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自相似原理和迭代生成原理是分形理论的重要原理。它表示分形在通常的几何变换下是不变的，即尺度无关性。自相似是基于不同尺度的对称性，也就是递归。分形体中的自相似性在统计意义上可以是相同的，也可以是相似的。标准的自相似分形是一种数学抽象，它迭代生成无限精细的结构，如Koch雪花曲线和Sierpinski地毯曲线。这样的规则分形只有少数，大部分是统计随机分形。
分形维数作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的另一个重要原理。分形维数又称分维或分数维，通常用分数或带小数点的数字表示。长期以来，人们习惯于把点定义为零维，把直线定义为一维，把平面定义为二维，把空间定义为三维。爱因斯坦将时间维度引入相对论，从而形成四维时空。多方面考虑一个问题，可以构建一个高维空间，但都是整数维。数学上，欧氏空间中的几何对象被不断拉伸、压缩、扭曲，维数不变，这就是拓扑维数。然而，这种传统的维度观受到了挑战。Mandelbrot曾经描述过一个绳球的维度:远距离观察绳球可以看作一个点(零维度)；从近处看，它充满了一个球形空间(三维)；再近一点，你会看到绳子(一维)；再往微观里说，绳子就变成了三维柱，三维柱又可以分解成一维纤维。那么，这些观测点之间的中间状态呢？
很明显，绳球和三维物体之间没有确切的界限。数学家豪斯多夫在1919年提出了连续空间的概念，即空间维数可以连续变化，可以是整数，也可以是分数，称为豪斯多夫维数。写成Df，一般表达式为:K=LDf，也称K=(1/L)-Df。取对数，整理得到Df=lnK/lnL，其中l是一个物体沿各个独立方向膨胀的倍数，k是原物体的倍数。很明显，Df一般都是分数。因此，Mandelbrot也将分形定义为Hausdorff维数大于或等于拓扑维数的集合。为什么英国海岸线无法精确测量？因为欧几里得一维测度与海岸线的维度不一致。根据Mandelbrot的计算，英国海岸线的维度是1.26。利用分形维数，可以确定海岸线的长度。
分形理论是非线性科学的前沿和重要分支，也是一门新兴的交叉学科。作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态学的相似性启发人们通过认知部分认识整体，从有限认识无限；第二，分形揭示了整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的一种新形式和新秩序；第三，分形从特定的层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
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分形理论及其发展历程
被称为自然几何学的分形理论是现代数学的一个新分支，但其本质是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论相结合，相辅相成。它承认，在某些条件下，世界的某些地方可能。在过程中，在某一方面(形状、结构、信息、功能、时间、能量等。)，它表现出与整体的相似性，它承认空间维度的变化既可以是离散的，也可以是连续的，从而扩大了视野。
分形几何的概念最早是由美籍法国数学家Mandelbrot在1975年提出的，但最早的工作可以追溯到1875年。德国数学家K.Weierestrass构造了一个连续但处处可微的函数。集合论的创始人G .康托尔是德国数学家。
1890年，意大利数学家G .阿砣构造了一条曲线来填充空间。
1904年，瑞典数学家H.von Koch设计了一种类似雪花和岛屿边缘的曲线。
1915年，波兰数学家W.Sierpinski设计了类似地毯和海绵的几何图形。这些都是解决分析和拓扑学问题的反例，却是分形几何的源头。
1910年，德国数学家F.Hausdorff开始研究奇异集的性质和数量，提出了分形维数的概念。
在1928中，G.Bouligand将闵可夫斯基的能力应用于非整数维，从而可以很好地分类螺旋。
盒维数是由庞特里亚金在1932中引入的。
在1934中，A.S.Besicovitch对Hausdorff测度的性质和奇异集的分形维数给出了更深入的见解。他在Hausdorff测度及其几何的研究领域做出了重要贡献，并由此提出了Hausdorff-Besicovitch维数的概念。此后，这方面的研究工作并没有引起更多的关注，先驱者的工作只是作为反例在分析与拓扑的教科书中流传。
二
1960期间，Mandelbrot在研究棉花价格变化的长期行为时，发现了价格在大尺度和小尺度之间的对称性。同年，在研究信号的传输误差时，发现误差传输和无误差传输在时间上是按照康托尔集排列的。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，也发现了类似的规律。他从尺度变换的角度总结了自然界很多现象的对称性。他称这类集合为自相似，其严格定义可由相似映射给出。他认为欧氏测度不能描述这类集合的本质，转而研究维数，发现维数在尺度变换下是不变的，主张用维数来描述这类集合。
