关于对数运算性质的一篇论文

论文一:初中数学教学论文:分类思想在初中教学中的渗透

实施素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，学会在创造中学习。教育应该更加关注学生的学习方法和策略。数学家乔治。保利亚说:“完美的思维方式就像北极星，许多人通过它找到正确的道路。”随着课程改革的深入，在由“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察不仅考察基础知识和技能，更注重考试能力的培养。如在学习和探索基础知识的概念、规律、性质、公式、公理、定理过程中所体现的数学思想和方法；要求学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括；我会解释我的想法和观点。从而提高学生的数学素养，进行思想层面的数学教育。

数学学习离不开思考，数学探索需要通过思考来实现。在初中数学教学中逐步渗透数学思维方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，不仅符合新课程标准，也是数学素质教育的一个出发点。

数学分类的思想是根据数学对象在本质属性上的异同，将数学对象分成若干不同类别的数学思想。它不仅是一种重要的数学思想，也是一种重要的数理逻辑方法。

所谓数学分类讨论法，就是把数学对象分成几类，分别讨论来解决问题的数学方法。分类讨论思路相关的数学问题，逻辑性、综合性、探索性明显，可以训练人的思维顺序和概括性。

分类讨论的思想贯穿了中学数学的所有内容。分类讨论思想需要解决的数学问题可以概括为:①对涉及的数学概念进行分类定义；②对所用的数学定理、公式、运算性质和规则进行分类；③所解数学问题的结论有多种情况或可能性；④数学问题中存在参数变量，这些参数变量的取值会导致不同的结果。分类讨论的应用往往可以简化复杂的问题。分类的过程可以培养学生思维的透彻性和有序性，分类讨论可以促进学生研究问题、探索规律的能力。

与一般的数学知识不同，分类的思想可以通过几节课的教学来掌握。根据学生的年龄特点，学生在各个学习阶段的理解水平和知识特点，逐步渗透和螺旋上升，不断丰富自身的内涵。

在教学中，学生可以从以下几个方面，在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象、概括，形成对分类思想的积极应用。

第一，渗透分类思想，培养分类意识

每个学生在日常生活中都有一定的分类知识，比如人和文具的分类等。我们利用学生的这个知识库，把生活中的分类转移到数学中，把数学分类的思想渗透到教学中，挖掘课本提供的机会，抓住渗透的机会。数字的分类，绝对值的意义，不等式的性质，都是渗透分类思想的好机会。

整数，

标记

正有理数

零

负有理数

教完负数和有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生明白有理数对于不同的标准有不同的分类方法，如:

有理数

为接下来的分类讨论打下基础。

在知道数字A可以代表任何数字后，让学生对数字A进行分类，得到正数、零数、负数三类。

在解释绝对值的含义时，引导学生得到以下分类:

通过了解正数、零和负数的绝对值，可以了解如何通过分类讨论来学习和理解数学概念。

再比如两个有理数的比较，分为正数和正数，正数和零，正数和负数，负数和零，负数和负数。负数和负数的比较是新的知识点，突出了学习的重点。

结合“有理数”一章的教学，反复强化数学分类的思想，使学生在数学学习中逐渐形成分类的意识。并且在讨论分类时可以注意一些基本原则，比如分类的对象是确定的，标准是统一的，否则对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如果把有理数分为正数、负数和整数，做出不同的分类标准是错误的。在确定了对象和标准后，还要注意分清层次，不要超出层次去讨论。

第二，学会分类方法，增强思维的严谨性。

在教学中渗透分类的思想时，要让学生明白，所谓分类，就是选择适当的标准，把对象分成几个类别，不重复不遗漏，然后回答每个子类别的问题。掌握合理的分类方法成为解决问题的关键。

分类方法通常如下:

1，按照数学分类的概念。

有些数学概念是分类给出的，解决这类问题一般是按照概念的分类形式进行分类。

示例1，简化解决方案:

这是按照绝对值的含义来分类的。

例2，比较和易得错误，导致我们没有注意到数字可以表示不同种类的数字的错误。对数进行分类讨论，可以得出正确答案:

