割圆术对微积分的起源
背景
“无限”的观念在古代西方和中国都有萌芽。“Circlectomy”就是这个想法的提现。阿基米德利用圆内的正96边形得到圆周率从223/71到22/7的数值，我国魏晋时期著名数学家甚至利用圆内惊人的正3072边形使圆周率的数值精确到3.1416。这些方法都体现了“无限除法，无限求和”的微积分数学思想。但是，由于生产实践水平低，这些思想很难进一步发展和完善。
时间很快就到了16世纪，社会生产实践水平也达到了一个新的水平。天文学和物理学的迅速发展带来了许多数学问题，如如何求瞬时速度和加速度，如何计算弯曲三角形的面积。进入17世纪后，科学家的注意力逐渐集中在四类问题上:1。已知物体的位移-时间关系函数，求其任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度-时间函数，求出速度和位移。2.求已知曲线的切线。3.求已知函数的最大值和最小值。4.求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体重心的位置，物体(如行星)对另一物体的引力。在对这些问题的探索中，笛卡尔、巴罗(牛顿在剑桥大学的老师，微积分的早期先驱之一)、开普勒、卡瓦列里(意大利数学家，西方“祖源原理”的发现者)等科学家都做出了开创性的贡献。但是，仍然没有完整的理论。随着大量知识和方法的积累，一门全新的学科脱颖而出。
巨人和大师:牛顿和莱布尼茨
牛顿(1642-1727)出生在一个纯粹的农民家庭。父亲早逝后，母亲被迫改嫁给一名牧师，牛顿和祖母住在一起。残酷的家庭境遇造成了牛顿沉默寡言、倔强的性格。牛顿中学时成绩并不突出，但好奇心和求知欲相当强。眼光独到的中学校长和牛顿的叔叔鼓励牛顿上大学，于是牛顿以一名减免学费的学生进入剑桥大学三一学院，开始了他的科学巨人之路。
据记载，牛顿对微积分的研究始于1664年。这时，他仔细研读笛卡尔的巨著《几何》，对书中求曲线切线的方法着了迷。渴求知识的牛顿迫切寻求一种更有效、更通用的方法来解决这个问题。
经过两年的思考，1666+00年6月，牛顿写出了数学史上第一篇微积分论文《流数短论》，历史性地提出了“流数”的概念。牛顿把“流量数”对应到速度，也就是位移函数的微信业务对应到时间，然后把速度对时间的微信业务作为加速度。经过三年的仔细考虑，牛顿完成了他的第二篇论文《用无限多项式方程分析》。本文给出了求因变量对自变量的瞬时变化率的一般方法，同时也证明了求变化率的逆过程可以得到面积，这其实与微积分的基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)非常接近。1671年，牛顿在他的第三篇论文《流与无穷级数》中完善了第一篇的内容，使讨论和方法更加清晰。又过了五年，牛顿写出了他最成熟的微积分论文《曲线求积论》，进一步完善了对对流数的理解，清晰地描述了微积分的基本定理，还给出自己发明的一系列标记。
至此，一代巨人完成了创造微积分的伟大壮举。然而，由于他保守内向的性格，牛顿很长一段时间没有公开发表他的论文，只有他的几个朋友知道。直到1687年，牛顿在好友哈雷的鼓励和要求下，才出版了他的代表作《自然哲学的数学原理》。直到那时，牛顿的微积分工作才公之于众。正是牛顿的犹豫，引发了牛顿与“微积分之父”莱布尼茨长达一个世纪的争论，也造成了英国科学界与欧洲科学界的长期隔阂。
莱布尼茨(1646-1716)出生于德国莱比锡。他的研究领域涵盖数学、物理、哲学、历史、生物、机械和神学，是人类历史上不可多得的天才和全才。同时，莱布尼茨也是中国文化的狂热爱好者。在莱布尼茨时代，德国在科学教育和科学发展方面落后于英国。
1672年，莱布尼茨来到巴黎，在惠更斯的鼓励下开始研究数学。一年后，莱布尼茨访问了伦敦，得到了一本巴罗的几何讲义，并从一些数学家那里听说了牛顿的工作。回到巴黎后，深思熟虑的莱布尼茨研究了帕斯卡、笛卡尔和卡瓦列里的作品。比牛顿早三年，他发表了历史上第一篇微积分论文，仿佛为了证明论文的划时代意义，莱布尼茨取了一个很长的名字:“一种求极大极小和切线的新方法，同样适用于分数和无理数，以及这种新方法的计算的奇妙类型”。在这篇论文中，莱布尼茨给出了接近现代的微分符号和定律。在1677的手稿中，莱布尼茨也对微积分的基本定理进行了粗略的表述。9年后，莱布尼茨发表了《解析深奥的几何与不可或缺性和无穷性》一文，再次讨论了积分与微分的关系。
同时，莱布尼茨非常热衷于寻找简单的符号来简化计算。今天，大多数微积分符号都来自莱布尼茨。
牛顿研究微积分更早，但莱布尼茨发表结果更早，但一场争论在所难免。正因如此，在海外被孤立的英国几乎长期切断了与欧洲大陆的联系，导致英国数学甚至科学的落后。
然而，牛顿和莱布尼茨对无穷小概念的描述和使用都是含糊不清的，有时将其视为不确定的量，有时将其视为定性的“0”，因此微积分理论长期受到批评和质疑。
分析的刚性
微积分的出现迅速催生了一系列全新的数学分支，如微分方程、微分几何、函数论、变分分析等。数学属于分析的时代，但微积分理论的严密性仍然是无数数学家的大问题。
第一个在这个领域进行大胆尝试的数学家是波尔扎诺(1781-1848)。他给出了连续函数定义的现代表述，他还指出dy/dx只是一个符号，不应该理解为一个比值。
贡献最大的是柯西(1789-1857)。1821年，柯西出版了《分析教程》、《微积分讲义》、《微积分在几何中的应用》三部重要著作，给出了微积分的一系列严格定义。首先，他将无穷小视为极限为0的变量，从而一举解决了长期以来无穷小“似0非0”的模糊局面。在此基础上，他给出了连续性、微分、积分、导数等一系列概念的严格定义。但是他对极限定义的描述还是用了很多字面上的东西，不符合数学家的追求。
著名的关于极限的“ε-δ”语言是半个世纪后由德国数学家维尔斯特拉斯(1815-1897)提出的。19世纪以后，实数理论和集合论得到了空前的发展，戴德金(1831-1965438，一个高斯学生)和康托尔(1845-1965438)。经过几十年的努力，分析科学严谨性的历史任务终于画上了圆满的句号，结束了长达300年的各方“混战”，使分析科学成为像欧洲几何学一样基础坚实的严谨科学。分析时代达到了前所未有的高潮，各个分支的发展越来越繁荣。