从65438年到0975年，Mandelbrot用法语出版了分形几何学的第一本书《分形:形状、机会和维度》。这本书又用英语出版了。它集中了Mandelbrot在1975之前对分形几何的主要思想。它将分形定义为Hausdorff维数严格大于其拓扑维数的集合，并总结了根据自相似性计算实验维数的方法。由于相似维数只对严格自相似的小集合有意义，Hausdorff维数是广泛的，但在很多情况下很难通过计算得到，因此限制了分形几何的应用。
1982年，曼德尔布罗的新书《自然的分形几何》出版。分形被定义为在某种程度上与整体相似的集合，并再次讨论了盒维数。它比Hausdorff维数更容易计算，但稠密可数集的盒维数等于集的空间维数。为了避免这一缺陷，Tricot (1982)引入了填充维度，
在1983中，P.Grassberger和I. Proch提出了一种根据观测记录的时间数据序列直接计算动力系统吸引子维数的算法。
1985年，Mandelbrot提出并研究了自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集，可以用仿射映射严格定义。在1982中，F.M.Dekking研究了递归集。这类分形集是通过迭代过程和嵌入方法生成的，范围较广，但维数研究非常困难。德金获得维数的上界。1989年，钟等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。
随着分形理论的发展和维数计算方法的逐渐完善，1982之后，分形理论逐渐被应用于许多领域，并且越来越广泛。建立一种简单、通用的维数计算方法来满足应用开发的需要，仍然是一项艰巨的任务。
自然界中的分形与概率统计和随机过程密切相关。给确定性的经典分形集加上随机性，会产生随机康托集、随机柯奇曲线等随机分形。1968年，Mandelbrot在研究布朗运动的随机过程时，将其推广到与分形相关的分数布朗运动。在1974中，他提出了分形渗流模型。在1988中，j.T.Chayes给出了详细的数学分析。从65438到0984，U.Zahle通过随机删除得到了一个非常有趣的分形结构。随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。
三
动力系统中的分形集是近年来分形几何中最活跃、最引人入胜的研究领域。动力系统的奇怪吸引子通常是由非线性函数和非线性微分方程迭代产生的分形集。1963年，气象学家E.N.Lorenz在研究流体的对流运动时，发现了第一个以他命名的奇怪吸引子，这是一个典型的分形集。
1976年，法国天文学家M.Henon在考虑标准二次映射迭代系统时，得到了enon吸引子。它具有一些自相似性和分形性质。1986年，Lawwill将Smale的马蹄形映射转化为Lawwill映射，其迭代下的不稳定流形的极限被整合为一个典型的奇异吸引子，其与水平线的截面为一个康托集。在1985中，C. Greppo等人构造了一个二维迭代函数系，其吸附界为Wilstrass函数，得到了盒维数。在1985中，S.M.MacDonald和Greppo获得了三种类型的分形吸附:
(1)局部不连通分形集；
(2)局部连通的分形拟圆；
(3)它既不是局部连通的，也不是拟圆的。前两者具有准自相似性。
动力系统中的另一种分形集来自复平面上解析映射的迭代。这项研究由G.Julia和P.Fatou于1918-1919发起。他们发现解析映射的迭代把复平面分成两部分，一部分是正常图谱，另一部分是Julia集(J集)。他们在处理这个问题的时候没有电脑，完全依靠自己固有的想象力，所以智力成果有限。在随后的50年里，这一领域几乎没有取得进展。
随着使用计算机做实验，这一研究课题又获得了活力。1980年，Mandelbrot用计算机绘制了第一幅以他的名字命名的Mandelbrot特别收藏(M收藏)图。1982 A.Douady构造了一个带参数的二次复映射fc，它的Julia集J(fc)随参数C的变化呈现出各种分形图像，如著名的尤迪迪尔、圣马可吸引子等。同年，D.Ruelle得到了J-集与映射系数的关系，解决了解析映射击中集的Hausdorff维数的计算问题。L.Garnett得到了J(fc)集的Hausdorff维数的数值解。在1983中，M.Widom进一步推广了一些结果。整函数迭代的研究始于正规图1926。1981年，M.Misiuterwicz证明了指数映射的J集是复平面，解决了正规图提出的问题，引起了研究者的极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J是有区别的，在1984中，R.L.Devanney证明了指数映射Eλ的J (Eλ)集是康托丛或复平面，J(fc)是康托尘或连通集。
复平面上使J(fc)成为连通集的点C构成Mandelbrot特殊集。H.Jurgens和H-O.Peitgen认为，M集的性质一直是并将继续是数学研究中的一个巨大问题。通过数学理论与计算机图形学实验的结合，以及H.Hubbard等人在该领域开展的基础研究工作，在解决这一问题上取得了很大进展，加深了人们对M集的认识。在1982中，Dodi和Hubbard证明了M-集是连通和单连通的，人们推测M-集是局部连通的。目前每一张计算机图都证实了这个猜想，但是还没有人能够证明。不清楚m是否是弧连通的。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。
