数字的起源和发展

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单来说就是研究数字和形状的科学。由于生活和劳动的需要，即使是最原始的人也知道简单的计数，并且已经从用手指或物体计数发展到用数字计数。在中国，最迟在商代就出现了用小数表示大数的方法；到了秦汉时期，已经有了完善的十进制。在《九章算术》中，不晚于公元一世纪，包含了只有在数值系统中才有可能的平方根和平方根的计算规则，以及分数的各种运算和求解线性联立方程的方法，还引入了负数的概念。

刘徽在《算术九章注释》中也提出用小数来表示无理数平方根的奇零部分，但直到唐宋时期(在欧洲，16世纪的史蒂文之后)才普遍使用小数。在这本书中，刘徽用圆内接正多边形的周长来近似圆的周长，成为后世求圆周率的通用方法。

虽然中国从未有过一般的无理数或实数的概念，但实质上，中国早已完成了当时实数系的全部算术和方法，这不仅在应用上是不可或缺的，在早期数学教育中也是不可或缺的。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲，则侧重于研究数的性质以及这些性质之间的逻辑关系。

早在欧几里得的《几何原本》中，就有素数的概念和素数的无穷数以及整数的唯一分解等结论。古希腊发现了不带分数的数，现在称为无理数。从16世纪开始，因为解高阶方程，复数又出现了。到了近代，数的概念被进一步抽象，根据数的不同运算规则，从理论上独立讨论了一般的数系，形成了数学的几个不同分支。

平方根和平方根是求解最简单的高阶方程的必要运算。在《九章算术》中，出现了求解一种特殊形式的二次方程。宋元时期引入了明确的“天元”(即未知数)概念，出现了求高次方程数值解和求最多四个未知数的高次代数联立方程解的方法，俗称天元术和四元术。与之相伴的多项式的表达式、算法、消元法接近近世代数。

在中国以外，9世纪阿拉伯人华·拉米兹的著作阐述了二次方程的解法，通常被认为是代数的鼻祖，其解法与中国古代依靠切割的几何方法本质相同。中国古代数学致力于方程的具体求解，而源于古希腊和埃及的欧洲数学则不同，一般致力于探索方程解的性质。

16世纪，吠陀用文字代替了方程系数，引入了代数符号演算。探索代数方程的性质，是从线性方程衍生出行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念和理论的出现。从代数方程导致复数和对称函数等概念的引入，到伽罗瓦理论和群论的建立。在近代异常活跃的代数几何，无非是对高次代数方程组解的集合的理论研究。

形状的研究属于几何学的范畴。古代民族都有简单的形状概念，往往用图画来表示，而图形之所以成为数学对象，是由于工具制作和测量的要求。规则被用作正方形。在中国古代，于霞靠泊水面时有尺、矩、尺、绳等测量工具。

莫箐有一系列几何概念的抽象概括和科学定义。周快的《suan经》和刘徽的《海岛suan经》给出了用矩观察天地的一般方法和具体公式。在刘徽注的《九章算术》和《九章算术》中，除了勾股定理之外，还提出了一些解决各种问题的一般原理。比如求任意多边形面积的原理是互补的；求多面体体积所需的二比一原理(刘辉原理)；5世纪时，祖(日恒)为了求得一个曲线形状的体积，特别是一个球体的体积，提出了“势若相同，积不可不同”的原理。还有一种极限法(割线)，用内接正多边形来近似圆的周长。但自五代(约10世纪)以来，中国在几何方面的成就甚微。

中国的几何学以面积和体积的测算为中心任务，而古希腊传统则重视形状的性质与各种性质的关系。欧几里得的《几何原本》建立了由定义、公理、定理和证明组成的演绎系统，成为近代数学公理化的典范，影响了整个数学的发展。尤其是对平行公理的研究，导致了19世纪非欧几何的出现。

欧洲文艺复兴以来，通过对绘画的透视关系的研究，出现了射影几何。公元18世纪，加斯帕尔·蒙日应用分析方法研究形状，开创了微分几何。高斯的曲面理论和黎曼的流形理论创造了一种把形状作为一个独立的物体而没有周围空间的研究方法；19世纪，克莱因从群的观点统一了几何。此外，如康托尔的点集理论，它扩大了形状的范围；庞加莱创立了拓扑学，使形状的连续性成为几何研究的对象。这些都让几何学焕然一新。

在现实世界中，数字和形状就像影子一样，密不可分。中国古代数学反映了这种客观现实，数和形从来都是相辅相成，并行发展的。比如毕达哥拉斯测量提出了平方根的要求，平方根和平方根的方法是基于几何的考虑。二次和三次方程的生成也大多来源于几何和实际问题。宋元时期，由于天元概念和等价多项式概念的引入，出现了几何代数。

在天文学和地理学中，目录和地图的绘制已经用数字来表示地点，但还没有发展到坐标几何的地步。在欧洲，到了14世纪，奥尔斯姆关于经纬度的图形表示和功能的著作已经萌芽。17世纪，笛卡尔提出了几何事物代数表示的系统方法及其应用。受其启发，经过莱布尼茨和牛顿的工作，发展成为坐标解析几何的现代形式，使数形统一更加完善，不仅改变了过去遵循欧几里得几何的旧的几何证明方法，而且引起了导数的产生，成为微积分的根源。这是数学史上的一件大事。

