模糊集。

第二，学习模糊语言学和模糊逻辑。人类的自然语言是模糊的，人们往往接受模糊的语言和模糊的信息，并能做出正确的识别和判断。

为了实现自然语言与计算机的直接对话，需要将人类的语言和思维过程提炼为数学模型，然后向计算机输入指令，建立和谐的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。Chad利用模糊集合论建立模糊语言的数学模型，使人类语言定量化、形式化。

如果我们把一个符合语法的标准句的从属函数值设为1，那么其他语法上略有错误但仍能表达类似思想的句子，就可以用0到1之间的连续数来表征。这样就定量地描述了模糊语言，并设置了一套运算和变换规则。目前模糊语言还不成熟，语言学家正在深入研究。

人的思维活动往往要求概念的确定性和准确性。排中律，采用形式逻辑，非真非假，然后做出判断和推论，得出结论。现有的计算机都是基于二进制逻辑的，二进制逻辑在处理客观事物的确定性方面发挥了很大的作用，但它不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。

为了使计算机模拟人脑高级智能的特点，有必要将计算机转入多值逻辑，研究模糊逻辑。目前模糊罗基还不成熟，需要进一步研究。

第三，研究了模糊数学的应用。模糊数学以不确定的事物为研究对象。模糊集的出现是数学适应描述复杂事物的需要。Chad的可取之处在于利用模糊集的理论来发现和求解模糊对象，并使之精确化，从而使确定性对象的数学可以与不确定性对象的数学进行沟通，弥补了过去精确数学和随机数学描述的不足。在模糊数学中，有模糊拓扑、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学和模糊逻辑等许多分支。

模糊数学的应用

模糊数学是一门新兴的学科，已被应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评价、系统论、信息检索、医学、生物学等领域。在气象学、结构力学、控制和心理学方面都有具体的研究成果。但模糊数学最重要的应用领域是计算机函数，很多人认为它与新一代计算机的发展密切相关。

目前，世界发达国家都在积极研究和试制智能模糊计算机。1986年，日本山川烈德博士首次试制成功模糊推理机，其推理速度为每秒10万次。1988年，我国几位博士在王培庄教授的指导下，也成功研制了一台模糊推理机——分立元件样机，其推理速度为每秒15万次。这表明我国在突破模糊信息处理的难点上迈出了重要一步。

模糊数学还远未成熟，对它还有不同的见解和看法，需要实践来检验。

模糊数学是数学中的一门新学科，前途不可限量。

1965年发表论文《模糊集》。作者是著名的控制论专业。

家，加州州立大学的L.A .扎德教授。康托尔的集合论已经成为现代数学的基础。现在有人修改集合的概念肯定是第一次的事情。扎德的模糊集概念奠定了模糊理论的基础。由于该理论在处理复杂系统，特别是有人类干预的复杂系统时简单而有力，在一定程度上弥补了经典数学和统计数学的不足，迅速受到广泛关注。40年来，这一领域从理论到应用，从软技术到硬技术，取得了丰硕的成果，对相关领域和技术，特别是一些高新技术的发展产生了越来越重大的影响。

有一个古老的希腊悖论是这样的:

“一粒种子绝对不叫一堆，也不叫两粒，也不叫三粒...另一方面，大家都同意一亿颗种子一定要叫一堆。那么，合适的边界在哪里呢？能不能说123585种子不叫堆而123586种子构成堆？”

的确，“一粒”和“一堆”是两个不同的概念。但是，它们之间的区别是渐进的，而不是突变的，它们之间没有明确的界限。换句话说，“一堆”这个概念有些模糊。类似的概念，比如“老”、“高”、“年轻”、“大”、“聪明”、“漂亮”、“便宜”等等，层出不穷。

在经典集合论中，当确定一个元素是否属于一个集合时，答案只有两个:“是”或“不是”。我们可以用两个值0或者1来描述。属于集合的元素用1表示，不属于集合的元素用0表示。而上面提到的“老”、“高”、“年轻”、“大”、“聪明”、“漂亮”、“便宜”的情况就复杂多了。如果规定身高1.8米属于高个子范围，那么身高1.79米算吗？按照经典集合论的观点:不算。但这似乎有些不合理。如果使用圆，集合A由圆内和圆周上的点表示，圆外的点表示它不属于A..a的边界显然是一个圆。这是一个经典系列的图表。现在，想象一下，高个子的集合用一个图来表示，它的边界会是模糊的，可变的。因为一个元素(比如身高1.75米的人)比较高，虽然不是100%高，而且在某种程度上属于高个子的集合。这时，一个元素是否属于一个集合就不能用0和1这两个数字来表示，而可以是0到1之间的任意实数。比如1.75米的身高，可以说70%的身高属于高子集。看似啰嗦，但比较实用。

准确和模糊是一对矛盾。根据不同情况，有时要求精确，有时要求模糊。比如一场战争，指挥官下达命令:“拂晓发起总攻。”这真是一团糟。这时候一定要精准:“XX日早上6点正在发起总攻。”在一些老电影里，我们也能看到各个岗位的指挥员在接受命令前都在看表，生怕出现半分十秒的误差。然而，物极必反。如果一切都很精确，人与人之间就无法顺畅地交流思想——两个人见面问“你好吗？”然而，什么是“好”，谁能给“好”一个精确的定义？

