小学数学概念教学中应注意的几个问题

最小的数字是0还是1？

这个问题争议已久。先来看看《九年义务教育六年小学数学教师用书》第98页关于“多少位数”的描述:“通常，在自然数中，含有几个位数的数称为多少位数。例如，“2”是包含一个数字的数，称为一个数字；30”是有两位数的数，叫两位数；405”是一个三位数的数，叫做三位数...但要注意:一般不会说0是数字。

我们来听听专家的解释:在自然数理论中，“几个数字”的定义是这样的:“只用一个有效数字表示的数称为一个数；只用两位数表示的数(左边的第一位是有效数字)称为两位数...那么，在一个数中，有多少位(左边第一位是有效位)，这个数就叫几位数。

这里所谓的最大位数和最小位数通常是在非零自然数的范围内研究的。所以有九个数字* * *，分别是:1，2，3，4，5，6，7，8，9。

0不是最小的数字。

为什么0也是自然数？

课标教材中“0也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。

在此，中央教育学院教材编写组主编陈昌柱表示:一直以来，国际上对自然数都有不同的定义。法国等大多数国家认为自然数是从0开始的，而中国的教科书一直沿用前苏联的观点，认为0不是自然数。2000年，教育部主持召开教材改编会议时，明确提出要把0归为自然数。这次修改也符合国际惯例。

从教学实践来看，将“0”定义为“自然数”也具有积极的现实意义。

“0”作为自然数的“收益”

众所周知，数学中的集合分为有限集和无限集。有限集是由有限个元素组成的集合，就像一个班里的一群学生。无限集合是具有无限个元素的集合，例如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质，所以用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。

但在有限集中，有一个最重要也是最基本的集合，叫做空集{}，元素个数为0。如果0不是自然数，那么空集的元素个数就不能用自然数来表示。如果把“0”看成一个自然数，那么这个自然数就可以完成描述有限集合中元素个数的任务。这里，从“自然数的基数”的角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。

取“0”为自然数，不会影响自然数的“运算功能”。

当“0”被添加到传统的自然数集合中时，所有的“运算规则”都保持不变。比如新的一组自然数{0，1，2，…，n，…}中的任意两个自然数可以相加相乘，运算结果仍然是一个自然数。同时，加法和乘法运算的结合律和交换律以及乘法的分配律也不会受到影响。

所以“0”加入自然数的集合是很自然的，而不仅仅是人为的“规定”。它使我们更好地理解自然数及其作用，同时也使我们认识到，在教学中不仅要认识和记住数学的“定义”和“规律”，还要思考“规律”背后的数学意义。

什么是有效数字-无效数字？

有效数字是一个数字的近似值的精确度。如果同一个约数在选择时保留较多的有效数字，会比保留较少的有效数字更准确。

一般来说，大概数字四舍五入到哪一位，也就是大概数字精确到哪一位。此时，从左边第一个非零数字到该数字的所有数字称为该数的有效位数。

例如，约数0.00309有三个有效数字:3、0和9；0.520也有三个有效字:5，2，0。

0.00309中左边的三个0和0.520中左边的一个0都称为无效数字。

加减乘除是倒数运算吗？

“加减是逆运算，乘除是逆运算”似乎是很多老师的口头禅，其实是一种误解。例如:

加法“2+3 = 5”，它的逆运算是“5-2 = 3”和“5-3 = 2”。

所以加法的逆运算只是减法；

如果减去“5-2 = 3”，反算就是“5-3 = 2”，“2+3 = 5”。

所以减法的逆运算有两种运算:减法和加法。

综上，只能说减法是加法的逆，不能说加法和减法是互逆的。

同理，只能说除法是乘法的逆，不能说乘法和除法是互逆的。

为什么不写“时代”？

在学习应用题“一个数是另一个数的多少倍”时，很多孩子自然会问这样的问题，比如:“喂养组养了12只鸡，3只小鸭。鸡只有几只？”“12 ÷ 3 = 4”后面为什么不写“倍”？

