广义逆矩阵的计算方法

广义逆矩阵的计算方法大致可以分为三类:基于满秩分解和奇异值分解的直接法、迭代法和其他低阶矩阵常用的非常方法。

以A+的计算为例。若A是秩为r的m×n阶非零矩阵，记为(图6)，有满秩分解A = f g，其中(图7)，则(图8)，即广义逆矩阵的计算转化为普通逆矩阵的计算。常用LU分解和QR分解实现满秩分解，然后得到A+。若A有奇异值分解A=UDV*，其中U和v是m阶和n阶酉矩阵，(图9)是m×n阶矩阵，∑是r阶对角矩阵，对角元素(图10)是A的r个非零奇异值(A *的非零特征值的平方根)，则A+=VD+U*，其中(图10)。也可以用豪斯霍尔德变换把A变换成上双对角矩阵J0=P*AQ，再用QR算法把J0变换成矩阵D=G*J0h，所以A=(PG)D(Qh)*，所以A+1=(Qh)D+(PG)*。设λ1为AA*的最大非零特征值，若0

Grevil逐次递推法也是计算A+的常用方法。设A的第k列为αk(k=1，2，…，n)，A1 = α 1，AK = (AK-1，α k) (k = 2，3，…，n)，则(图65438)

1955之后，出现了大量关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。20世纪70年代，一些专著和论文发表，指出了广义逆矩阵在控制论、系统辨识、规划理论、网络理论、测量、统计和计量经济学中的应用。