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希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。所以，我们先从勾股定理说起。勾股定理是欧几里得几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称它为欧几里得几何中两颗明亮的珍珠之一。它广泛应用于数学和人类实践中，也是人类最早承认的平面几何定理之一。在我国，最早的天文数学著作《周丕哀经》对这一定理有了初步的认识。但是，勾股定理在中国的证明是后来的事情。直到三国时期，赵爽使用面积切割提供了第一个证明。

在国外，古希腊的毕达哥拉斯最先证明了这个定理。所以在国外一般称为“毕达哥拉斯定理”。也有人说毕达哥拉斯完成这个定理后欣喜若狂，杀了100头牛庆祝。因此，这个定理也获得了一个神秘的称号:“百牛定理”。

毕达哥拉斯

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊著名的数学家和哲学家。他曾经创立了一个集政治、学术和宗教于一体的神秘主义学派:毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯提出的著名命题“一切都是数”是这个学派的哲学基石。“所有的数都可以表示为整数或整数的比值”是这个学派的数学信念。然而具有戏剧性的是，毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少？他发现这个长度不能用整数或分数来表示，只能用一个新的数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小√2的出现在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴。直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，让毕达哥拉斯学派人心惶惶。事实上，这一伟大发现不仅是对毕达哥拉斯学派的致命打击。这对当时所有古希腊人的思想都是一个巨大的冲击。这个结论的悖论在于它与常识的冲突:任何量都可以表示为任意精度范围内的有理数。这不仅在当时的希腊是一个被广泛接受的信念，即使是在测量技术已经高度发达的今天，这个论断也无一例外的正确！但是，被我们的经验所信服，完全符合常识的结论，却被一个小小的√2的存在推翻了！这应该是多么违背常识，多么可笑！它只是颠覆了以前的认识。更糟糕的是，面对这种荒谬，人们无能为力。这直接导致了当时人们的认识危机，从而引发了西方数学史上的一场大风暴，被称为“第一次数学危机”。

欧多克索斯

两百年后，大约公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立了一套完整的比例理论。他自己的著作已经失传，他的成果保存在欧几里得的《几何原本》第五章。欧多克索斯的巧妙方法可以避免无理数的“逻辑丑闻”，保留一些相关结论，从而解决了无理数的出现带来的数学危机。而eudoxus的解法是借助几何方法直接避开无理数实现的。这是对数字和数量的僵硬肢解。在这种解决方案下，无理数的使用仅在几何中是允许且合法的，但在代数中是非法且不合逻辑的。或者说无理数只是被当作附加在几何量上的简单符号，而不是实数。直到18世纪，数学家证明了圆周率等基本常数是无理数，越来越多的人支持无理数的存在。19世纪下半叶，在建立了现在意义上的实数理论后，彻底弄清了无理数的本质，无理数才真正在数学花园里生根发芽。无理数在数学中合法地位的确立，一方面将人类对对数的认识从有理数扩展到实数，另一方面真正彻底圆满地解决了第一次数学危机。

贝克勒悖论与第二次数学危机

第二个数学危机源于微积分工具的使用。随着人们对科学理论和实践认识的提高，微积分这一尖锐的数学工具在十七世纪几乎同时被牛顿和莱布尼茨独立发现。这个工具一出来，就显示出了它非凡的威力。使用这个工具后，许多难题变得容易了。但是牛顿和莱布尼茨的微积分理论都不严格。他们的理论都是建立在无穷小分析的基础上，但他们对无穷小这一基本概念的理解和应用是混乱的。因此，微积分从诞生之日起就受到一些人的反对和攻击。其中，攻击最猛烈的是英国大主教贝克勒。

贝克勒主教

1734年，贝克勒出版了一本书，书名很长《分析师；或者是给一个无神论数学家的论文，它考察了现代分析科学的对象、原理和结论是否比宗教的奥秘和信仰的要点表达得更清楚或更明显。”