张彤的学术贡献
大跃进后进入困难时期，所有政治运动暂停。此前，原子弹和三峡大坝工程的研究部门分别向数学所提出了关于冲击波和涌浪的问题。所有这些问题都可以归结为对非线性双曲守恒律不连续解的研究。根据领导的安排，政审中无法参加国防任务的张彤、郭玉发组成小组，以张彤为组长，自学文献，自主选题从事相关基础理论研究。在考察中，张彤被盖尔范德《拟线性方程组理论中的一些问题》一文中对黎曼问题的论述深深打动。
描述气体运动的基本方程是欧拉方程，由质量、动量和能量三个守恒定律组成。其最大的特点和难点在于解的不连续性，而冲击波是一种压缩不连续性。在1858中，黎曼牢牢把握了不连续的特征，提出并解决了欧拉方程最简单的不连续初值问题(即初值是具有任意不连续点的阶梯函数)，后被称为黎曼问题。黎曼构造了它的四类解，由前后向疏散波(记为和)和前后向激波(记为和)组成，即(or)+(or)，利用相平面分析法给出了这四类解的判别条件。黎曼的工作开创了微分方程“广义解”的概念和“相平面分析”的方法，具有很大的先进性。黎曼以敏锐的洞察力和巨大的独创性为非线性双曲守恒律的数学理论奠定了第一块基石。1975年美国出版的《科学传记词典》中关于黎曼的传记称这部著作是“黎曼在数学物理方面最好的作品”。但黎曼研究的是简化模型(一维等熵流)，力学不接受。直到第二次世界大战，在原子弹和超音速飞行研究的推动下，应用数学权威R. Courant和K. O. Friedrichs将Riemann的结果推广到一维非等熵流，在前向波和后向波之间增加了一个接触间断(J，是不同密度气体的界面)。黎曼解推广为(or) +J+ (or)。r、s、j合称为欧拉方程的基波。从65438年到0962年，张彤被这部作品的简洁、优美和深刻所深深打动，决定选择黎曼问题作为自己的研究方向，希望将黎曼的工作扩展到更一般的方程，甚至高维的情况。他在几乎不被周围人理解和接受的情况下，兴致勃勃地踏上了一条充满挑战的探索之路。
几个月后，张彤实现了一个关于盖尔范德提出的未解决问题的几何直观思路:通过构造凸包将欧拉方程中的凸函数推广到非凸函数，从而将黎曼结果巧妙地推广到非凸方程的情况，并明确了相关的熵条件。1963年，指导中国科学技术大学数学系第一篇毕业论文时，这一思路演变为李、肖凌等四人的毕业论文。这项工作进一步推广和完善后，张彤和肖凌在1963年底共同提交了《数学学报》。遗憾的是，这篇文章直到1977才以三页摘要的形式发表在《数学杂志》上，直到1981才全文发表在《美国数学杂志. Anal.Appl》上，在1984年张彤第一次访问德国海德堡大学的时候，观众对凸包方法还是觉得很新鲜很有趣的。
同时，吴新谋指导的毕业论文组试图将黎曼的结果推广到初值包含两个间断的情况。其实质是研究包含在两个黎曼解中的四个基波的相互作用，可分为16个子情形，其中只求解了(+)+(+)子情形。在此基础上，张彤和郭玉发找到了向前疏散和向后压缩的一般初值，并利用相平面分析法证明了整体解的存在性和初值向前疏散和向后压缩的性质对时间的不变性。这是第一个证明欧拉方程整体间断解存在的结果。在1965年发表在《数学杂志》上之后，从1967到1975，美国、苏联和中国相继出现了后续研究，包括方程和初值的推广以及唯一性的证明。在1985出现丁、陈桂强、罗的成名作之前，这篇论文被认为是中国间断解研究中最有影响的著作，曾被美国国家科学院院士P. Lax称为“中国初值”。
