关于一元二次方程和一元二次函数
我们知道ax2+bx+c=0形式的方程是二次方程，而y= ax2+bx+c(a，B，C为常数，a≠0)形式的方程是二次函数。它们在形式上几乎相同，唯一的区别是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y，这种形式上的相似性使得它们之间的关系特别紧密，很多题都是基于此。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。可以看出，方程中的很多知识点都可以应用到函数中。下面，我们来详细了解一下它们之间的具体应用。
一、配方法解方程与二次函数的应用关系。
求解方程的四种方法之一是用匹配法求解方程。在二次函数中，我们经常需要将一般形式转化为新的形式。这个转化过程其实就是把它公式化，和方程公式一样。
例1:匹配法解方程
解决方案:
(1)
(2)
(3)
(4)
……
例2:指出函数的顶点坐标。
解决方案:
(5)
(6)
(7)
(8)
∴顶点是(-2，-17)
等式中的四个步骤(1)、(2)、(3)和(4)与函数(5)、(6)、(7)和(8)中的步骤完全相同。可以看出，方程与函数密切相关。
我们从教科书的研究中知道；当二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的像与X轴相交时，交点横坐标的值就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根。
二、一元二次方程根的判别式及二次函数的应用。
在二次函数中，当函数与X轴有两个交点、一个交点和没有交点时，函数对应的一元二次方程的根的判别式为:△>；0，delta = 0和delta；0，方程有两个不相等的实根；当△ = 0时，方程有两个相等的实根；当△ < 0时，方程没有实根。
例3:判断二次函数y = x2-4x+3与X轴相交的个数。
解析:因为二次函数与X轴的交点个数可以通过对应方程的根的判别式△来确定。如果△& gt；0，有两个交集；如果△ = 0，则有交点；如果△
例4:试解释函数y = x2-4x+5，无论X取什么值，y >；0。
解析:第一种方法是利用匹配法，用Y = (x-2) 2+1的形式来解释。(但如果系数值不好，这种方法会比较麻烦。)
第二种方法:用delta来解释，因为delta =-4；0，所以图像开口向上。所以图像在x轴上面，所以不管x取什么值，y >；0。
例5:证明:无论M取什么实数，方程x2-(m2+m) x+m-2 = 0必有两个不相等的实数根。
解析:这道题如果用常规的方法做，就是证明一元二次方程的delta > >。0的问题。但是这个问题的判别式△是关于m的一元四次多项式，符号不好判断，给证明带来了麻烦。如果用函数思想分析问题的含义，设f (x) = x2-(m2+m) x+m-2，因为它的开口是向上的，我们只需要找到一个实数x0，这样f (x0)
注意观察，很容易发现，当x = 1时，f(1)= 1-(m2+m)+m-2 =-m2-1
这说明要证明的结论是成立的。
简单证明一下。
三、根与系数的关系在函数中一元二次方程中的应用。
例6:二次函数图像交叉(-1，0)和(3，0)，与Y轴相交于(0，3)，求分辨函数。
解析:这类题的常规解法是待定系数法。但是这里可以通过根和系数的关系来求解，因为(-1，0)和(3，0)实际上都在X轴上，所以-1和3就是函数对应的方程的两个根。
解决方法:让函数形式成为
函数交叉点(0，3)
∴ c=3
∴
还有:函数交叉点(-1，0)，(3，0)
也就是说，函数和X轴的交点的横坐标是-1和3。
∴
解是a =-1，b = 2。
函数形式为y =-x2+29x+3。
显然，这种方法比待定系数法简单。
二次方程与二次函数的密切关系有很多巧妙的用途。这里只讨论这么多，更多的地方需要在实践中慢慢体会。
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