> 0, = 0,

学习二次方程根的判别式时，对于变形方程

用双侧平方根解题，需要对方程解对应的大于0、等于0、小于0的情况进行分类研究。这个问题的符号决定了是否可以平方，这是分类的基础。从而得到了一元二次方程根的三种情况。

例3。求解关于X: ax+3 > 2x+a的不等式。

分析转化为(a-2) x >: A-3形式，然后根据不等式性质可分为a-2 > 0、a-2 = 0、a-2 < 0分别求解不等式。

当a-2 > 0，即A > 2时，不等式的解为X >；

当a-2 = 0，即A = 2时，不等式左边= 0，不等式右边=-1。

因为01-1，不等式的解都是实数。

当a-2 < 0，即a < 2时，不等式的解为x

3、根据图形的特点或它们之间的关系。

比如三角形按角度分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。根据直线与圆相交的次数，直线与圆可分为:直线与圆分离，直线与圆相切，直线与圆相交。

例如，等腰三角形的一个腰的高度和另一个腰的高度之间的角度是30°，底边的长度是a，所以它的腰的高度是

解析:根据图形的特点，等腰三角形以高CD分为锐角三角形和钝角三角形，如图所示，从几何图形中点和线的不同位置可以对腰高进行分类

证明圆周角定理时。因为圆心的位置在角边上、角内、角外，所以分三种不同情况进行讨论和证明。首先证明圆心在圆角的一侧，这是最容易解决的情况。然后通过使圆角顶点的直径，利用先证(圆心在圆角的一侧)的情况，分别解决圆心在圆角内和圆心在圆角外两种情况。这是定理证明过程中体现出来的一种分类讨论的思想和方法。是根据点和线在几何图形中的不同位置，逐一解决问题的方法。教科书上证明了弦切角定理:弦切角等于它所夹圆弧的圆周角。也分三种不同情况求解:圆心在弦切角的一侧，弦切角的内侧，弦切角的外侧。

第三，引导分类讨论，提高合理解决问题的能力。

初中课本上有很多定理、定则、公式、习题，需要分类讨论。在教授这些内容的时候，学生要不断加强分类讨论的意识，让他们意识到这些问题。只有经过分类讨论，结论才能完整正确。如果不分类讨论，就很容易出错。在解题教学中，分类讨论也有助于帮助学生概括和总结规律性的东西，从而加强学生思维的有序性和细致性。

一般来说，分类讨论思路和方法解决的问题有两种:；一种是根据字母的不同取值，在不同取值范围内讨论和解决代数表达式、函数或方程中的问题。二是根据点和线在几何图形中的不同位置，逐一讨论解决问题。

例4:已知函数Y =(m-1)x2+(m-2)x-1(m为实数)。如果函数的图像和x轴只有一个交点，求m的值。

解析:本文从函数分类的角度，分M-1 = 0和M-110两种情况进行研究和求解。

解法:当m = L时，函数是线性函数Y =-x -1，与X轴只有一个交点(-1，0)。

当m11时，函数为二次函数y = (m-1) x2+(m-2) x-1。

当△ = (m-2) 2+4 (m-1) = 0时，m=0。

抛物线y =-x2-2x-1的顶点(-1，0)在X轴上。

例5，函数y = X6–X5+X4-X3+X2–X+1，证明y的值总是正数。

解析:对y的表达式进行因式分解很难证明结论，可以发现，如果在实数范围内对变量X进行适当的分类，问题就会迎刃而解。

证明:(1)当x ≤0时

∵ x5-x3-x ≥0，∴ y≥1成立；

0时为2

y = X6+(x4–X5)+(x2–x3)+(x–1)

∵x4 & gt；x5，x2 & gtx3，1 & gt；x

∴y & gt；0已建立；

(3)当x = 1时，y = 1 > 0成立；

(4)当x > 1时

y =(X6–X5)+(x4–x3)+(x2–x)+1

∵X6 & gt；x5，x4 & gtx3，x2 & gtx

∴y & gt；1持有。

综上，y > 0成立。

例6:已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是角为30°的直角三角形。△ABC和△ △ACD组合成一个凸四边形ABCD。(1)画四边形ABCD(2)求四边形ABCD的面积。