1963的大好工作局面在1964再次被政治运动打断，直到1972才逐渐恢复。从1972到1979，、肖玲、丁、、李合作完成了6篇论文，内容涉及凸和非凸黎曼问题以及波动相互作用。在这些著作中，他们以硬分析为工具，深入研究了相平面上R线和S线的几何性质，发展了相平面分析方法，形成了自己的风格。1978终于迎来了改革开放的新时代。中科院数学所一大批45岁以下的研究人员被送往国外深造，而当时46岁的张彤继续在国内研究黎曼，致力于培养年轻一代。他曾经去中科院研究生院教数学方程，很受欢迎。为了帮助青年学者尽快走向研究前沿，和北京大学蒋共同发起了北京香山植物园偏微分方程暑期研修班1983。当时中国的国家基金会还没有成立，经费非常困难。幸运的是，在数学研究所微分方程研究室主任王广银的大力支持下，当时国内偏微分方程的青年教师和大部分研究生都得以参加，学生多达80人。、姜、吴兰成、和肖玲分别开设了三门课程，传授他们的专业知识。期末考试结束后，陈桂强、新、四名优秀学生分别被选拔到北京大学数学学院和北京大学接受免费培训。后来大部分都取得了优异的成绩，成为国际知名的学者。在课堂上，张彤既是负责人又是老师。由于过度劳累，大便出现潜血，被医院诊断为十二指肠溃疡出血。但他一直坚持工作，直到车间顺利结束(病了很多年，流了八次血，一直到老)。由于成果显著，应许多学院和大学的要求，讲习班连续举办了五届。复旦大学的李大潜也从第四届开始参加了联合组织。苏州大学的最后一期(江任苏州大学校长时)持续了一个学期，* * *开设了八门课程。这五位学生中有很多人一直活跃在国内外的学术界。没想到，其中5个学生成了张彤的学生，在他的带领下，* * *开创了对二维黎曼问题的系统研究。
在一维问题深入研究的基础上，张彤于1984开始考虑二维问题，与学生陈桂强合作完成了两篇论文，一篇阐明了二维非线性双曲守恒律的一些基本概念，另一篇给出了二维激波反射问题中正常反射的充要条件(是J. von Neumann提出的相关判别的数学精度，二维激波
欧拉方程的二维黎曼问题是一个著名的问题，就连它的提法在80年代也需要澄清。1985年，张彤和学生郑玉喜研究了以下最简单二维模型的黎曼问题(单一守恒律):
初始值:u(x，y，t)当t=0时，(x，y)平面上的象限1到4分别为任意常数u1，u2，u3，u4。
当t >时；0时，从原点发出的四条光线上初始值的不连续性将产生四个平面基波R或S..这个问题的实质是研究这四个平面基波如何相互作用，t >就是研究t >时初值在原点的奇异性；如何在0进化？通过深入分析原点引起的R和S的奇异性，构造了上述问题的五种解决方案。是二维黎曼问题研究的实质性突破，发表在1989《美国数学会学报》上。张彤与他的学生和同事的合作从1963到1986汇集在一起。张彤和肖凌从1989在英国朗曼出版社著名的皮特曼系列中共同出版了专著《气体动力学中的黎曼问题和波动相互作用》。两年后，美国、荷兰和德国的数学家和力学家在《美国数学学会通报》等杂志上发表了4篇书评。J. Smoller在书评中写道，“乍看之下，人们可能会惊讶于整本书都在致力于这样一个非常特殊的问题(指黎曼问题)？答案是:这个问题是整个非线性双曲守恒律领域最重要的问题。”其他书评也声称，这部专著可以被看作是库朗特和弗里德里奇斯在1948年发表的名著《超音速流动和激波》的“有价值的补充”或“续篇”。
国家开放后，国际同行高度评价张彤的工作。春天终于来了，在1978中，和丁获得了全国科技大会重大成就奖。1983，张彤、肖凌获中国科学院第二届成果奖。
1985年，张彤突破了单一守恒律的二维黎曼问题，进而转向欧拉方程的二维黎曼问题:
初始值:(p，u，p)(x，y，t)当t=0时，(x，y)平面上的象限1到4分别处于恒定状态。
1986年9月，根据中国科学院与美国国家基金会的协议，经美国方面提名，张彤到马里兰大学访问刘太平教授半年。在张彤和以前的学生郑玉喜一起访问加州柏克莱期间，他提出了以下分析和猜想来解决上述问题:
