关于柯西积分定理的证明

？当时柯西没有给出证明，黎曼是第一个在加强条件下给出证明的。加上附加条件“dw/dz在单连通区域B内连续”，可以用格林公式证明。古拉特第一个给出了完整的理论证明，所以为了纪念这两位完全猜测和证明的数学家，柯西定理现在常被称为“柯西-古萨定理”。相关证明可以参考教材或者以下论文:/链接？URL = BH 1ef-CVA 5 odci 2y 1 V6 mde-uiin 2oo _ ri 6 anrvhgoypizrsyqvi 4 EC _ dugrtnfjpzlo 9 ypzs 6 lf 4 pcsmiakunj 3 who 0 qkrfmbw 4 asaupke

著名数学家柯西只给出了一个猜想(没有他相关证明的文献依然存在):复变函数f(z)在单连通区域B中处处解析，那么函数f(z)在B中沿任意闭曲线C的积分等于0。以及关于“柯西怎么猜？”回顾这段历史，柯西做出这个“柯西积分定理”的论断是有道理的。当时柯西对复变函数的研究已经相当深入，他知道f(z)什么时候是解析函数，也就是说f(Z)的线积分什么时候与路径无关(相关的C-R函数论文以附件的形式给出)。现在为了形象地说明我想说的话，附图如下:

从上面的示意图中，柯西判断(当时他用函数比较)如果蓝色曲线是C1，橙色曲线是C2，那么从A到B再从B到A的闭曲线可以定义为C，显然，C=C1+C2(-)，其中C1代表A到B和C2(-)的路径。那么下面的等式成立:

至此，我想柯西先生差不多有了这个猜想的想法。柯西先生在他的猜想中给出了一些相应的条件，是因为在具体复变函数的积分计算中反映出来的现象，柯西先生进行了总结。基于以上条件，收集了柯西定理关于柯西积分的所有猜想，召唤出了“龙”——我们现在所知的柯西-古尔萨特定律。

这个回答参考了一些文献，提出了自己的看法。我个人感觉应该有点接近柯西先生提出猜想的具体情况，希望能帮助你了解柯西-古尔萨特定理的历史沿革，以及伟大的数学家是如何思考和提出猜想的。