在分析角为30°的直角三角形ACD时，我们可以研究两种情况:AC为斜边，AC为直角。如图1，是以AC为斜边，等边三角形ABC组成的四边形ABCD(DDAC = 30和DDAC=60计算的四边形ABCD的面积相同，故归为一类)。AC是直角边，可以分为两种不同的情况，如图2和图3所示。由图1，S四边形ABCD =；从图2可以计算出，S四边形ABCD =；可以计算为s四边形ABCD=3。

从上面的例子可以看出，分类讨论往往可以把一些复杂的问题变得极其简单，解决问题的思路非常清晰，步骤非常明确。另一方面，在讨论过程中，可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，尽力帮助学生掌握分类思维方法，并注意结合其他数学思维方法的学习，综合运用几种思维方法，给学生提供足够的材料和时间，启发他们积极思考。相信会大大提高学生的理解水平，事半功倍。

论文二:初中数学教学论文:教学生解决初中数学考试中的难题。

摘要:使学生巩固基础知识，具备一定的解题技巧，培养学生分析、综合、联想的能力，培养学生的直觉思维，使学生快速掌握数学问题所涉及的基础知识，是使学生能够解决初中数学考试问题的关键。

关键词:解题技巧联想把握问题本质

每年的初中数学考试一般分为易题(基础题)、中级题和难题。近年来的初中数学考试中，难点问题一般占全卷总分的四分之一以上，学生不突破难点问题很难在考试中取得好成绩。

初中数学考试主要有以下几个问题:1，要求思维有一定的深度或者很强的技巧。2、题意新颖或解题思路新颖。3、探究或开放数学题。

不同类型的题型应该有不同的教学策略。无论解决哪类问题，都要求学生具备一定的数学基础知识和基本的解题技巧(对数学概念、定理和公式有较好的理解，对定理和公式的证明有所了解；解决直接应用定理公式的基本问题是非常熟练和快捷的，所以要培养“双基”学生。初三毕业复习第一阶段当然是进行“双基”训练，但如果学生对数学知识掌握较深，基本功加强，复习效果还是不错的。

有些老师认为，对温和题只需要全班复习，高难度题不需要复习。那些智力好的学生，你不帮他们复习就做，那些智力差的学生，你教他们就浪费时间。事实上，有一定数学知识和基本解题技巧的学生不一定能解决难题。这是因为从数学的基础知识出发去得出中考难题的答案，或者说思维深度高——学生的思维深度不足或者是新的思路——学生从来没有接触过。但是很多有经验的老师在初三毕业班多年的实践证明，对于疑难问题进行专题复习是很有必要的。只要复习的好，会大大提高中专以上学生解决难题的能力。对此，我们要在第二阶段的复习中训练学生的思维能力，拓宽思维。当然，这种训练也要针对学生的“双基”和数学题。这种训练要注意题目的选择，不仅是为了考试，也是为了学生思维的不足。一定的训练是必要的，但要给学生足够的时间去反思和总结自己的解题方法和思路。只有多反思，多总结，才能提高学生的解题能力。老师要注意引导，不能用自己的想法代替学生的想法，因为每个人解决问题的方法不一定一样。

以前初三毕业班的一些老师在HKCEE复习的时候，找全国各地、各区的模拟题一轮一轮的训练自己的学生。讲座和实践结束后，老师和学生都很努力，但效果并不理想。这是因为这种提问的战术复习方法没有做到因材施教，老师的教学对学生的知识、技能、思维能力和对数学问题的针对性不足。学生没有体现学习的主体性，也没有足够的时间总结和反思。所以学生的解题技巧和思维能力并没有得到真正的提升。

有的老师认为考题难，新，难以捉摸。难点问题专项复习是练习今年考试的难点问题和当年各地区的模拟试题。这种以题目为基础的题目复习也很难实质性的提高学生解决难题的能力。

