什么是分形数学？
分形一般具有以下特征:[2]
在任何小尺度上都能发现精细结构；
它是如此的不规则，以至于很难用传统欧几里得几何的语言来描述它。
自相似性(至少粗略地或任意地)
Hausdorff维数将大于拓扑维数(空间填充曲线如希尔伯特曲线除外)；
有一个简单的递归定义。
因为分形在所有尺度上都是相似的，所以它们通常被认为是无限复杂的(用不精确的术语来说)。自然界中与分形相似的事物包括云、山、闪电、海岸线和雪花等。但是，并不是所有自相似的东西都是分形。虽然实线在形式上具有自相似性，但并不符合分形的其他特征。
17世纪，数学家兼哲学家莱布尼茨思考了递归自相似，分形数学从此逐渐成型(尽管他错误地认为只有直线才会自相似)。
直到1872，Karl Veiershtrass给出了一个处处连续但可微的函数，今天它被认为是一个分形图形。1904年，科赫·范·卡卡不满意韦伊尔施格拉斯的抽象和解析的定义，给出了一个功能类似但更具几何意义的定义，这就是今天的科赫雪花.第二年，谢尔宾斯基地毯制成了. 19666.6666666666667最初，这些几何分形被认为是分形，而不是像现在这样的二维形状。1938保罗·皮埃尔·莱维在他的论文《由与整体相似的部分组成的平面或空间曲线和曲面》中进一步提出了自相似曲线的概念，他在文中描述了一种新的分形曲线——李维C形曲线。
格奥尔格·康托也给出了一个具有不寻常性质的实数子集——康托集，今天也被认为是分形。
复平面的迭代函数在65438+2009年底和20世纪初由儒勒·亨利·庞加莱、菲利克斯·克莱因、皮埃尔·法图和加斯顿·茹利亚研究，但直到现在，借助计算机绘图，他们发现的许多函数才显示出它们的美。
在1960年代，Benhua Mandelberg开始研究自相似性，并写了一篇论文，“英国的海岸线有多长？统计自相似性和分形维数。最后在1975年，Mandelberg提出了“分形”这个词来标记一个物体，它的Hausdorff维数会大于拓扑维数。曼德尔伯格用卓越的计算机架构图像描述了这个数学定义，这些图像具有普适性；很多都是基于递归，甚至分形的一般含义。
立法
制作分形的四种通用技术如下:
逃逸时间分形:由空间(如复平面)中各点的递推关系定义，如曼德尔伯格集、茹利亚集、燃烧船分形、新分形、利奥波德分形等。逃逸时间公式一两次迭代生成的二维矢量场也会生成分形，如果点反复经过这个矢量场。
迭代函数系统:这些分形都有固定的几何替换规则。康托集、谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、空间填充曲线、科赫雪花、龙曲线、T型正方形和芒格海绵都是这种分形的例子。
随机分形:由随机的、不确定的过程产生，如布朗运动轨迹、李维飞行、分形景观、布朗树等。后者会产生一种叫做树分形的分形，比如扩散限制聚集或者反应限制聚集丛。
奇异吸引子:它是由一个映射或一组将显示混沌的初始微分方程的迭代产生的。
[编辑]分类
分形也可以根据其自相似性来分类，有以下三种:
精确自相似性:这是最强的一种自相似性，分形在任何尺度下看起来都是一样的。由迭代函数系统定义的分形通常表现出精确的自相似性。
半自相似性:这是一种松散的自相似性，分形在不同的尺度下会表现得大致相同(但不精确)。半自相似分形包含了整体分形变形和退化形式的缩减尺寸。递归关系定义的分形通常是半自相似的，而不是完全自相似的。
统计自相似性:这是最弱的一种自相似性，这种分形可以在不同的尺度上保持一个固定的数值或统计测度。“分形”的大多数合理定义自然会导致某种类型的统计自相似性(分形维数本身是一种在不同尺度下保持固定的数值度量)。随机分形是统计自相似的一个例子，但是不精确，是半自相似的。