吉和大师是谁？
1826年9月17日，黎曼(1826-1866)出生在汉诺威Bre Slentz的一个乡村牧师家里，是六个孩子中的老二。
黎曼从小就热爱数学。6岁时，他开始学习算术，显示了他的数学天才。他不仅能解决所有留给他的数学问题，还经常问一些问题来捉弄他的兄弟姐妹。10岁时跟专业老师学习高等算术和几何，很快就超过了老师，经常对一些问题给出比较好的答案。
黎曼14岁在汉诺威上中学。由于经济拮据，他总是步行往返于汉诺威和农村小村庄之间。当然，他没有钱买参考书。幸运的是，中学校长及时发现了他的数学天赋。考虑到他的经济困难，校长授权黎曼从他的私人图书馆借数学书。在校长的推荐下，黎曼借了一本数学家勒让德的《数论》，这是一本长达859页的四页巨著。黎曼非常珍惜这次读书机会，他如饥似渴地自学。六天后，黎曼学完了，还了书。校长问他:“你读了多少？”黎曼说，“这是一本了不起的书，我已经掌握了。”几个月后，校长就书的内容对他进行了测试。黎曼回答问题如水，回答全面。利用校长的图书馆，黎曼还花时间快速自学了大数学家欧拉的著作，从而掌握了微积分及其分支。黎曼不仅从欧拉的著作中学到了数学知识，还学到了欧拉研究数学的技巧。
大学生涯
19岁，黎曼进入哥廷根大学。为了在经济上帮助家里，尽快找到一份有报酬的工作，他先学习了哲学和神学，但除了这两门课程，他还参加了数学和物理课程。他听了斯特恩关于方程理论和定积分的讲座，高斯关于最小二乘法的讲座和戈尔德斯·米特关于地磁的讲座，他对数学产生了兴趣。
黎曼把这一切都告诉了父亲，并请求允许他转数学专业。父亲衷心同意了他的请求。黎曼非常高兴，并深深感激他的父亲。
1847年，为了向更多的大师学习，黎曼转学到柏林大学，师从伟大的数学家雅各比、狄利克雷、施泰纳、爱森斯坦。他从雅各比那里学到了高等力学和代数，从狄利克雷那里学到了数论和分析，从斯泰纳那里学到了现代几何，从温斯坦那里学到了椭圆函数理论。
这期间他特别勤奋，连假期都不休息。1847的秋假，黎曼发现了几份《巴黎科学院学报》，里面有数学家柯西发表的一篇关于单复变解析函数的新论文。他一眼就看出这是一个新的数学理论，于是他在室内呆了几个星期，潜心研究柯西的论文，酝酿他对这个课题的新见解，为四年后写博士论文《单复变函数通论》奠定基础。
黎曼不仅认真研读大师的学术专著，还虚心向大师求教。有一次，狄利克雷来哥廷根度假，黎曼借此机会向他请教数学方面的问题，并把他未完成的论文递给他征求意见。狄利克雷被黎曼的谦虚、真诚和天才迷住了。他和黎曼长谈了两个小时，对黎曼的论文做了很多评论，对黎曼正在研究的课题给出了很多方向。黎曼受益匪浅。他说，如果没有狄利克雷的指导，他将不得不在图书馆苦读几天。
虽然他生活贫困，但他非常勤奋地学习，这使得黎曼在大学毕业时取得了丰硕的成果。1851结束时，黎曼将博士论文提交给大数学家高斯审阅。高斯看完论文后非常激动，对黎曼的论文评价很高，这对于高斯来说是不多见的。高斯评论说:“黎曼先生提交的论文提供了令人信服的证据，表明作者对本文讨论的这个问题进行了全面而深入的研究，表明作者具有创造性的、活跃而真实的数学头脑和辉煌的创造力。”
在贫困中求进步
1852年初，黎曼以优异的学习成绩获得博士学位，并留在了哥廷根大学。在19世纪中期的德国，科学几乎与国民经济毫无关系。大学的设立只是为了培养律师、医生、教师和传教士，为贵族子弟和富家子弟提供场所，让他们度过有吸引力和受尊重的岁月。只有正教授才能获得政府补贴，他们可以教授正规的标准课程。这些课程都是基础学科，上课的学生多，教授收的学费也多。这也是当时课程标准低的原因，因为如果课程太难，就没办法接收很多学生，会影响教授的收入。毕竟贵族子弟和富家子弟上大学的目的不是真心学习。而讲师则没有政府补贴，没有机会教授基本的正规课程。他们完全靠来听课的学生的学费生活。平时上课的学生不多，收入相当微薄，生活非常困难。当讲师是成为正教授的唯一途径。但是讲师什么时候可以晋升教授，没有明文规定。为了照顾一个特别有价值的学者，没有正教授的空缺，政府可以任命他为“客座教授”，使他有资格教授基本的正规课程，增加他的收入，但这种任命有附加条件，规定政府不会支付任何津贴。因此，在担任讲师期间，黎曼没有任何独立的生活费来源，生活依然贫困。
然而，尽管生活贫困，黎曼仍将全部精力投入到数学中。他觉得只要能勉强维持生计，让他学数学，他就满足了。他从来没有因为财务证据而沮丧过。他一方面积极准备“无偿讲师”的就职演讲论文，另一方面认真从事数学物理的研究工作。他的就职论文相当难。一开始，为了确定论文的题目，他向高斯提交了三个题目，让高斯从中选择一个。其中，第三个题目与几何基础有关。黎曼当时没有太多的案头准备工作，所以黎曼真心希望高斯不要选。但是，高斯对第三个题目研究得很深，他思考了60年。为了看看黎曼在这个深奥的问题上会做什么样的创造性工作，高斯把第三个题目指定为黎曼就职演说的题目。
