关于非线性系统混沌现象的讨论文件

编者按:本文主要来自引言；混沌电路；EWB模拟分析；硬件电路调试；对结论进行了讨论。其中主要包括:非线性系统的性能复杂多变，混沌是在某些参数条件下对初始条件敏感依赖的非线性动力系统的随机运动，电路理论分析，混沌现象在非线性电路中也很常见，二阶以上受迫系统，至少有一个非线性器件，构造非线性电阻电路，使用EWB(ElectronicsWorkbench)。软件对图3中的电路进行计算机仿真分析，显示电路中的电容电压和电感电流有类似噪声的不规则振荡，在示波器屏幕上可以观察到一条直线。利用这个电路，还可以观察到周期窗和混沌现象不仅存在于电路中，而且也存在于电路中。有关详细信息，请参见。

1简介

非线性系统的性能复杂多变。长期以来，人们对非线性电路中的平衡态和周期振荡态进行了充分的研究，并获得了许多有用的结果。直到40多年前一个重要的模拟结果出现，非线性领域的研究才进入一个新时代。1963年，麻省理工学院著名气象学家E.N.Lorenz在研究一个气象模型时发现了异常情况。洛伦茨在计算机上反复实验了很长时间，结果都是一样的，和经典的理解不一样。其特点是响应总是出现随机振荡，状态轨迹从不在一个区域内反复运动，这就是后来所说的混沌[1][2]。

混沌是非线性动力系统在一定参数条件下产生的一种对初始条件敏感的随机运动。混沌运动的根本原因是运动方程的非线性；混沌运动本质上是随机的，对初始值非常敏感。如果两个动作的初始值稍有不同，时间长了两个动作之间就会出现很大的不可预测的偏差。混沌是自然界的普遍现象，是非线性系统特有的复杂状态。

2混沌电路

2.1电路的理论分析

混沌在非线性电路中也很常见，电路呈现混沌。原则上，应考虑两种情况[3][4]:

(1)二阶以上强制系统；三阶或更多阶的自治系统；

(2)至少一个非线性器件。

图1所示的三阶自治电路由四个线性元件(两个电容、一个电感和一个线性电阻)和一个非线性电阻组成。

2.2非线性电阻电路的构造

非线性电阻可以通过运算放大器做成负阻抗电路，当大于某个电压值时，运算放大器开始饱和。通过并联两个这样的运算放大器，可以得到伏安曲线如图2所示的非线性电阻，完整的电路如图3所示。

3EWB仿真分析

用EWB(ElectronicsWorkbench)软件模拟和分析图3的电路。这里我们取C1 = 0.3474UF，C2 = 0.0155UF，L1 = 11.0534MH，R1 = 13.9596ω，R2 = 26556。r5 = 3.0811kω，R6 = 18.596kω，R7 = 21.7kω，代入非线性电阻的分段线性特性方程。通过改变W1的不同值，可以得到不同的状态轨迹。w 1 = 1.14kω处的状态轨迹如图4所示，C2和C1处的电压时域波形分别如图5和图6所示。

结果表明，电路中的电容电压和电感电流像噪声一样不规则振荡，是一个有界的稳态过程，状态平面上的轨迹从不按某种内在规律反复穿过。这种蝴蝶状的图形被称为混沌吸引子。混沌吸引子，又称奇怪吸引子，在混沌运动中是独特的，具有拉伸、折叠、伸展的复杂结构，使系统在有限空间内保持按指数规律发散，即吸引子外的一切运动都接近吸引子，对应一个稳定的方向；而所有到达吸引子内部的运动都是互斥的，对应不稳定方向。

在计算机模拟分析中，如果改变初始状态，其响应会发生很大变化，因为混沌运动对初始状态非常敏感。

4硬件电路调试

根据图3中的电路制造印刷电路板。考虑到元器件参数的标称值，在实际电路中，C1 = 0.33UF，C2 = 0.015UF，L1 = 65438+100mh，r 1 = 5.1ω，R2 = 20。将输出信号S2-OUT和S1-OUT分别连接到示波器的CH1和CH2探头上，选择X-Y模式作为工作模式。将W1调整到最小，在示波器屏幕上可以观察到一条直线。调整W1，直线变成椭圆。当它到达某个位置时，加大示波器的放大倍数，反向微调W1，可以看到曲线开始以双周期变化，曲线从一个周期增加到两个周期，从两个周期增加到四个周期，...直到一系列无尽的圆形曲线。如果继续微调W1，单吸引子突然变成了双吸引子，只能看到圆曲线在两个向外的涡旋吸引子之间不断填充跳跃。这就是混沌吸引子，其特点是整体稳定性和局部不稳定性并存。微调W1使其在1.1kω左右，示波器观察到的实际特性与计算机分析的结果非常接近。

利用这个电路，我们也可以观察到周期窗口。如果我们仔细调整W1，原来的混沌吸引子突然出现一个三周期像。如果继续微调W1，混沌吸引子又出现了。这种现象被称为周期窗口。

上述结果表明，非线性电路中具有这种特性的混沌振荡具有深刻的理论价值，改变了许多传统的认识。经典理论主要基于线性、对称性、可逆性、有序性和稳定性，产生非常规律的结果。而现代理论的特点是非线性、不对称性、不可逆性、无序性和不稳定性，并演化出了非常奇特的运动机制，混沌就是这样一个典型代表。

5结束语

混沌不仅存在于电路中，还出现在地震、气象、机械、化学、控制、生理等领域。混沌的研究和应用形成了一门新的科学，涉及数学、物理、生物、化学、天文学、经济学和工程技术等多个学科，并对这些学科的发展产生了深远的影响。混沌包含了广泛的物理内容，对这些内容的研究需要更深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何等。目前，混沌的研究重点已经转向混沌、量子与时空混沌、多维动力系统中混沌的同步与控制。

参考

[1] E.N .洛伦茨。混沌的本质[M]。北京:气象出版社，1997。

[2]詹姆斯·格雷克。混沌开启新科学[M]。上海:上海译文出版社，1990。

高金峰。非线性电路与混沌[M]。北京科学出版社2005。

王兴元。复杂非线性系统中的混沌[M].北京:电子工业出版社，2003。

；