一篇关于黑皮诺的论文
证明:
首先证明以下命题:
对于集合Zn={x1，x2，...，xφ(n)}，考虑集合。
S = {ax1 mod n，ax2mod n，...，axφ(n)mod n}
那么S = Zn
1)由于a，N互质，xi与N互质，那么axi一定与P互质，因此
任何xi，axi mod n必须是Zn元素
2)对于Zn中的两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
然后axi mod n ≠ axi mod n，这可以从A和P的互质和消元法得到。
所以，很明显，S=Zn
在这种情况下，那么
(ax1 × ax2×...×axφ(n))mod n
= (ax1 mod n × ax2mod n ×...× axφ(n)mod n)mod n
= (x1 × x2 ×...× xφ(n))mod n
考虑上述等式左侧和右侧。
左边等于(a φ (n )× (x1× x2×)...× xφ (n)) mod n) mod n。
右侧等于x1× x2×...× xφ (n)) mod n。
和x1 × x2 ×...× xφ(n))mod n和p互质。
根据消元法，我们可以从等式两边相减，得到:
aφ(n) ≡ 1 mod n
推论:对于互质数A和N，满足aφ(n)+1 ≡ a mod n。
费马定理
a是不能被素数p整除的正整数，所以有AP-1 ≡ 1 mod p。
证明这个定理很简单，因为φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
还推断对于不能被素数p整除的正整数A，存在ap ≡ a mod p。
[编辑本段]欧拉公式
简单多面体的顶点数V、面数F和边数E之间存在关系。
V+F-E=2
这个公式叫做欧拉公式。该公式描述了简单多面体的顶点数、面数和边数的独特规律。
[编辑此段]了解欧拉
瑞士数学家欧拉在13岁时到巴塞尔大学学习，得到著名数学家伯努利的悉心指导。欧拉是科学史上最多产的杰出数学家。他从19岁开始发表论文，一直到76岁。在他孜孜不倦的一生中，* * *写了886本书和论文，其中有700多篇论文是他生前写的。为了整理他的作品，彼得堡科学院花了47年时间。
欧拉的作品出奇的多，这不是偶然的。他顽强的毅力和孜孜不倦的学术精神能使他在任何恶劣的环境下工作:他经常抱着孩子跪着完成论文。即使在失明后的17年期间，他也没有停止学习数学，并口述了几本书和400多篇论文。他是在写出计算天王星轨道的计算要领时去世的。欧拉永远是我们尊敬的老师。
欧拉的研究著作几乎涉及数学的所有分支，包括物理力学、天文学、弹道学、航海、建筑学、音乐！有很多公式、定理、解、函数、方程、常数都是以欧拉命名的。欧拉写的数学课本，在当时一直被认为是标准课程。19世纪伟大的数学家高斯(1777-1855)曾说过“研究欧拉的著作永远是理解数学的最佳途径”。欧拉也是数学符号的发明者。他创造的许多数学符号，如π，即sin，cos，tg，∑，f (x)等，沿用至今。
欧拉不仅解决了计算彗星运行轨迹的问题，还解决了让牛顿头疼的月球偏离问题。著名的“哥尼斯堡七桥”的完美解决，开启了“图论”的研究。欧拉发现，无论什么形状的凸多面体，其顶点数V、边数E、面数F之间总有一个关系，V+F-E=2，这就是所谓的欧拉公式。V+F-E，即欧拉特征，已成为“拓扑学”的基本概念。那么什么是“拓扑”呢？欧拉是如何发现这种关系的？他是怎么研究的？今天，就让我们跟随欧拉的脚步，怀着崇敬和欣赏的心情来探索这个公式吧。......