事后，黎曼对父亲说了这件事，“所以我又陷入了绝望的境地”，“我不得不制造这个话题”。
黎曼对数学物理的研究也有着无限的热情。当时，他曾对人说:“我着迷于把一切与物理定律结合起来的数学研究。”“通过对电、光、磁之间关系的一般性研究，我找到了对这一现象的解释。这件事对我来说非常重要，因为这是我第一次可以把我的工作应用到未知的现象中。”这两项研究在当时都是高水平的，所以难度极大。尽管贫穷和营养不良，但黎曼忘记了工作，长期紧张地思考，以至于经常体力不支，甚至病倒。一旦他恢复了一点，他就继续他的研究。有志者事竟成。1854，10年6月，黎曼以论文《几何基础上的假设》发表就职演说，得到与会数学家的认可和赞扬。高斯听后大吃一惊。他觉得这个年轻人把这个难题处理得很好，赞不绝口。黎曼的这篇论文被认为是19世纪数学史上的杰作之一。
从65438年到0855年，哥廷根大学开始支付黎曼薪水，但是相当低。一年只相当于200美元。这一年里曼29岁，家里遭遇了巨大的不幸。他的父亲和一个姐姐相继去世，曾经依赖父亲的三姐妹失去了生活来源。于是riemann sum和他的兄弟们担起了照顾三姐妹生活的重担。黎曼总是担心家人的生活。1857年，黎曼年薪提高到相当于300美元。因为收入低，照顾三个姐妹的负担重，黎曼甚至不敢考虑自己的婚姻。然而就在这一年，不幸的是，它又从天上掉了下来，黎曼的哥哥又死了。这对黎曼来说就像是雪上加霜，照顾三个姐妹生活的重担落在了他一个人的肩上。在1855到1859的五年间，黎曼总是被经济困难和贫困所困，有时家里甚至陷入了自己需要计算口粮的境地。正是在这种情况下，黎曼不顾物质生活的贫困，仍然投身于数学研究，在崎岖的科学道路上奋力拼搏，取得了惊人的成就。他在数学方面的许多重要成就都是在这个时期完成的。他对阿贝尔积分和阿贝尔函数的研究开创了现代代数几何。他开创了用复解析函数研究数论的先河，开创了现代意义上的解析数论；他对超几何级数的研究促进了数学物理和微分方程理论的发展。随着研究成果的问世，黎曼在数学领域的学术声望迅速提升。他受到了许多世界著名数学家的称赞，获得了一个科学家通常能获得的最高荣誉。
大师之死
1859黎曼33岁时，高斯去世。他被任命为哥廷根大学的正教授，成为继狄利克雷之后高斯的第二接班人。这时，黎曼的生活开始好转，开始考虑个人婚姻问题，36岁时娶了朋友的姐姐。一年后，他的女儿在比萨出生。
然而，长期的贫困生活、过度劳累和旺盛的研究使黎曼变得虚弱和疲惫。1862年，黎曼患胸膜炎，不久得了肺病，一年后得了黄疸。尽管生病，只要还有一点力气，黎曼就坚持他的数学研究。虽然黎曼在此期间积极就医休养，但因病失明，最终没有效果。1866年7月20日，黎曼纯洁高尚的心停止了跳动。他过早地去世了，他也过早地离开了数学，享年40岁。
黎曼是数学史上最具原创性的数学家之一。他在数学的许多领域做了大量基础性和创造性的研究工作:他从几何方向开创了复变函数理论；是现代意义上解析数论的创始人；他亲自建立了黎曼几何，是组合拓扑学的先驱。他对微积分的严格处理做出了重要贡献；在数学物理、微分方程等领域也取得了丰硕的成果。1859年，黎曼当选为柏林传播学院院士，1866年，当选为法国巴黎传播学院院士和国外皇家学会会员。
黎曼的英年早逝，是德国数学界乃至全世界的遗憾！但他留给数学界的，在他为数不多的发表论文中，有太多丰富的概念，没有被后来的数学家充分研究。
1826年9月17日，黎曼出生在德国北部汉诺威的布雷塞伦兹村。他的父亲是一个贫穷的乡村牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁进入哥廷根大学，按照父亲的遗愿学习哲学和神学，以便将来遵从父亲的遗愿成为一名牧师。
因为从小热爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时，听了一些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学中心之一，高斯、韦伯、斯泰尔等一些著名数学家都曾在该校任教。黎曼被这里的数学教学和研究氛围所感染，决定放弃神学，专攻数学。
65438-0847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克雷、施泰纳、爱森斯坦的学生。1849年，他回到戈尔丁大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。
