基数理论论文
1.康托尔的一生
1845年3月3日，乔治·康托尔出生在俄罗斯的一个丹麦裔犹太家庭。1856康托尔随父母移居德国法兰克福。和很多优秀的数学家一样，他在中学时期就表现出对数学的特别敏感，不时得出令人惊讶的结论。他的父亲敦促他学习工程学，于是康托尔在1863年带着这个目标进入了柏林大学。这时，柏林大学正在形成一个数学教学和研究中心。康托尔一直渴望这个由斯托瑞斯占据的世界数学中心之一。于是在柏林大学，康托尔受威尔斯特拉斯的影响，转向纯数学。1869年取得哈勒大学任教资格，不久后1879年晋升副教授、正教授。1874年，康托尔在《克勒数学杂志》上发表了第一篇关于无穷集合理论的革命性文章。在数学史上，一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创意吸引了人们的注意。在后来的研究中，集合论和余数成为康托尔研究的主流，他在这方面的论文一直发表到1897。过度的精神疲劳和强烈的外界刺激使康托尔患上了精神分裂症。30多年来，这种顽固的疾病一直断断续续地影响着他的生活。1918 65438+10月6日，康托尔在哈勒大学精神病院去世。
2.集合论的背景
为了清楚地理解康托尔关于集合论的工作，首先介绍一下集合论的背景。
19世纪集合论诞生的基本原因来自于数学分析基础的批判运动。数学分析的发展不可避免地涉及到无穷过程、无穷小、无穷等无穷概念。18世纪，由于缺乏对无穷概念的精确定义，微积分理论不仅遇到了严重的逻辑困难，而且使数学中的实无穷概念名誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的准确描述。在此基础上，建立了连续性、导数、微分、积分、无穷级数等理论。正是19世纪发展起来的极限理论，完美地解决了微积分理论遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有完全完成微积分的严密性。柯西的思想具有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19世纪后期的数学家发现，柯西逻辑矛盾的原因在于极限的概念，它奠定了微积分的基础。严格来说，柯西的极限概念并没有真正摆脱几何直观，而是真正建立在纯粹严谨的算术基础上。结果，许多受分析基本危机影响的数学家都致力于分析的严谨性。在这个过程中，涉及到微积分的基本研究对象——连续函数的描述。在数和连续性的定义中，有一个关于无穷的理论。因此，数学中无穷集合的存在性问题又被提出来了。这自然导致了对无穷集理论基础的寻找。总之，寻求微积分彻底而严格的算术化倾向是集合论产生的重要原因。
3.集合论的建立
康托尔在柏林大学的导师是斯托瑞斯、满库和克罗内克。满库教授是数论专家。他因引入理想数并极大地促进了费马大定理的研究而闻名于世。克罗内克是一位伟大的数学家，当时很多人都以他的赞誉为荣。沃尔·斯托瑞斯是一位优秀的老师，也是一位伟大的数学家。他的演讲为数学分析奠定了准确而稳定的基础。例如，他首先介绍了微积分中的著名概念。正是因为这些人的影响，康托尔更早对数论产生了兴趣，并集中精力研究高斯留下的问题。他的毕业论文是关于++=0的素数。这是高斯在算术研究中提出的一个尚未解决的问题。这篇论文写得很好，证明了作者有深刻的洞察力和继承优秀思想的能力。但他的超差集合论的建立并没有得益于早期数论的研究。相反，他很快接受了数学家海涅的建议，转向其他领域。海涅鼓励康托研究一个很有趣也很困难的问题:任意函数的三角级数的表达式是唯一的吗？对康托尔来说，这个问题是他建立集合论的最直接原因。函数可以用三角级数表示，最早由1822傅立叶提出。此后，不连续性的研究在分析领域越来越引人注目。自20世纪30年代以来，许多杰出的数学家从事不连续函数的研究，他们都在某种程度上与集合的概念联系在一起。这为康托尔最终建立集合论创造了条件。在1870中，海涅证明了如果表示函数的三角级数在去掉函数不连续点的任何小邻域后，在区间[-π，π]的剩余部分一致收敛，则该级数是唯一的。至于不连续性的作用，海涅没有解决。康托尔开始解决用如此简洁的方式表达的唯一性问题。就这样，他迈出了集合论的第一步。