[编辑本段]欧拉定理的意义
(1)数学定律:公式描述了一个简单多面体的顶点数、面数和边数之间的唯一规律。
(2)思想和方法的创新:在定理发现和证明过程中，概念上假设其表面是橡胶膜，可以任意拉伸；方法将底面切掉，变成平面图形(立体图形→平面图)。
(3)拓扑学介绍:从三维图到开放图，每个面的形状、长度、距离、面积都发生了变化，而顶点数、面数、边数保持不变。
定理引导我们进入几何学的一个新领域:拓扑学。我们用的是一种材料(比如橡胶波)，可以随意变形，但是不能撕，不能粘。拓扑学就是研究图形在这个变形过程中不变的性质。
(4)提出一种多面体分类方法:
在欧拉公式中，f (p)=V+F-E称为欧拉特性。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。
除了简单多面体，还有非简单多面体。比如在长方体上挖一个洞，连接底部对应的顶点，就得到一个多面体。它的曲面不能通过连续变形转化为球面，但可以转化为圆环面。欧拉特征f (p)=16+16-32=0，即带洞多面体的欧拉特征为0。
(5)欧拉定理可以解决一些实际问题。
比如为什么只有五个正多面体？足球和C60有什么关系？有边数为7的正多面体吗？等待
[编辑此段]欧拉定理的证明
方法1:(使用几何画板)
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E。
先以简单四面体ABCD为例分析证明方法。
当一个面被去掉后，它就变成了一个平面图形，四面体顶点数e、边数v和剩余面数F1在变形后保持不变。所以为了研究V，E，F之间的关系，我们只需要去掉一个面，把它变成一个平面图形，证明V+F1-E=1。
(1)如果去掉一个边，减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有面，变成“树形”。
(2)每从剩余的树形中去掉一条边，就减少一个顶点，V+F1-E保持不变，直到只剩下一条边。
在上面的过程中，V+F1-E保持不变，V+F1-E=1，所以增加一个去掉的曲面，V+F-E =2。
对于任何简单的多面体，这种方法只剩下一条线段。因此，该公式对任何简单多面体都是正确的。
方法二:计算多面体内角之和。
设多面体的顶点数v、面数f和边数e。切掉一个面，使之成为平面图形(开图)，求面内所有角的和∑ α。
一方面，内角之和是利用原图中的各个面得到的。
有f个面，每个面的边数为n1，n2，…，nF，每个面的内角之和为:
∑α=[(n 1-2)1800+(N2-2)1800+……+(nF-2)1800]
=(n 1+N2+…+nF-2F)1800
=(2E-2F) 1800 =(英-法)3600 (1)
另一方面，内角的和是通过使用开放图中的顶点获得的。
设一个割面是一个N多边形，其内角之和是(n-2 n-2) 1800，那么在所有V个顶点中，边上有N个顶点，中间有V-n个顶点。中间V-n个顶点的内角之和为(V-N) 3600，边上N个顶点的内角之和为(N-2 n-2) 1800。
所以，多面体每个面的内角之和:
∑α=(V-n)3600+(n-2)1800+(n-2)1800
=(V-2) 3600。(2)
from(1)(2):(e-f)3600 =(v-2)3600。
所以V+F-E=2。
方法3用拓扑方法证明欧拉公式。
尝试用拓扑学方法证明关于多面体的面数、棱数和顶点数的欧拉公式。
欧拉公式:对于任何多面体(即有平面无孔洞的立体)，假设F、E、V分别代表面、边(或棱)、角(或顶)的个数，则
F-E+V=2 .
证明如图(图为正方体，但证明具有一般性和“拓扑性”):
(1)将多面体(图中①)视为空心固体，表面有薄橡胶。
(2)如果去掉多面体的一个面，就可以在平面上完全展开，在平面上得到一条直线，如图2所示。假设f′、e′和v′分别表示这个平面图的(简单)多边形、边和顶点的个数，我们只需要证明f′-e′+v′= 1。
(3)对于这个平面图形，进行三角形划分，也就是说把对角线引入到不是三角形的多边形中，直到它们变成三角形，如图3所示。每引入一条对角线，F′和E′分别增加1，而V′不变，所以F′-E′+V′不变。所以当它被完全分成三角形时，f′-e′+v′的值保持不变。有些三角形在平面图形的边界上有一边或两边。
(4)如果一个三角形在边界上有一边，如图④中的△ABC，去掉这个三角形不属于其他三角形的边，即AC，这样就去掉了△ABC。这样F′和E′各减1，V′不变，所以F′-E′+V′不变。
(5)如果一个三角形在边界上有两条边，如图5中的△DEF，去掉这个三角形不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉了△DEF。这样F′减1，E′减2，V′减1，所以F′-E′+V′不变。
(6)继续这样，直到只剩下一个三角形，如图6所示。此时F′= 1，E′= 3，V′= 3，所以F′-E′+V′= 1-3+3 = 1。
(7)因为原来的图形是连在一起的，中间引入的各种变化不会破坏这个事实，所以最后的图形还是连在一起的，所以最后的图形不会是几个向外散开的三角形，像图中的⑦。
(8)如果看起来像图片的结尾，我们可以去掉其中一个三角形，即1个三角形，3条边，2个顶点。所以F′-E′+V′保持不变。
即f′-e′+v′= 1。
成立，所以欧拉公式:
F-E+V=2
领证。
[编辑本段]欧拉定理的应用方法
(1)分数:
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0，1时，公式的值为0。
当r=2时，值为1。
当r=3时，值为a+b+c B+C。
(2)复数
从e I θ = cos θ+isinθ，我们得到:
sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i
cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2
(3)三角形
设r为三角形外接圆的半径，r为内切圆的半径，d为外中心到内中心的距离，则:
d^2=R^2-2Rr
(4)多面体
设v为顶点数，e为边数，f为面数，则
v-e+f=2-2p
例如，p是欧拉特征。
p=0的多面体称为零类多面体。
p=1的多面体称为第一多面体。
(5)多边形
设二维几何图形的顶点数为v，划分区域数为ar，笔画数为b，则有:
V+Ar-B=1
(例如，由一个矩形和两条对角线组成的图形，v = 5，ar = 4，b = 8)
(6)欧拉定理
在同一个三角形中，它的外接圆、重心、九点中心和垂心***线。
其实欧拉公式有很多，以上只是几种常用的。
【编辑此段】用欧拉定理计算足球五边形和六边形的个数。
问:足球表面由五边形和六边形皮革制成。一个* * *，有多少个这样的五边形和六边形？
答:足球是一个多面体，满足欧拉公式F-E+V = 2，其中F、E、V E、V分别代表面、边、顶点的个数。
假设足球表面有X和Y的正五边形(黑色皮革)和六边形(白色皮革)，那么
面数f = x+y
边数e = (5x+6y)/2(每条边由一个黑色皮革和一个白色皮革* * *)组成。
顶点数v = (5x+6y)/3(每个顶点由三个皮肤* * *)使用。
根据欧拉公式，x+y-(5x+6y)/2+(5x+6y)/3 = 2，
解是x = 12。所以* * *有12块黑皮。
所以黑皮* * *有12× 5 = 60个边，都和白皮缝在一起。
白皮:每张白皮的六个边中，三个边与黑皮的边缝在一起，另外三个边与其他白皮的边缝在一起。
所以白色皮革的所有边的一半与黑色皮革缝合在一起。
那么一张白色皮革应该有60× 2 = 120边，120 ÷ 6 = 20。
所以* * *有20块白皮
(或者，每个六边形的六条边与其他三个六边形的三条边和三个五边形的三条边相连；每个五边形的五条边与其他五个六边形的五条边相连。
因此，五边形的数目x=3y/5。
X=12，所以y=20)。
经济学中的“欧拉定理”
在西方经济学中，产量与生产要素L和K的关系表示为Q = Q (L，K)。如果具体函数形式是齐次的，那么就有:Q = L(？Q/？L)+K(？Q/？k)，换句话说，产品的净分布取决于q是否可以表示为齐次函数。
因为？Q/？L = mpl = w/p视为劳动对产出的贡献。Q/？K = MPK = R/P被认为是资本对产出的贡献。因此，这个公式被解释为“产品分配网定理”，即所有产品只是由所有要素分配而没有剩余。因为在形式上符合数学欧拉定理，所以叫欧拉定理。
同余理论中的“欧拉定理”
设a，m∈N，(a，m)=1，则a (f (m)) ≡ 1 (mod m)。
(注:f(m)指模m的简单系统的个数)
[编辑本段]欧拉公式
在数学史上，许多公式是由欧拉(莱昂哈德·欧拉公元1707-1783)发现的。都叫欧拉公式，散见于数学的各个分支。
1，复变函数论中的欧拉公式；
E ix = cosx+isinx，e是自然对数的底数，I是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩展到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位。
将公式中的x替换为-x，得到:
E-IX = cosx-isinx，然后我们将两个公式相加相减得到:
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。取e ix = cosx+isinx中的x为∏，则得到:
e^i∏+1=0.
这个恒等式也被称为欧拉公式，是数学中最迷人的公式，它连接了数学中几个最重要的数学:两个超越数:自然对数的底数e，pi ∏，两个单位:虚数单位I和自然数单位1，以及数学中常见的0。数学家评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看而不能理解。
2.拓扑中的欧拉公式；
V+F-E=X(P)，v是多面体P的顶点数，F是多面体P的面数，E是多面体P的边数，X(P)是多面体P的欧拉特征。
如果P可以在球面上同胚(通俗的理解可以是膨胀成球面)，那么X(P)=2，如果P在有H个环柄的球面上同胚，那么X(P)=2-2h。
X(P)称为P的拓扑不变量，这是拓扑学的研究范围。
3.初等数论中的欧拉公式；
欧拉φ函数:φ(n)是所有小于N的正整数中N互质的整数个数，N为正整数。
欧拉证明了下面的公式:
如果n的标准素因子的因式分解是p1 a1 * p2 a2 *...* pm * am，其中所有PJ (j = 1，2，...，m)都是质数，彼此不相等。然后是
φ(n)= n(1-1/p 1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
可以用包含和排除原理来证明。
定理:正整数A和N互质，则a φ (n)除以N，余数为1。
证明了设{A1，A2，...，Am}是模n的收缩系(如果整数A1，A2，...，Am模N对应于0，1，2中的所有m个自然元素，...，n-1。
然后{a A1，a A2，...，a Am}也是模n的收缩系(如果a Ax和a Ay (x不等于y)除以n，余数相同，则a(Ax-Ay)是n的倍数，这显然是不可能的)。
那就是a1 * a2 * a3 *...am aa 1 * aa2 *...AAM (mod n)(其中m=φ(n))。
截掉A1 * A2 * A3 *...AM两边得到1 ≡ A φ (n) (mod n)。
看一看