l851年，黎曼获得数学博士学位；1854年，他被聘为哥廷根大学的兼职讲师。1857晋升副教授；1859年，狄利克雷被聘为教授，代替他的去世。
由于多年的贫困和劳累，黎曼在1862年结婚后不到一个月就开始患上胸膜炎和肺结核，接下来四年的大部分时间都在意大利接受治疗和休养。1866于7月20日在意大利去世，享年39岁。
黎曼是世界数学史上最具原创性的数学家之一。黎曼的作品不多，但极其深刻，充满了对概念的创造和想象。在他短暂的一生中，黎曼为数学的许多领域做了大量基础性和创造性的工作，为世界数学做出了巨大的贡献。
复变函数理论的创始人
19世纪数学最独特的创造是复变函数论的创立，这是18世纪人们对复数和复变函数论研究的延续。在1850之前，柯西、雅各比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯等都曾系统地研究过单值解析函数的理论，但对于多值函数，只有柯西和皮瑟有一些孤立的结论。
1851年，在高斯的指导下，黎曼完成了题为《简单复变函数的一般理论基础》的博士论文，后来在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，进一步阐述了博士论文中的思想。一方面，他总结了前人关于单值解析函数的成果，用新的工具进行了处理，创立了多值解析函数的理论基础。
柯西和黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要创始人，后来证明黎曼方法在处理复变函数论中是必不可少的。柯西和黎曼的思想融合在一起，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西-黎曼的观点推导出来。
在黎曼对多值函数的处理中，最重要的是他引入了“黎曼曲面”的概念。多值函数通过黎曼曲面是几何直观的，黎曼曲面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼曲面上引入了支点、截线、定义了连通性，并对函数的性质进行了研究，得到了一系列结果。
黎曼处理的复函数，单值函数就是多值函数的一个例子。他将单值函数的一些已知结论推广到多值函数，特别是他提出的按连通性对函数进行分类的方法，极大地促进了拓扑学的最初发展。他研究了阿贝尔函数、阿贝尔积分和阿贝尔积分的反演，得出了著名的黎曼-罗氏定理。第一次双有理变换构成了19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。
为了完善自己的博士论文，黎曼在文末给出了他的函数论在保角映射中的几个应用，将Gauss在1825中关于平面到平面的保角映射的结论推广到任意黎曼曲面，并在文末给出了著名的黎曼映射定理。
黎曼几何的创始人
黎曼对数学最重要的贡献在于几何。他所开创的高维抽象几何的研究，以及处理几何问题的方法和手段，是几何史上一场深刻的革命。他建立了以自己名字命名的全新几何体系，对现代几何乃至数学和科学分支的发展产生了巨大影响。
1854年，黎曼为了获得哥廷根大学的额外讲师资格，对全体教职员工进行了一次演讲。这篇演讲在他死后两年(1868)发表，题目是《作为几何学基础的假设》。他在演讲中简要概述了所有已知的几何，包括新诞生的非欧几何之一的双曲几何，并提出了一个新的几何体系，后来被称为黎曼几何。
为了争夺巴黎科学院的奖金，黎曼在1861写了一篇关于热传导的文章，后来被称为他的“巴黎工作”。本文对他的1854的文章进行技术处理，进一步阐明他的几何思想。此文在他去世后1876收录在他的文集里。
黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的方式，这与高斯、波尔约、罗巴切夫斯基的欧几里德几何或者非欧几里德几何中把空间看作一个整体是相对的。黎曼摆脱了高斯等前辈将几何对象局限于三维欧氏空间的曲线曲面的束缚，从量纲的角度建立了更一般的抽象几何空间。
黎曼引入了流形和微分流形的概念，并将维空间称为流形。维流形中的一个点可以用一组可变参数的特定值来表示，所有这些点构成了流形本身。这个可变参数称为流形的坐标，并且是可微的。当坐标连续变化时，对应点遍历流形。
黎曼以传统的微分几何为模型，定义了流形上两点之间的距离、流形上的曲线以及曲线之间的夹角。基于这些概念，研究了维流形的几何性质。在维流形上，他在研究一般曲面时也定义了与高斯相似的曲率。他证明了当他在维流形上的维数等于3时，欧氏空间的情况与高斯等人得到的结果是一致的，所以黎曼几何是传统微分几何的推广。
