图于霞:所以数学可以这样学。

每次听说有好书，总会默默思考，低声细语，希望能快速看一遍。但真正有书的时候，往往因为很多原因被打入“冷宫”，无人问津。

还好这本书不会说话，不然会嘲讽我是“假读者”。

这不，去年年底，朋友不厌其烦地从网上找了三本刘勋玉的《数学可以这样学》给我。翻了几页就看到了n！还有sigma等符号，我突然感觉头皮发麻，然后又旧病复发，让它和很多书一起排队。

这几天虽然事情不断，但是还有很多时间可以机动。前几天，我给自己做了一次郑重的自我批评。于是，我像壮士断腕一样，拿出了《数学可以这样学》系列的《数学趣事》，狠心三天看完。

今天终于看完了。如果你问我，你感觉如何？我告诉你，我还想快点看完另外两本书。

这本书的魅力这么大，作者刘勋玉是谁？

刘勋玉先生是我国著名的数学教育家。他的教育生涯跨越了民国和新中国两个时期。曾在多所大学、中学担任数学老师或校长，曾任人民教育出版社副总编。审定了全国中小学数学教材，发表了大量数学教育论文，出版了多部中小学数学教材和科普读物。

1983中，杨振宁在向港中学生介绍刘勋玉先生的数学学习历程时，特别提到了他。他说:“有一位刘勋玉先生，他是数学家，写了许多浅显易懂、极其有趣的数学文章。我记得在我知道排列和奇偶性这些极其重要的数学概念之前，我看过他的一篇关于智力测试的文章。”

获得诺贝尔物理学奖的著名科学家如此称赞他，可见刘教授有多厉害。

令我惊讶的是，这样一本通俗的数学书竟然是由著名作家、画家丰子恺先生作序的。穿越边境是相当时尚的。

丰子恺先生说:“我没有尝过数学的趣味，也没有参观过数学的世界。多亏啊！就是最近这本书里的几篇文章，稍微补偿了我的这个损失。我见过于迅后，他写了这些文章。每次他发表，我都读。吸引我去读它的是它们有趣的主题。我经常不自觉地被诱入数学的世界。”

有多有趣，不身临其境很难理解。所以，我不得不选择一些有趣的问题给大家尝试一下。

首先，最后一个“韩信点兵”

刘勋玉教授讲自己是小学生的时候，有个盐老板给他考，说要请他吃饭。

话题一说就清楚了。

三块地还剩两块，五块地还剩三块，七块地还剩两块。有多少？

当时的刘勋玉也是意气风发，踌躇满志，心想，这不就是常见的倍数吗？一个在儿科。

所以，他连忙说，算了，还不止一个。

阎老板连夸孩子聪明。

刘勋玉想到了之前做过的题目。三处有两处不同，五处有四处不同，七处有六处不同，至少有几处。就是求3、5、7的最小公倍数，然后加1(正好是余数1)得到106。

于是，他用自己的一套思路算出了答案，最低是104，还有209。

结果盐老板说不对。查了一下，不是。

刘勋玉回来后，被爷爷骂了一顿，警告他以后“宁可不在人前，不在人前残缺。”

如果他真的是封建时代的爷爷，我们今天的父母朋友肯定不会这样指责孩子。他们一定会问盐老板怎么算出正确答案。

那么如何解决这个问题呢？

这个问题来自数学经典《孙子兵法》的计算。“有些东西是不可知的，三三个数剩两个，五五个数剩三个，七七个数剩两个。请教几何？”

后来为了把这个问题更具体化，人们把它改编成“韩信点兵”问题。

一场战斗后，韩信想清点一下士兵的人数。让士兵三人一组，两人一组不行；五人一组，不能三人一组；七人一组，两个人不能分组。那这些士兵有多少人？

怎么想？让我们记住两个常识:

第一，某数的倍数是否是某数的倍数；

第二，一个数的几个倍数之和还是一个数的倍数。

35是5和7的倍数，除以3得2，

21是3和7的倍数，除以5余数1。如果要保持3，就要包含三个21，也就是21×3。

15是3和5的倍数，除以7等于1，如果要做2，就要包含两个15，即15×2。

把以上三个数字加起来。

35+21×3+15×2=128。

105是3、5、7的公倍数，所以被3、5、7除的余数在加减105后不会改变，128-105=23。一般的解法是:23+105n，其中n = 0，1，2，3 …

很难理解吗？然后看阿图的演示方法:(从上到下看)

35 + 21 ×3?+ ?15×2?= 128

7的倍数？+?7的倍数？+?乘7的余数2 =乘7的余数2

5的倍数？+?5的倍数和3+的余数？5的倍数= 5的倍数和3的余数。

3的倍数，2+3的倍数？+?3的倍数= 3的倍数和2的余数。

明白了吗？好吧，让我们试一试。

四块地三个以上，五块地两个，七块地三个。最小数量是多少？

是不是有点圆？头疼对我来说还不错。

我们去别的地方看看《罗汉堆》。

堆罗汉是什么意思？从最下面一排开始数，每排至少有一个人，直到最上面只有一个人。

数学上，我们称一组数列中相差相同的数为等差数列。不难理解等差数列的计算，比如

1+2+3+4+5+6+ 7......+n

听过高斯故事的人都知道，首尾相加，乘以项数，再除以2。用字母表示:n(n+1)/2。

类似这个性质的，还有从1到某个数的整数的平方和与立方:

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2……

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3……

(2，3，是正方形和立方体的格式)

你还记得求和公式吗？它们是:

∑n^2=n(n+1)(2n+1)/6

∑n^3=[(n×(n+1))/2]^2

但它是如何推导出来的呢？刘勋玉先生的方法可以说是妙不可言。

求平方和:

1，2，3，4的平方可以用小方块来表示。

1^2+2^2+3^2+4^2

把它们堆起来，就会像图1或者图2。把两个1的图和第二个图合起来，就成了第三个图，是它们之和的三倍。

第三个图形的长度是1+2+3+4，宽度是2× 4+1。

因为1 2+2 2+3 2+4 2是它们面积的三分之一，所以平方和为:

4(4+1)/2?×( 2×4+1)÷3

改成n推一般规律。

n(n+1)(2n+1)/6

当然，这种归纳方法并不严格。我们需要再次使用n+1，并将其应用到公式中。如果它不成立，我们这里就不需要它了。反正大家都懂。

那么怎么求立方和呢？

请看下图。有没有发现2的立方是3的平方减去1的平方？3的立方是6的平方减去3的平方，4的立方是10的平方减去6的平方。把它们放在一起，正好是10的平方。

所以1 3+2 3+3 3+4 3 =的平方(1+2+3+4)。

推到一般规律上，就是

[(n×(n+1))/2]^2

华先生曾说:

缺号的时候不太直观，缺号的时候很难细致入微。

数形结合好，万物分离。

你觉得用这首诗来表达你此时的心情是不是特别准确？

好了，再练一道题。

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=

你不妨画个图，一定会有收获。

你累了吗？一遍又一遍，再加点油，继续。

让我们来看看《八仙漂洋过海》。

不知道大家有没有遇到过类似“八仙过海”的事情？我在一些旅游景点见过。比如算命先生拿出几百个姓氏，让人们点开。点开后，他们可以猜出别人的姓是什么。这有点复杂。简单点说吧。

一个人把八种不同的钱在桌子上排成两排，叫你看一种，记在心里。

他把钱收好，重新排好，还是上下两排。他还让你看你上次识别的是哪一行，记住。

他又把钱收好，重新排成两排。这次他让你看，让你告诉他你看的钱的位置。

比如你对他说“上下”，他会给你看下一排第二个。虽然你觉得有点奇怪，想否认，但是你的脸不会替你掩饰。

为什么这个男人有这样的能力？你会怀疑他是偶然猜到的，但他绝对不会失败一次两次三次，这肯定不是偶然。

这里有什么秘密？为了方便，我把这八个钱放在字母里。先这么说吧:

DCBA

HGFE

你说上，那么，一定是ABCD，他这样放，都是左右，不分先后。

OOCA

面向对象数据库

然后你说下一个，肯定是BD，他又做了。其他顺序不重要。

OOOB

OOOD

如果你再说一遍，那一定是b。

当然，这太幼稚了。现在来个升级版吧。

就是有人看着你摆动三次，才告诉你上下，你就能知道他在想哪个字母。

真的吗？试试看。

先这么说吧:

D C B A

H G F E

然后从右到左，一个接一个。

(AEBFCGDH)，然后从左到右，先放下一排，再放上一排。

联邦建筑工程局

高密度石墨碳

也是从右到左，一个一个的收集(ACEGBDFH)。

或者从左到右，先放下一排，再放上一排。

通用电气公司

h？食品药品管理局

为什么能猜出来？看看这些字母的位置。

a上，上，上，b上，下。

c上下？向上和向下

e，上下？向上和向下

g下，上，下？h呷呷呷

八个字母的位置都不一样。他不能说是哪一个，但你可以指出来。

你现在明白了吗？当八仙渡海时，隐藏的是安排问题。生活中安排问题比比皆是。

比如一张八仙桌，现在有8个客人要来你家。那么，他们的座位有多少种不同的安排呢？

通常人们认为可能有几十个。

刘教授叫我们先固定一个位置，让八个人轮流坐这个位置。第一个人固定后，第二个位置有七个人可以轮流坐。以此类推，即:

8X6x6 X5x3x2x1 = 40320(种类)

这种说话方式估计很多人还是觉得云里雾里的，那我们回到原点思考一下:

1人坐在一个位置是1种情况。

两个人坐两个位置，分别是12和21，两种情况。

三个人坐三个位置，分别是123，132，213，231，312，321。

四个人坐在四个位置，分别是1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2138。3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4265438.

如果我继续上市，我会晕倒的。找到规律了吗？

1!=1

2!=2x1= 2

3!=3x2x1=6

4!=4x3x2x1=24

概而言之，所有n个不重复的东西的排列就是n的阶乘。

好吧，我们做个改变。如果有18名选手，如果选择11人参加比赛会有多少种情况？

遇到难题的时候特别愿意退一步。我觉得对解决问题和生活大有裨益。

正如布袋和尚的启蒙诗所说:

用手将青苗插入田间，低头就能看到天上的水；

一颗赤子之心才是路，倒退才是前进。

我们先想想:

如果有四个人，选两个人比赛，有几种情况？

用1，2，3，4来代表这四个人。

如果由两位数组成，则为12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43 * * 65443。

但是选拔赛，12和21，13和31，都是一样的。因此

4x3÷(1 x2)=6

如果四个人选三个人比赛，有几种情况？

如果由三位数组成，有24种情况:

1当国王(百年)有六种:

123,132,124,142,134.143

肯定还有其他六种王，所以有24种王。

但是123，132，213，231，312，321，都是1，2，3吗？所以除以6。(3位数放3位数有6种方法，除了0。)

4x3x2 ÷(3x2 x1)=4

从n个人中选m个人参加比赛，就是n！÷m！

再试一次？

有五个不同的字母。选三个放。有多少种不同的方式？

朋友，如果你看到了这条线，说明你真的热爱数学；如果你不仅看懂了，还看懂了，说明你数学真的很好；如果你不坚持看这个地方，说明你的天赋可能在科学之外...

哈哈，我只是跟你玩玩。锻炼大脑，快乐起来！正如著名数学家陈省身先生所说:数学是有趣的。

最后引用罗素的话:数学是这样一种东西，学它的人不知道自己在做什么。