命题人的初中数学试题命题旨在考察我们初中毕业生对初中数学基础知识的掌握程度，试题当然离不开初中基础知识。所谓的问题只是笼子上的几层纱，让我们很难看清它的真面目。我们老师的任务就是教我们的学生揭开那些神秘的面纱，把握它们的本来面目。成能在战场上用三板斧取胜。我们的学生掌握了初中数学的所有基础知识，具有一定的解题能力。只要我们正确引导和训练学生，我们的学生一定会在考场上获胜。

重点是我们对学生的复习训练可以帮助学生掌握知识，加强解题技巧。同时，我们教师的适当引导，学生训练后的反思总结，知识的自主建构，可以帮助我们把握各类数学问题的本质——与初中数学基础知识的联系。

分类复习难题时，要着重培养学生把握数学难题与基础知识联系的能力，引导学生快速正确地分析解题思路，培养学生解题的直觉思维。难题要先分类。然后进行分类训练。上课时，学生不必对每道题都详细写出解题过程，一类题目一两道即可，还有的只要求学生快速写出解题思路，回去后再写出详细的解题过程。

我觉得可以把初中联考中的问题分为以下几类进行专项复习:

第一类:与一两个知识点紧密相关的问题:

例1如图，在⊙O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上的任意一点(与D C点A、C不重合)，则()A。

(A)AC+CB = AD+DB(B)AC+CB & lt；AD+DB

(C)AC+CB & gt；AD+DB (D)AC+CB和AD+DB的关系不确定。

教学指导:线段大小比较的相关知识有哪些？(三角形任意两条边之和大于第三条边或大边对大角等。)

如何把AC+CB和AD+DB组合成一个三角形来比较它们的大小？

附解法:以C为圆心，CB为半径，作为弧交点BD的延长线，连接e点的AE，CE，AB。

∫ce = CB ∴∠ceb=∠cbe且∠DAC=∠CBE。

∴∠CEB=∠CAD和CA=CE ∠CEA=∠CAE。

∴∠CEA-∠CEB=∠CAE-∠CAD

∴∠DEA=∠DAE

∴DE=DA

In △CEB，CE+CB >；BE是AC+CB & gt；AD+DB。所以选(c)。

点评:本例教学的关键是引导学生在一个三角形上构造AC、CB、AD、DB。

例2已知:⊙O1和⊙O2相交于A点和b点，若PM切⊙O1到m，PN切⊙O2到n，PM >:试指出p点的范围。

教学指导:(1)先画图，试判断，试证明。(2)看几种可能的情况。

(3)展示右图，让学生指出P点的范围(P点在直线AB的⊙O2内)

一边，外面≧O2)，学生指出P点的范围，并要求学生

证明。(4)学生证明有困难时，应给予指点:如果P点在直线AB上，能证明什么？(PM=PN)，如何证明？

(用割线定理:PM2=PA*PB，PN2=PA*PB，因此，PM=PN)现在我们可以应用割线定理证明PM & gtPN？

(5)当学生无法证明时，给出提示:

连接PB，在C点相交⊙O1，在d点相交⊙O2，利用切割线定理。

(证明:PM2=PC*PB，PN2=PD*PB，因为PC >；PD，所以PC * PB & gtPD*PB，即PM2 & gt；PN2，所以PM & gtPN)

(6)还有其他情况吗？(引导学生找出以下两种情况:图2和图3，要求学生指出P点的范围并证明)

点评:此题的关键是引导学生用割线定理证明，并分类讨论。

这类难题教学的关键是引导学生坚持与题目相关的知识点，直到问题解决。

第二类:结合多个知识点或者需要一定解题技巧才能解决的问题。

这类难题的教学关键是要求学生运用分析和综合的方法，一些数学思想和方法，以及一定的解题技巧来解决。

例1三角形ABC中，点I为心，直线BI，CI过AC，AB在D，e .已知ID=IE。

验证:∠ABC=∠BCA，或∠ A = 60。

教学指导:这个题目要用分析综合的方法，从条件和结论两个方向来分析。从条件分析，从ID=IE和I是心，可以得出△AID和△AIE是两个相对应的对角，有两种可能:AD=AE或者AD≠AE。