康托尔突然表现出比海涅更强的研究能力。他决定尽可能多地取消限制，这当然会使问题变得更加困难。为了给出最普遍的解，康托尔引入了一些新概念。在随后的三年里，康托尔就这个话题发表了五篇文章。在1872中，当Cantor将Heine提出的一致收敛的条件弱化到函数有无穷个不连续点的情况下，他将唯一性结果推广到允许的异常值是无穷个集合的情况。康托尔的1872论文是从间断点问题到点集理论的一个极其重要的环节，它把无穷多个点整合成一个明确的研究对象。
集合论的中心和难点是无限集合本身的概念。自希腊时代以来，无穷集自然引起了数学家和哲学家的注意。然而，这个集合的性质及其看似矛盾的性质很难作为有限集来把握。所以对这一套的理解没有进展。早在中世纪，人们就已经注意到这样一个事实，如果你从两个同心圆上画一条射线，那么这条射线就在两个圆的点之间建立了一一对应的关系，只是两个圆的周长不同。在16世纪，伽利略也说过，比如可以在两个长度不同的线段ab和cd之间建立一一对应，从而想象它们有同一点。
他还注意到，正整数可以与它们的平方形成一一对应，只要每个正整数对应它们的平方:
1 2 3 4 … … n … …
2 3 4 … … n … …
但这就导致了无限的“数量级”不同，而伽利略认为这是不可能的，因为所有的无限都是一样的大小。
不仅是伽利略，康托尔之前的数学家们也大多不赞成用无穷集合之间的一对一比较，因为这会导致部分等于全部的矛盾。高斯明确表示:“我反对把一个无限量作为一个实体，这在数学中是绝不允许的。无限只是一种说法……”柯西也否认无限集合的存在。他不能允许部分与整体一一对应。当然，潜无穷在一定条件下是很好用的，但是把它当成无穷是片面的。数学的发展表明，只承认潜在的无穷而否认真实的无穷是不可能的。康托尔利用他的时间对研究对象进行深入思考。他想用事实说明问题，让大家信服。康托尔认为，一个无限集合可以和它的各个部分一一对应，这并不是一件坏事，只是反映了一个无限集合的一个本质特征。对于康托尔来说，如果一个集合能与其各部分形成一一对应，那么它就是无限的。它定义了基数、可数集等概念。还证明了实数集不可数，代数数可数。康托尔的原始证明发表在1874年一篇题为《论所有实代数数的特征》的文章中，这标志着集合论的诞生。
随着实数不可数性的确立，康托尔提出了一个新的更大胆的问题。在1874中，他考虑了平面上的点和直线上的点是否可以建立一一对应的关系。直观来说，平面上的点明显比线上的多。康托尔自己一开始就知道。但是三年后，康托尔宣布不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且在一般的N维连续空间中也可以建立一一对应！这个结果出乎意料。连康托尔自己都觉得“不可思议”。然而这是显而易见的事实，说明直觉是不可靠的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。
由于N维连续空间与一维连续系统具有相同的基数，康托尔从1879年到1884年集中研究线性连续系统，相继发表了六个系列的文章，汇集成《论无限线性点集》。前四章直接建立了集合论的一些重要结果，包括集合论在函数论中的应用。第五篇发表于1883，篇幅最长，内容最丰富。它不仅超出了线性点集的研究范围，而且给出了一个完全通用的超有限数理论，其中借助良序集的序形式引入了超有限序数的整个谱系。同时也讨论了集合论所产生的哲学问题，包括回答反对者对康托尔无限立场的批评。这篇文章对康托尔极其重要。1883年，康托尔将其作为专著出版，书名为《集合论基础》。
《集合论基础》的出版是康托尔数学研究的一个里程碑。它的主要成就是引入了超级有限数，作为自然数系统的独立和系统的扩展。康托尔清楚地意识到，他所做的是一个大胆的创举。“我很清楚，这样做会让我处于与数学中传统的无穷概念和自然数性质相反的位置，但我坚信，超穷数最终会被公认为对数概念最简单、最恰当、最自然的延伸。”《集合论基础》是对康托尔早期集合论的系统阐述，也是他具有深远影响的特殊贡献的开端。