黎曼发展了高斯关于曲面本身就是空间的几何思想，研究了维流形的内在性质。黎曼的研究导致了另一种非欧几何的诞生——椭圆几何。
在黎曼看来，有三种不同的几何。两者的区别在于给定点绕一条固定直线所做的平行线的数量。如果只能作出一条平行线，则称为欧几里得几何；如果你一个都不会，那就是椭圆几何；如果有一组平行线，就得到第三种几何，即罗巴切夫斯基几何。黎曼因此在罗巴切夫斯基之后发展了空间理论，结束了1000多年来关于欧几里得平行公理的讨论。他断言客观空间是一种特殊的流形，并预见到具有某些性质的流形的存在。这些逐渐被后人所证实。
由于黎曼考虑的是任意维的几何空间，所以对复杂的客观空间有更深的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采用了一些不同于前人的方法，使表达式更加简洁，最终导致了张量、外微分、联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦成功地用黎曼几何作为工具来解释广义相对论。现在，黎曼几何已经成为现代理论物理的必要数学基础。
微积分理论的创造性贡献
除了在几何和复变函数方面的开创性工作外，黎曼还以其对19世纪初兴起的微积分理论的完善所做出的杰出贡献而名垂青史。
18年末到19世纪初，数学界开始关心数学最大的分支微积分在概念和证明上的不严谨。波尔扎诺、柯西、阿贝尔、狄利克雷以及后来的威尔斯都致力于严格的分析。黎曼在柏林大学师从狄利克雷学习数学，对柯西和阿贝尔的工作有深刻的理解，因此对微积分理论有他独特的看法。
1854年，黎曼需要提交一篇反映自己学术水平的论文，才能获得哥廷根大学的额外讲师资格。他交的是一篇关于用三角级数表示函数的可能性的文章。这是一部内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论影响深远。
柯西曾证明连续函数必可积，黎曼指出可积函数不一定连续。柯西和他同时代的几乎所有数学家都相信连续性和可微性之间的关系，在接下来的50年里，许多教科书“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个著名的连续性和可微性的反例，最后阐明了连续性和可微性的关系。
黎曼建立了微积分教科书中所描述的黎曼积分的概念，并给出了这个积分存在的充要条件。
黎曼用自己独特的方法研究了傅立叶级数，并推广了狄利克雷条件，即关于三角级数收敛性的黎曼条件，得到了一系列关于三角级数收敛性和可积性的定理。他还证明了任何条件收敛级数的项可以适当地重新排列，使新的级数收敛到任何指定的和或散度。
解析数论的跨世纪成就
19世纪数论的一个重要发展是引入了由狄利克雷开创的分析方法和分析结果，而黎曼则开创了用复解析函数研究数论的先河，取得了跨世纪的成果。
1859年，黎曼发表了论文《给定大小下素数的个数》。这是一篇极其深入的论文，不到十页。他把素数的分布归结为函数的问题，现在称之为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并在没有证明的情况下简单断言了其他性质。
在黎曼去世后的一百多年里，世界上许多最优秀的数学家都在努力证明他的论断，并在这些努力的过程中创造了内容丰富的新分支进行分析。现在，除了他的一个断言，其余的都如黎曼所料解决了。
那个未解决的问题现在被称为“黎曼猜想”，即带状区域的所有零点都在直线上(希尔伯特23个问题中的第8个)，至今未被证明。对于其他一些领域，布尔巴基学派的成员已经证明了相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决都依赖于这个猜想的解决。黎曼的工作不仅是对解析数论的贡献，而且极大地丰富了复变函数论的内容。
组合拓扑学的先驱
在黎曼博士的论文发表之前，组合拓扑学已经有一些零散的结果，其中比较著名的是关于闭凸多面体顶点、边和面之间关系的欧拉欧拉定理。还有一些看似简单的问题长期得不到解决，如哥尼斯堡七桥问题、四色问题等，促使人们研究组合拓扑学(当时称为位置几何或位置分析)。然而，拓扑学研究的最大动力来自于黎曼的复变理论。
黎曼在1851的博士论文中，以及在对阿贝尔函数的研究中，都强调了研究函数必然需要位置分析的一些定理。按照现代拓扑术语，黎曼实际上已经按照亏格对闭曲面进行了分类。值得一提的是，他在学位论文中说，所有函数都是由连通的闭区域(在空间点上)组成的思想是最早的泛函思想。