豪斯多夫的例子

正方形:一个正方形由9个长宽只有它三分之一的小方块组成。

科赫曲线(de:Koch-Kurve):科赫曲线的每一部分都是由四条形状相同的小曲线以1:3的比例组成，所以它的豪斯多夫维数是一个无理数。

事实上，豪斯多夫的计算并不像上面的例子那么简单，甚至很难。

豪斯多夫外测度:设(X，d)是度量空间，e是X的子集，并定义。

并且e可以被集合族(aj) k覆盖。那么e的Hausdorf外测度被定义为:

Hausdorff-Wiehausdorff维数被定义为对应于Hausdorf外部度量从零值变为非零值的跳跃点的S值。严格定义为:

在论文的第一部分，门德尔伯格讨论了安格斯·弗雷·理查森测量的海岸线和其他自然地理边界之间的长度如何取决于测量尺度。Richardson观察到，在不同国家的边界测量的长度L(G)是测量尺度G的函数。他从几个不同的例子中收集数据，然后猜测L(G)可以通过以下形式的函数进行估计:

L(G)=MG1-D

孟将这一结果解释为表明海岸线和其他地理边界可以具有统计自相似性，而指数D计算边界的豪斯多夫维数。从这个角度看，理查森研究的例子有一个从南非海岸线1.02到英国西海岸1.25的维度。

在论文的第二部分，门德尔伯格描述了关于科赫雪花的不同曲线，这些曲线都是标准的自相似图形。蒙特堡给出了计算它们的Hausdorff维数的方法，它们的维数都在1和2之间。他还提到了peano曲线，充满空间，维数为2，但没有给出它的结构。

这篇论文非常重要，因为它不仅展示了门德尔伯格早期关于分形的思想，而且是数学对象与自然形式之间联系的一个例子——门德尔伯格之后许多作品的主题。