胡的学术成就。
美国学者香农在其开创性的巨著中，以其工程直觉建立了香农正定理。前苏联著名数学家a·xинчин把香农的工作进行了严格的数学整理，写了一部专著，列举了香农正定理的数学证明。在专著的结论中，他说:“香农正定理所依据的充分条件太强，应该削弱，并指出不容易将逆定理削弱到充分必要条件，必须引入本质上新的概念。”胡第一次开创了香农逆定理的研究。基于课题的难度，他首先讨论了传播模式的两个方面，即信源和信道。在他的论文《信道序列的信息稳定性》中，他引入了“ε-fan”的新概念，并首次成功地找出了与信道相关的充要条件。这就是在柏克莱国际会议上首次提到的“胡定理”。后来，他研究了信息源，在他的论文《信息论中香农理论的三个反定理》中首次引入了信息源“ε-可压缩性”的新概念，又一次成功地找到了与信息源相关的充要条件。在克服了以上两个关键难点后，在此基础上，将信息源和信道的相关性质结合极，在1961中完成了一篇47页的创造性文章《通信系统中抽象变量的香农正负定理》。在这篇论文中，他完整而彻底地解决了香农的基本问题，即他找到了香农基本命题的充要条件。当胡在国际信息论会议上发表演讲时，当场获得了很大的反响。(2)信息量是信息论中的一个基本概念。他在信息论方面的另一部基础著作是《论信息量》一文。香农在其基础工作中引入了一元和二元的信息量，并给出了它们之间的数量关系。后来前苏联的学派引入了三个变量的部分信息，发现了几个变量，如A.H .科尔莫戈洛(Koлмогоpов)、H.M .盖尔方德(гел⫸в).胡在论文中推广并引入了任意有限个变量的信息量，找到了多个变量的信息量与某个集合可加函数之间的关系称为“偶然”(见Dobrushin的文章1972)，从而一举找到了多个变量的信息量之间的全部关系。现代信息论的教科书中经常包含这个定理。(3)随后，胡在三篇文章中讨论了香农在不同标准下的基本问题，得到了香农基本命题成立的充要条件。
(4)通信从50年代的单向通信(一发一收)发展到60年代以后的卫星多路通信(多电台发射接收)。如果说在50年代单向通信中只使用了一两个变量，而他论文中介绍的任何有限多个变量的信息在当时都是看不到的，那么在卫星多路通信中就有实际用途了。这也是为什么现代信息论的文献和书籍更多引用他的论文的原因。20世纪70年代以后，胡在香农正逆定理的基础上，结合任意多个变量之间的关系，克服了多信道通信中的许多特有困难，进一步成功地将香农正逆定理的结果推广到多信道通信模型的一般场合(见80年代发表的三篇文章)，继续获得国际信息理论界的高度评价。(5)国外对胡·信息论工作最重要的评价，请参阅Kotz教授的《信息论新成就综合评价》一书。全书***83页，涉及世界各国信息论的主要著作，其中有9页是专门讲胡的，还有不少是整页的。就个体在全文中所占的比例而言，他是最多的一个。这大致可以反映出国外对他在信息论国际地位的评价。为什么胡在上述科茨著作中占据显著地位？这主要是因为他的著作所讨论的内容比较基础，引起了信息理论界的关注。(6)多年来，胡在南开培养了一批优秀的信息论博士生、硕士生、进修生和本科生，有的在理论研究部门，更多的在军事部门。现在经常举办国际信息论会议，我们的与会者很多都是南开的学生或者在南开学习过。一个随机过程是一个概率空间，有许多事件作为一条曲线。在了解了“简单”随机过程的性质后，利用“简单”随机过程对“复杂”随机过程的近似，人们就可以近似地了解“复杂”随机过程的性质。为了真正计算出它们之间的逼近程度，在什么条件下所有随机过程的泛函空间中的拓扑结构才能被“量化”，就成为了这门学科中一个非常重要的课题。胡在概率论与测度论的基础上，利用泛函拓扑空间中的许多锐利工具，写出了《拓扑空间的σ-拓扑与测度》一文。本文有两个成果:(1)研究了σ-可加拓扑空间中的测度与一般拓扑空间中的测度之间的关系，找到了它们一致的充要条件。
(2)在(1)的基础上，找到了上述拓扑结构可量化的充要条件。这篇文章发表在前苏联各大杂志上，此后被不断引用。(1)在计算机科学中，除了最简单的所谓“图灵机”，并没有“计算机”的通用定义。他在《计算机数学模型》一文中介绍了“计算机”的一般构造性定义——计算机是通过有限多指令组成的有限变换(即“程序”)实现无限变换(即“可计算功能”)的离散计算器，或者说“计算机”是通过有限变换产生无限变换的离散计算器，是一种“有限”的离散计算器。
关于并行计算机及其软件研究的文章是上述文章的一个应用。(2)20世纪初，康托尔无限集合论中的悖论引起的第三次数学危机，还没有得出与第一次和第二次危机相同的结论。d .希尔伯特抛开康托尔的无限集合论，借助有限映射，以有限-无限映射原理在新数学的基础上建立了严密的形式数学。K. Gdel的不完全性定理在1931发表后，关于数学第三次危机的讨论相对平静。数学基础的两个基本问题只在数学哲学领域讨论。这两个问题是:第一，数学的真理性。一方面，哥德尔的不完全性定理宣称“形式算术中至少有一些定理是无法证明的”。另一方面，普通数学家总是认为“数学中的任何定理都是可以证明的”；二、数学的对象:一方面，普通数学家在学习普通数学时，认为研究的对象是某种客观现实，但读了希尔伯特的形式数学理论后，却把数学的对象仅仅看作是一系列符号的有限变换。《论普通数学与形式数学》一文试图用严格的数学方法而不是从数学哲学的角度来回答上述问题。本文认为普通数学和形式数学有着本质的区别。前者自由地使用康托尔的无限集合论，后者严格遵循有限性原则而没有康托尔的无限集合论。根据计算机的一般原理，希尔伯特的形式数学不过是计算机对普通数学的模拟，所以形式数学也可以称为机器数学。遵循有限性原理，借助有限性，可以产生一些无限，但不能产生任何无限，这是计算机功能的本质限制。所以在计算机的帮助下，普通数学只能模拟一小部分，而不是全部。这样，形式数学(机器数学)与其模拟的普通数学有其相似之处，但毕竟是本质上的不同；第一，一般数学中的定理总是可以通过包括任意无限集合在内的推理规则的演绎来证明，但不一定遵循有限的形式(机器)推理规则，这是为什么任何一般数学都是完备的(定理可以证明)而形式算术是不完备的(定理不能证明)的根源；第二，一般数学的对象是某种客观现实，但形式数学(机器数学)的对象，即计算机直接处理的对象，只是一系列符号的有限变换，但由于形式数学(机器数学)是一般数学的模拟，归根结底，一系列符号还是某种客观现实的反映。