17世纪，由于科学技术的要求，数学家研究运动和变化，包括量的变化和形状的变换(如投影)，也产生了函数和无穷小分析的概念，也就是现在的微积分，使数学进入了研究变量的新时代。

18世纪以来，以解析几何和微积分的创立为契机，数学以前所未有的规模迅速发展，出现了众多的分支学科。由于自然界的客观规律大多以微分方程的形式表达，微分方程的研究从一开始就受到了极大的重视。

微分几何与微积分同时诞生，高斯和黎曼的工作产生了现代微分几何。19与20世纪之交，庞加莱创立了拓扑学，开辟了定性地、整体地研究连续现象的途径。对客观世界中随机现象的分析产生了概率论。第二次世界大战的军事需要，以及大规模工业和管理的复杂性，产生了运筹学、系统论、控制论、数理统计等学科。实际问题需要特定的数值解，从而产生了计算数学。选择最佳方式的要求产生了各种优化理论和方法。

力学、物理学和数学的发展一直是相互影响、相互促进的，尤其是相对论和量子力学，促进了微分几何和泛函分析的成长。另外，在19世纪，化学只用了一个方程，生物学几乎没有用到数学，一些前沿的数学知识已经在用了。

19世纪后期，集合论出现并进入了一个批判时代，它促进了数理逻辑的形成和发展，也产生了各种思潮和把数学看作一个整体的数学基本流派。尤其是1900年，德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上就当代数学的重要问题发表演讲，20世纪30年代开创的以结构的概念看待数学的法国布尔巴基学派的兴起，对二十世纪数学的发展产生了巨大而深远的影响，科学数学化一词开始被人们所享用。

数学的边缘不断向自然科学、工程技术甚至社会科学渗透和扩展，并从中汲取营养，出现了一些边缘数学。数学本身的内在需求也催生了许多新的理论和分支。与此同时，其核心部分不断得到巩固和改进，有时还进行适当调整以满足外部需求。总之，数学这棵大树枝繁叶茂，根深叶茂。

在数学的蓬勃发展中，数和形的概念不断扩大，越来越抽象，以至于没有了最初的计数和简单图形的痕迹。尽管如此，在新的数学分支中，仍有一些对象和运算关系是用几何项来表示的。例如将一个函数视为某个空间中的一个点。归根结底，这种方法之所以有效，是因为数学家们已经熟悉了简单的数学运算和图形关系，有着长期而深厚的实践基础。而且，即使是最原始的数字，比如1，2，3，4，还有几何图形，比如点，直线，都已经被人高度抽象化了。所以，如果把数和形理解为广义的抽象概念，那么上面提到的把数学作为研究数和形的科学的定义，也适用于现阶段的现代数学。

因为数学研究对象的数量关系和空间形式来自于现实世界，所以数学虽然在形式上高度抽象，但始终植根于现实世界。生活实践和技术需求永远是数学的真正源泉，反过来，数学在改造世界的实践中发挥着重要而关键的作用。理论的丰富和完善与广泛应用在数学史上一直是相伴而生、相互促进的。

但是，由于各个民族和地区的客观条件不同，数学的具体发展过程也不同。总的来说，古代中华民族用竹子作为计算的工具，自然就产生了十进制的数值体系。计算方法的优越性有助于实际问题的具体解决。由此发展起来的数学形成了以构造性、计算性、编程性和机械化为特征的独特体系，主要目标是从问题出发，然后解决问题。古希腊注重思考，追求对宇宙的理解。由此发展成为以抽象的数学概念和性质及其逻辑相互依赖为研究对象的公理化演绎系统。

中国的数学体系在宋元达到顶峰后，开始停滞不前，几乎消失。在欧洲，经过文艺复兴、宗教革命、资产阶级革命等一系列变革，导致了工业革命和技术革命。机器的使用在国内外都有悠久的历史。然而，在中国，它被明朝初期的皇帝们封杀了，他们认为它是一种奇怪的技能。

在欧洲，因为工商业的发展和航海的刺激而发达。机器把人们从繁重的体力劳动中解放出来，并把他们引向关于运动和变化的理论力学和一般科学研究。当时的数学家积极参与了这些变化和相应数学问题的解决，产生了积极的成果。解析几何和微积分的诞生成为数学发展的转折点。17世纪以来的数学飞跃，总体上可以看作是这些成果的延续和发展。

20世纪，各种全新的技术出现，产生了新的技术革命，特别是电子计算机的出现，使数学面临一个新的时代。这个时代的一个特点是一些脑力劳动逐渐机械化。与17世纪以来数学一直被连续性、极限等概念所支配不同，由于计算机发展和应用的需要，离散数学和组合数学一直受到重视。

计算机在数学中的作用不仅仅局限于数值计算，还涉及符号运算(包括机器证明等数学研究)。为了更好地与计算机配合，数学对构造性、可计算性、编程性和机械化的要求也相当突出。

比如代数几何是一门高度抽象的数学，最近计算代数几何和构造代数几何的提法就是其线索之一。总之，数学是随着新技术革命而发展的。