由此可以推导出∠ADI和∠AEI的关系。从结论分析，需要找出∠ABC和∠ACB∠ADI = 1/2∠ABC+∠ACB∠AEI = 1/2∠AC的关系。

附证明过程:链接AI，in △AID和△AIE，AD和AE的大小有两种可能的情况:AD=AE，或者AD≠AE。

(1)若AD=AE，则△AID≔△AIE，其中∠ADI=∠AEI。

而∠阿迪=1/2∠ABC+∠ACB，∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC。

所以1/2∠ABC+∠ACB = 1/2∠ACB+∠ABC。

即∠ABC=∠ACB。

(2)若AD≠AE，则AD >；AE，截取AE ' = AE上的AE，连接IE '。然后△AIE≑△AIE。

因此∠ AE' I = ∠ AEI。IE' = IE = ID。

因此，△IDE’是等腰三角形，

有∠ e' di = ∠ de' i。

因为∠ AE' i+∠ de' i = 180，

因此∠ AEI+∠ AIE = 180。

因此，(1/2∠ACB+∠ABC)+(1/2∠ABC+∠ACB)= 180。

因此∠ ABC+∠ ACB = 120，

所以∠ a = 180-120 = 60。

如果广告

例2:如图所示，AB为直径⊙O，AE平分∠BAF并与⊙O相交于E点，一条直线与AF垂直相交于E点，与AF延长线相交于D点，与AB延长线相交于c点.

(1)验证:CD和⊙O与e点相切.

(2)若CE*DE=15/4，AD=3，求直径⊙O和∠AED的切线。

教学指导:(1)证书OE⊥CD.

(2)如果要求直径⊙O，可以先求出半径OE。

因为OE∑AD，OE/AD=CO/CA，AD=3，CO和CA都与BC和OB，AB(半径和直径⊙ O)有关。

所以，得了BC，就能得OE。如何获得BC？可以用CE*DE=15/4这个条件吗？

让学生讨论。

附求解过程:(1)略。(2)如果D点是DG∑AC和AE。

如果延长线在g点，连接BE和OE，那么∠BAG=∠G，∠C=∠EDG。∵CD和⊙O与点E相切，

∴∠BEC=∠BAG.

∴∠BEC=∠G. ∴△BEC∽△EGD.∴DE/CB=DG/CE.

∴CB*DG=DE*CE.

∠包=∠达=∠G. ∴AD=DG=3.和∵CE*DE=15/4。∴CB=5/4.

设(1)的OE∑ad，∴CO/CA=OE/AD为OE = x(x >；0)，那么CO=5/4+x=(5+4x)/4，

CA=5/4+2x=(5+8x)/4，∴(5+4x)/(5+8x)=x/3.排列是8x2-7x-15=0。解决方法是x1=-1。CE2=CB*CA=25/4，∴de=15/4*1/ce=3/2. ∴ce=5/2

在Rt△ADE中，tan∠AED=AD/DE=2。

第三类开放性、探索性数学问题。

无论是开放性还是探索性的数学问题，教学重点都是教会学生抓住问题的关键。

例1请写出一个二次函数的解析式，其中一个像只经过二、三、四象限。

教学说明:二次函数的图像只通过第二、三、四象限，不能通过第一象限，即x & gt0，y；y < 0；0呢？这才是问题的核心。

(答案:当二次函数y=ax2+bx+c中的a、b、c都为负时，必有x >；0，y

例2已知:如图所示，AB和AC是⊙ O .的两个弦，AB=AC=1，

∠ BAC = 120，p是最优弧BC上的任意一点，

(1)验证:PA平分∠BPC，

(2)若PA的长度为m，求四边形PBAC的周长，

(3)如果点P在最优弧BC上运动，是否存在某个位置P使得S△PAC=2S△PAB？如果有，请证明；如果没有，请说明原因。

教学指导:(2)因为AB=AC=1，PA=m，所以可以用(1)证明∠ APB = ∠ APC = 30，所以∠ AOB = 60，所以OA = OB = AB = 6544。所以PB和PC是变了，但是只有两个变，PB+PC应该保持不变。找到PB+PC，就可以求出四边形PBAC的周长。这个问题的关键是把PB和PC结合起来一探究竟。(3)这个问题的关键是如何确定点p，可以从三角形PAC和三角形PAB的面积关系推导出来。P