M-set不仅将J-set分为连通和不连通两类，还充当了无限J-set的图形表，即放大M-set的C点周围的图形是与C点相关的J-set的一个组成部分，然而这一发现的数学秘密至今尚未确定。谭磊(1985)证明了每个Mihewitz点的相邻M集和相关J集之间存在相似性。Eugene等人在M集静电势的研究中获得了类似自然形态学的分形图像。目前，包括尤金在内的许多研究者都致力于借助计算机活动视频来探索M集。其他分形集的研究工作正在取得进展。在1990中，Dwayne通过数值实验观察到M集的复图由许多周期不同的周期轨道的稳定区域组成。在1991中，黄永年用他的代数分析方法证明了这一事实，并研究了M集及其广义周期轨道的全局解析特征。
Basle (B.M.Barnsley)和S. Demko (1985)引入了迭代函数系统。j集等许多分形集是某些迭代函数的吸引集，其他方法生成的分形集也可以用迭代函数系来逼近。1988年，Lawwill通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一个迭代函数系的J集。Basle等人在1985中研究了带参数的泛函系统的迭代动力系统，得到了M个集合D，D，M之间的连通性差，在一个线性映射系统的迭代下，可以产生一条著名的分形曲线——Gemini曲线。1986年，水谷等人研究了它的动力系统。
一般动力系统中分形集的Hausdorff维数dH很难用理论方法或计算方法得到。对于具有重叠结构的分形集，T.Bedford等人在1986中给出了有效的算法，但对于一般非线性映射迭代动力系统生成的分形集，这些结果很难适用，Hausdorff维数dH的结论和算法实际上是不存在的。卡普兰(j.L.Kaplan)和约克(J.A. York)在1979引入了李亚普诺夫维数dL，并猜测dL=dH。1981年Lelapier证明dH≤dL。杨(L.S.Young)1982在二维证明了dH=dL。A.K.Agarwal等人在1986中举例说明Kaplan-York猜想在高维情况下不成立。这个猜想试图从动力学特征推断几何结构，其逆问题是从吸引子维数推断混沌力学，值得研究。但目前这方面的工作很少，而且主要局限于计算机研究。另外，参数动力系统在混沌临界状态或突变时的分形维数需要进一步研究。
多重分形是与动力系统的奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念最早由Mandelbrot和A.Renyi提出，在1983中，J.D.Farmer等人定义了多重分形的广义维数。在1988中，T.Bohr等人将拓扑熵引入到多重分形的动力学描述和热力学类比中。在1988中，Arnedo等人将小波变换应用于多重分形研究。J.Feder、T.Tel等人研究了多重分形子集和标度指数。阿姆·特里卡研究了多重分形的逆问题，提出了广义配分函数，给出了广义超越维数，修正了以前的维数。J.Lee等人发现了多重分形热力学形式的相变。在1990中，C.Beck得到了广义维数的上下界和极限，并研究了多重分形的均匀性测度。Mandelbrot研究了随机多重分形和负分形维数。Covic在1991中引入了二元迭代系统，利用最大特征值和Gibbs势导出维数、熵和李亚普诺夫指数，为多重分形相变的分类提供了一个通用方案。多重分形相变分类的一般方案。虽然已经提出了很多处理多重分形的方法，但是从数学的角度来看，这些方法还不够严格，有些问题很难用数学来处理。
四
分形理论才发展了十几年，方兴未艾，很多方面的理论还需要进一步研究。值得注意的是，近年来分形理论的应用和发展远远超过了理论的发展，对分形数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使其理论简单，易于操作，是应用分形的科学家共同关心的问题。在理论研究中，维数的理论计算和估计，分形重构(即寻找一个动力系统使其吸引集是一个给定的分形集)，J集和M集及其扩展形式的性质、动力特征和维数将成为数学家们非常活跃的研究领域。多重分形理论的完善性和严密性以及如何用这些理论解决实际问题可能会引起科学家的广泛兴趣，动力学特性、相变和小波变换可能会成为几个热点。
在哲学上，人们的兴趣在于自相似的普遍性，M集和J集的简单性和复杂性，复数和实数的统一性，多重分形相变与突变理论的关系，自组织临界性(SOC)的刻画以及分形系统内部各种矛盾的转化。可以预见，一场关于分形科学哲学的讨论将很快在中国展开。
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分形理论与波动理论研究/forex/forex info/20050916/12161974322 . shtml
分形理论及其在化工中的应用/resource/article/jylw/3/306/lw 009994 . htm