有些现象本质上是模糊的，如果硬要把它们精确化，自然很难符合实际。比如评定学生成绩时，规定60分以上为合格。但是59分和60分的差别，仅仅依据1分的差别来区分及格和不及格，是不充分的。

不仅有一套模糊的界限，还有人类的思维，也有模糊的特点。有些现象是准确的，但适当的模糊化可能会简化问题，大大提高灵活性。比如，要找到地里最大的玉米，很麻烦，而且近乎迂腐。我们必须把玉米田里所有的玉米量一量，对比一下，才能确定。其工作量与玉米地面积成正比。土地面积越大，工作难度越大。但是只要稍微改变一下问题的提法，就不要求找最大的玉米，而是找更大的，也就是按照通常的说法，在地里摘一个大玉米。这个时候问题从精确变成了模糊，但同时也从不必要的复杂变成了意想不到的简单，只有少数能满足要求。工作量甚至与土地无关。所以，过度的精确其实已经变成了迂腐，而适当的模糊则是灵活。

很明显，玉米的大小取决于它的长度、体积和重量。虽然尺寸是一个模糊的概念，但长度、体积和重量在理论上是可以精确的。然而，当人们实际判断玉米的大小时，通常不需要确定这些精确值。同样，模糊的“堆”概念是建立在精确的“颗粒”基础上的，人们在判断面前的东西是否叫堆时，从来不用数“颗粒”。有时，人们认为模糊是一种物理现象。近的东西看得清楚，远的东西看不清楚。一般来说，越远越模糊。然而也有例外:站在海边，海岸线模糊不清；从空中往下看，海岸线非常清晰。太高太模糊了。精确和模糊有着本质的区别，但又有着内在的联系。它们相互矛盾，相互依存，可以相互转化。所以准确性的另一半是模糊性。

对模糊性的讨论可以追溯到很早以前。20世纪伟大的哲学家罗素(B.Russel)在一篇题为《1923中的模糊性》(Vagueness in 1923)的论文中，专门讨论了我们今天所说的“模糊性”(严格来说，两者是有区别的)，并明确指出:“认为模糊知识一定不可靠的想法是大错特错的。”虽然罗素大名鼎鼎，但这篇发表在《南半球哲学杂志》上的文章在当时并没有引起学术界对含糊或模糊的极大兴趣。这不是因为问题不重要，也不是因为文章不深刻，而是因为“还不是时候”。罗素的精辟观点是超前的。长期以来，人们一直将模糊视为贬义词，只对精确和严格表示敬意。20世纪初，社会的发展，特别是科学技术的发展，不需要对模糊性的研究。事实上，模糊理论是电子计算机时代的产物。正是这种非常精密的机器的发明和广泛应用，使人们更加深刻地认识到精密的局限性，促进了人们对它的对立面或者说它的“另一半”——模糊性的研究。

扎德1921年2月出生于苏联巴库。毕业于伊朗德黑兰大学电气工程系，学士学位1942。1944获美国麻省理工学院(MIT)电气工程系硕士学位，1949获哥伦比亚大学博士学位，后就职于哥伦比亚、普林斯顿等名校。自1959以来，他一直是加州大学伯克利分校电气工程和计算机科学系的教授。

扎德在20世纪50年代从事工程控制论的研究，在非线性滤波器的设计方面取得了一系列重要成果，在该领域被奉为经典并被广泛引用。20世纪60年代初，扎德开始研究多目标决策问题，并提出了非劣解等重要概念。长期以来，基于对决策、控制等一系列相关重要问题的研究，扎德从应用传统数学方法和现代电子计算机解决此类问题的成败中逐渐认识到传统数学方法的局限性。他指出:“在人类知识领域中，非模糊概念起主要作用的唯一部门是经典数学。”“如果我们深入研究人类的认知过程，就会发现使用模糊概念对人类来说是巨大的财富而不是负担。这是理解人类智能和机器智能之间深刻差异的关键。”精度的概念可以用通常的集合来描述。模糊概念应该用相应的模糊集来描述。扎德抓住了这一点，首先在模糊集的定量描述方面取得了突破，奠定了模糊理论及其应用的基础。

集合是现代数学的基础。模糊集一经提出，“模糊”的概念也渗透到数学的许多分支中。模糊数学的发展速度也是相当快的。从发表的论文来看，几乎是指数级增长。模糊数学的研究可以分为三个方面:一是研究模糊数学的理论及其与精确数学和统计数学的关系；二是学习模糊语言和模糊逻辑；三是研究模糊数学的应用。在模糊数学的研究中，有模糊拓扑、模糊群论、模糊凸论、模糊概率和模糊环论等分支。虽然模糊数学是一门新学科，但它已初步应用于自动控制、模式识别、系统理论、信息检索、社会科学、心理学、医学和生物学。未来可能会出现模糊逻辑电路、模糊硬件、模糊软件、模糊固件，出现一种新型的计算机，可以用自然语言与人对话，更接近人的智能。因此，模糊数学将越来越显示出其强大的生命力。

有人反对吗？当然有。一些概率理论家认为，模糊数学只是概率论的一种应用。有些操纯数学的人说这不是数学。搞应用的都说道理很好，真正的实际效果却不是。然而，国际著名应用数学家A .考夫曼教授在访华时表示:“他们的攻击毫无道理，不管别人怎么说，我们只是尽力而为。”