柯西积分公式和柯西积分定理在复变函数中有哪些应用？

复变函数论的创始人19世纪，复变函数论逐渐成为数学的一个独立分支，柯西为其做了基础性的工作。复变函数与复幂级数分析课程一半以上讨论的是复数和初等复变函数，可见柯西早就把复变函数论的建立作为分析的一个重要项目。他用形式化的方法引入了复数(“虚表达式”)，定义了它们的基本运算，并得到了这些运算的性质。他根据实际情况定义了复无穷小和复变函数的连续性。柯西在1814写的关于定积分的论文是他建立复变函数理论的第一步。本文给出了所谓的柯西-黎曼方程。讨论了二重积分的换阶问题，提出了被积函数有无穷个间断点时的主值积分概念，并计算了许多广义积分。柯西在1825写的关于积分限于虚数的定积分的论文，是一篇杰作。本文提出“柯西积分定理”作为简单复变函数论的基础。柯西本人用变分法证明了这个定理，证明了中间曲线连续变形的思想可以说是“同伦”概念的萌芽本文还讨论了被积函数有一阶和m阶极点时广义积分的计算。留数微积分中的“留数”一词最早出现在1826年柯西写的一篇论文中。他认为留数微积分已经成为“一种类似微积分的新的计算方法”，可以应用于大量的问题。复变函数论的建立C.A. Bouriaud于1859年发表了《双周期函数论》，明确了柯西理论的对象，系统地阐述了复变函数论，对柯西的思想向全欧洲传播起了决定性的作用，标志着单复变函数论的正式形成。