求一篇电动力学的论文

关键词:泊松亥姆霍兹勒让德贝塞尔

根据数学定理:一个关于时间和空间的函数总是可以分解成一个只与时间有关的函数和另外两个只与空间有关的函数的乘积，即。变量分离可以用来把一个复杂的函数分解成两个和的一元函数，从而简化问题，所以变量分离是数学和物理中解决问题的重要方法。

变量分离法在电动力学中被多次使用:计算电势时，给出一个泊松方程；谐振器和波导中的亥姆霍兹方程:高斯光束；光空间孤子等。解决这些问题的相同方法之一是分离变量。以下是解决这些问题的两个具体方法。

无论是高斯光束、光孤子还是泊松方程，其本质都是亥姆霍兹方程。让我们从拉普拉斯推导出通解。

(1).在直角坐标系中

泊松方程的统一方程是，其中，所以只要将解的通解加上泊松的特解，就可以得到泊松方程的通解。接下来，用分离变量法求解拉普拉斯方程。

，替换，获取:

，也就是说，这个公式的两边同时被替换为，，

。这个公式左边是关于的函数，右边的公式只是关于的函数。如果两边相等，只有一种可能。两边都等于一个常数或零。让我们把这个常数设为，然后，做同样的陈述。，整理:

于是拉普拉斯方程转化为上述六个公式，其形式为取，取:和Noring，所以解明显满足上述方程，所以

(2)柱坐标中变量的分离

,

(3).

下，关于极点对称。

电磁波在波导和谐振腔中的传播满足亥姆霍兹方程。根据上述解，不难知道其解的表达式与(4)相似，所以其解具有与(5)相同的形式。

从上面的过程可以知道，在解题时，要根据问题的具体形式，选择合适的坐标系进行分析，使计算尽可能简单。一般当问题具有球对称性时，用球坐标系的解更简单。当波导不是矩形时，在直角坐标下分析它是非常复杂的。球势的拉普拉斯方程以球坐标系为基础，选取极轴，利用公式(7)的结论使求解变得简单。实际问题往往有边界条件，然后根据边界来确定各个方程中的系数。显然，一般方程中有6个待定系数，理论上需要6个边界来确定。

参考资料:梁。数学物理方法，第三版，229.236。