康托尔分别在1895和1897发表了两篇决定性的论文。在这篇论文中，他改变了早期用公理定义(有序)数的方法，采用集合作为基本概念。他给出了超越基数和超越序数的定义，并介绍了它们的符号。按照潜力的大小把它们排列成“序列”；它们的加法、乘法和乘法是指定的。至此，康托尔关于超限基数和超限序数理论所能做的已经完成。但是集合论的内在矛盾开始暴露出来。康托尔本人首先发现了集合论的内在矛盾。他在65438到0895的文章中，留下了两个悬而未决的问题:一个是连续统假说；另一个是所有超贫基数的可比性。虽然他认为无限基数有最小数但没有最大数，但他并没有清楚地描述它的矛盾。直到罗素在1903发表了他著名的悖论。集合论的内在矛盾凸显，成为20世纪集合论和数学基础研究的起点。
4.对康托尔集合论的不同评论。
康托尔的集合论是数学中最具革命性的理论。他处理了数学中最难的对象——无穷集合。所以他的发展道路自然是不平坦的。他抛弃了所有的经验和直觉，用透彻的理论进行论证，所以他的结论是高度令人惊讶的、不可思议的、真实的、不容置疑的。数学史上没有比康托尔更大胆的想法和步骤了。所以难免遭到传统观念的反对。
公认的19世纪存在的证明是建设性的。如果你想证明某事存在，你必须把它具体化。因此，人们只能从具体的数字或形状出发，一步一步地通过有限的步骤来得出结论。至于“无限”，很多人认为是一个超出人们认识能力的世界。且不说算不算，很难确定是否存在。康托尔实际上是“随机地”计数，比较它们的大小，并想象存在一个没有最大基数的无限集合...这自然遭到反对和斥责。
集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为只有他研究的数论和代数才是最可靠的。因为自然数是上帝创造的，剩下的都是人的作品。他对康托尔的研究对象和论证手段表示强烈反对。由于柏林是当时的数学中心，克罗内克是柏林学派的领袖，极大地阻碍了康托尔及其集合论的发展。另一位德国知觉主义者威尔认为康托尔对无限的分类是雾上加雾。法国数学界权威人物庞加莱曾预言“后世将把(康托尔的)集合论视为一种疾病”等等。由于两千年来无限概念数学带来的困难，也由于反对派的权威地位，康托尔的成果没有得到应有的评价，反而遭到了排斥。1891年，克罗内克死后，康托尔的情况开始好转。
另一方面，许多伟大的数学家支持康托的集合论。除了德德金，瑞典数学家米达奇-勒夫勒在自己的国际数学杂志上用法文转载了康托尔关于集合论的论文，极大地促进了集合论的国际传播。1897年，在第一届国际数学家大会上，霍维茨总结了解析函数的最新进展，阐述了康托尔对集合论的贡献。三年后，为捍卫集合论而英勇奋战的希尔伯特在第二届国际数学大会上进一步强调了康托尔工作的重要性。他将连续统假说列为20世纪初需要解决的23个主要数学问题中的第一个。希尔伯特宣称，“没有人能把我们赶出康托尔为我们创造的天堂。”特别是自从1901产生了勒贝格积分，勒贝格测度论丰富了集合论之后，集合论得到了认可，康托尔的工作得到了高度评价。1904年第三届国际数学大会召开时，“现代数学不能没有集合论”已经成为大家的看法。康托尔的声誉得到了普遍的认可。
5.集合论的意义
集合论是现代数学中一个重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到数学的许多分支，如代数、拓扑和分析，以及一些自然科学部门，如物理和粒子力学，为这些学科提供了基础方法，改变了它们的面貌。几乎可以说，没有集合论的观点，就很难对现代数学有深刻的理解。因此，集合论的建立不仅对数学基础的研究具有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。
康托尔一生都在受苦。他和他的集合论被残酷地攻击了十年。虽然康托尔一度对数学失去兴趣，转向哲学和文学，但他无法放弃集合论。康托尔能够不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫超差集合论，这与他的科学家气质和人格是分不开的。康托尔的个性受他父亲的影响很大。他的父亲乔治·瓦尔德马·康托尔在福音新教的影响下长大。他是一个精明的商人，聪明又有才华。他深厚的宗教信仰和强烈的使命感总是带给他勇气和信心。正是这种坚定乐观的信念，让康托尔义无反顾地走向数学家之路，并真正获得成功。
今天，集合论已经成为整个数学大厦的基础，康托尔也因此成为世纪之交最伟大的数学家之一。