(重点:(1)略。(2)将PC推广到P '，使CP'=BP，连接BC，求BC，证明△PAB≔△P ' AC，得到AP'=AP，证明△ ABC ∽△ APP '，求PP '，即Pb+PC，对应边的比例关系。(3)在g点连接BC和PA，BG/CG = BM/CN = S△PAB/S△PAC = 1/2。所以，A点和G点相交为射线和⊙O的交点，就是符合题目要求的P点的位置。)

第四种新题型(近几年才在全国各地的初中入学考试中出现的题型)

考题再新也离不开初中的基础知识，所以解决这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识，然后运用与之相关的基础知识，通过分析、综合、比较、联想，找到解决问题的方法。

例1如图一，五边形的是张大爷十年前承包的一块地的示意图。经过多年的开垦，荒地已经变成了如图1所示的六边形ABCMNE，但承包地与开垦荒地的边界路径(即图1中的虚线CDE)依然存在。张大爷想在e点修一条直路，直路修好后，要保持直路左侧的土地面积和承包时一样多，右侧的土地面积和开垦荒地一样多。请根据张大爷的要求，运用相关几何知识设计道路施工方案。(不包括分流道和直道的占地面积)

(1)写出设计方案，并在图2中画出相应的图形；

(2)说明方案设计的理由。

教学指导:

如图2，我试着把E做成一条直线EHF，在H中交叉CD，在f中交叉CM，根据题意，EABCF的面积=EABCD的面积，EDCMN的面积=的面积=EFMN(满足张大爷的要求)。即三角形EHD的面积=三角形CHF的面积。条件是什么？(答案:连接EC，交叉D为DF∨EC，在F点交叉CM，EF是张大爷要修路的地方。)

点评:此题为实际应用题，其相关基础知识为梯形的一些性质，如下图。

在梯形ABCD，ABCD中，有三角形ADC的面积=三角形BCD的面积，全部减去三角形CDO的面积，得到三角形ADO的面积=三角形BCO的面积。能够联想到这些知识是解决这个问题的关键。

例2计算机CPU芯片由一种叫做“单晶硅”的材料制成，未切割的单晶硅材料是一种叫做“晶片”的薄晶片。为了生产某个CPU芯片，需要大量长宽为1cm的小方硅片。如果晶圆直径为10.05cm，能否从一片晶圆上切割出66片所需尺寸的小硅片？请说明你的方法和理由。(不包括切割损失)

教学指导:每个人都会开始做这道题，但是一定要按照一定的顺序切割才能得到正确答案。

方法:(1)首先将10个小方块排成一行。

作为一个长矩形，这个矩形刚好可以装进一个直径为10.05cm的圆，如图，矩形ABCD。

∫AB = 1，BC=10，

∴对角线ac2 = 102+12 = 100+1 = 101

(2)矩形ABCD的上下可以放九个小方块。

这样，新增加的两排小方块加上ABCD的一部分，就可以看作是一个长方形EFGH，长9，高3，对角线EG2 = 92+32 = 81+9 = 90

(3)同理，∫82+52 = 64+25 = 89

因此，在长方形EFGH的上下可以排列八个小方块，所以现在有五层小方块。

(4)在原来的基础上，上下再加一层，***7层，新长方形的高度可以看成7，所以新加的两排可以是7但不能是8。

∫72+72 = 49+49 = 98 & lt；10.052

82+72 = 64+49 = 113 & gt；10.052.

(5)在7层的基础上，上下再加一层。新矩形的高度可以看作是9，每行可以是4，但不能是5。∫42+92 = 16+81 = 97 & lt；10.052和52+92 = 25+81 = 106 & gt；10.052.

目前总排数为9，高度达到9，上下留有0.5cm左右的空间。因为矩形ABCD的位置无法调整，所以没有1个小方块的空间。

因此，10+2*9+2*8+2*7+2*4=66(个)。

点评:解决这个问题的关键是把小方块排成行，利用圆的内接矩形的对角线就是圆的直径的知识。