首先要肯定学生的疑惑(学生的解题规范意识很强)。但同时要向学生说明，解应用题时，数的单位名称一般写在数的后面。

如:12“仅”；八克克。只有有了单位名称，一个数字才能准确表示一个物体的数量、大小、长度、重量等等。但是，“倍”不是一个单位名称，它代表的是两个量之间的关系。比如上面的计算结果“4”表示12中有四个3，也就是说12中鸡的数量是三只小鸭的四倍。

因此，公式中不要写“倍”，以免“倍”与公司名称混淆。

“倍”和“倍数”的区别

第一期，我们学习了“时代”的概念，第二期，我们学习了“时代”的概念。那么，“倍”和“倍数”这两个词是一回事吗？这两个词有什么区别？

“倍”指的是数量关系，是基于乘除的概念。比如男生10，女生30。因为“10×3=30”或“30÷10=3”，所以我们说女生(30)的数量是男生(10)的三倍。卜宁说“倍”其实就是两个数的商(这个商可以是整数、小数、分数等多种表达形式)。

“乘”指的是数与数之间的关系，这是基于整除的概念。比如30能被6整除，30是6的倍数。可见“多重”不能独立存在(具有特定指向性)，对数的形式有特殊要求(必须是整数)。

同时我们也看到30是6的5倍，因为6×5 = 30，“6×5”就是6的5倍。所以从这个角度来说，“多”的含义应该比“多”更宽泛，后者在一定情况下可以看作是前者的一种表现。

“小时”和“小时”有什么区别？如何使用「时」和「小时」？

首先要明确的是【小】时间不是国际时间单位。在1984国务院发布的《关于统一法定计量单位的命令》中，秒作为时间的基本单位，日(日)、时、分等非国际时间单位作为辅助单位。

(注:【】中的字可以省略，不会混淆)。

这样，我国使用的法定时间单位是:日(天)、时(小时)、分、秒。

因此，“时间”既可以表示时间，也可以表示时间。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念容易混淆，在实际应用时间单位“时间”时，现行教材是这样处理的:

7.1计算连续时间长度时，将时间单位“小时”写在数字的括号内。例如:超市营业时间:21-9=12(小时)。(此处可省略“小”字)

7.2在语言上表示时间的长短时，为了避免混淆“时间”和“时刻”这两个概念，在“时间”之前加了一个“小”字。比如超市的营业时间是12小时。

7.3用文字表示时间时，不得出现“小时”一词。例如，公园每天早上7: 30出发(而不是7: 30)。

「改写」和「省略」是一样的吗？

形式上，这个例子把“重写”和“省略”对数的变化放在同一个要求下(即重写为以“一亿”为单位的数)。我们真的希望编辑不是故意的，因为“改写”和“省略”的本质是完全不同的。显示在:

8.1有不同的用途

“重写”的目的是方便大数字的读写，“省略号”是取数字的近似值。

8.2不同的方法

这里的“重写”就是去掉“十亿”位后的0，再写一个字“十亿”，而“省略”不仅要找到“十亿”位，还要考虑省略尾数的最高位，然后通过四舍五入找到大概的数字。

8.3不同的符号

“重写”只是改变了数的表达形式，大小没有改变，所以用“=”连接；而“省略号”既改变了数的形式，又改变了数的大小，所以用“≈”连接。

「距离」和「距离」一样吗？

这两个词在很多老师的教学语言中是交替使用的，其实不然。

“距离”是指从一个地方到另一个地方的路线长度；而“距离”是指连接两个地方的直线段的长度。

“旅程”经过的路线可以是曲线、直线或折线。

一般来说，两地之间的“距离”大于两地之间的“距离”。只有两地之间的路线是直的，距离和距离才是相等的。

虽然老师都知道这个方程是成立的，但是我们的学生没有相应的知识储备，那么如何绕过“极限”，找到一个小学生能够理解和接受的证明方法。

最大得分单位是1/2还是1/1？

我们来看看小数单位的含义:把单位“1”平均分成几份来表示这样一个数。

显然，在分数的意义上，关键是“分数”。没有“分数”，就没有“份额”。

因为单位“1”平均至少分成两份(如果是1，则没有“分数”)，所以得到的分数单位是1/2，所以1/2是最大的分数单位。

虽然1/1也可以看作是广义上的分数，但不是我们通常所知道的与整数相对的那种分数(在平均分的基础上产生的)。所以分数的最大单位应该是1/2。

像0/3，0.2/3，3/0.2这样的数字是分数吗？

分数的定义很清楚地告诉我们，把单位“1”平均分成几份来表示这样一个数或份，叫做分数。其中，被分割的股数称为分数的分母，要表示的股数称为分子。

所以分数的分子和分母应该是非零的自然数。从这个意义上说，以上图形是分数的形式，而不是分数的本质，所以不应视为分数。

再者，在考察学生对“分数”含义的理解时，要把重点放在通常意义上的分数上，把这些变化纳入思维范围，这对训练学生思维的实际意义不大，而且会使“分数大于0”等命题的真假尴尬。

1/2大于6的数应该是“6+1/2”还是“6+(1+1/2)”呢？

要理解这个问题，首先要理解“6”的性质。显然，这里的“6”的本质是一个数，而不是一个量。找一个比6大1/2的数，应该属于“找一个比数大几的数”的范畴。问题中的“几个”都是确定的具体数字，这里的“几个”既可以是整数，也可以是数字。所以这里的“1/2”指的是以6为基数的“1/2”的数，而不是“65438+6的0/2”。

所以“1/2大于6”这个数应该是“6+1/2”。

当然，如果题目是“1/2大于6”，那么答案属于后者。

出勤可以不用乘以100%计算吗？

我们来看看三个不同版本的教材对类似问题的理解:人教版、北师大版、苏教版。

同样的课标下，不同的教材给出不同的理解，给指导老师带来了困惑:能不能不考100%？笔者认为，求“××率”的结果一定是百分数。以出勤率为例，即实际出勤率应该是百分之几。

如果公式只写成:出勤率=实际出勤/出勤，我们说这只是分数形式(就是求实际出勤对出勤的“分数”)，而不是百分比。

因此，在公式后乘以“100%”，既能保持计算值不变，又能保证结果形式符合百分比要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率的公式中要乘以“100%”。

同时，建议各版教材的编者统一思想，以免给一线教师造成混乱。

小于90度的角都是锐角吗？

根据课标教材的定义:小于90度的角称为锐角。答案似乎是肯定的，但这又引出了一个新的问题:0度角是什么，也是锐角吗？

锐角的定义其实有一个隐含的前提，就是小学数学中讨论的所有角都是正角。传统上，我们把一条射线逆时针旋转所得到的角称为正角，把一条射线顺时针旋转所得到的角称为负角。当光线不旋转时，它被认为是零度角。如果把角度的概念推广到任何角度，都要分为正角、负角和零度角。

所以锐角的严格定义应该是:大于0度小于90度的角叫做锐角。

足球比赛记分牌上的“3︰2”是数学上的“比”吗？

我们至少可以从两个方面来理解他们的不同。

一、球类比赛中的“3￠2”代表比赛双方的比分，这是“差”比，即表示差的关系，一方得3分，另一方得2分，双方的差是1分；数学中的“3 ︰ 2”是“3︰2”的意思，是“倍”的比值，商是1.5。有鉴于此，球类运动中的“比”(实际上是比分)可以为零，而数学中的“比”及其后续数(相当于除数)不能为零。

其次，数学中的“比”可以简化，如“4:2 = 2:1”；同样的“4￠2”在一场球赛中是无法简化的。如果简化，就不能反映游戏中双方的实际得分。