(1)的初始值在原点发出的四条射线上是不连续的，每条初始不连续线在t >处；0，发射三个平面基波(or) +J+ (or)。这12波会在(x，y，t)空间中以原点为顶点的圆锥内相互作用。为了简化问题而不失其本质，他们引入了假设T >每个初始间断线在T >；0，只发射一个平面基波。这样，问题就简化为四个基本波的相互作用。
(2)根据四波的不同组合，将问题分为16类。(3)利用各自的广义特征分析方法，为每一类找到相互作用锥的边界，这些边界由若干固定边界(特征面、音速面)和/或自由边界(激波面)组成。锥体外的解是超音速流，由四个常值初值状态和四个平面基本波组成。要求解的跨音速流在锥体内。
(4)提出了关于锥内溶液结构的一组猜想(激波、滑移面、音速面和旋涡如何分布和组合)，包括气体的膨胀、激波的反射和旋涡的形成。猜想中提出了跨音速流的一些新的确定解。
总之，一维黎曼问题阐明了守恒律的基本波，而二维黎曼问题揭示了跨音速流中这些基本波相互作用形成的各种基本流场结构。
这套猜想在1987年5月伯克利召开的相关会议上公布后，引起了强烈的反响。会议主持人、美国国家科学院院士j·格里姆(J. Glimm)在次年发表的一篇综合文章中说，“已经形成了一套完整的猜想”。1990《猜想》在美国出版38页。后续工作有以下三个方面:
A.完善分类:根据漩涡的标志将滑面分为(J+，J-)舒尔茨-铃音、拉克斯和刘旭东两类，张彤、陈桂强和杨树利最终将分类完善为19。主要的六大类(四R、四S、四J)全部包含在原分类中。
B.数值实验:从1993年到2002年，舒尔茨-林恩、科林斯和格莱兹、格拉茨和刘旭东、张彤、陈桂强和杨树利、库尔加诺夫和塔德莫尔分别用四种完全不同的计算格式进行了数值实验，计算结果完全相同。
C.严格证明:严格证明极其困难。从1986开始，张彤带领他的9个学生简化模型，逐步逼近欧拉方程。主要进展如下:
C1。最简单的模型(单一守恒定律)已经完全解决了。除了以前与郑玉喜的工作外，张彤和张鹏在进一步研究三个常数的初值时发展了广义特征线方法，得到了激波相互作用时发生类马赫反射的充要条件。19世纪在实验室发现了马赫反射，冯·诺依曼曾经给出了马赫反射的一个判据。到目前为止，已经有无数的实验和数值模拟结果，但是在数学上还没有严格的证明。这个结果可以看作是向这个难题迈出的第一小步。
C2。李和曾在1985中研究计算方法时，根据力学的启发，将欧拉方程分为零压流动方程(反映惯性效应)和差压流动方程(反映差压效应):
张平衡进一步阐明了前者的基波是J，后者的基波是R和S..前者的黎曼问题已由、盛万成、李介泉和陈等人彻底解决。主要结果收录在1999美国数学会系列专题报告中。有意义的是在J+和J-的相互作用中出现了一种新的非线性波——Dirac-Delta激波，它由支撑在激波面上的密度的Delta函数构成，描述了低维流形上的质量集中现象。最有趣的是，这一新现象还体现在欧拉方程的数值实验中，在亚音速流中，三角洲激波被打磨成平滑的三角洲波。此前，这种新的非线性波是由张彤、谭德春和杨树利在研究一个非物理守恒律组时发现的。不仅阐明了它的数学机理和传播规律，而且证明了它对粘性扰动的稳定性。对狄拉克-德尔塔激波的研究一直持续至今。
压差流是跨音速流，* * *分入12大类。在超音速光滑解的范围内，张彤和戴子昌找到了方程的一种“特征分解”，进而证明了静态气体向真空的膨胀(第一种情况的极端情况)有超音速解，不含间断，波相互作用锥的边界由特征和真空组成。
C3。欧拉方程:五六十年代，苏联和美国学者考虑了静态气体向真空的膨胀，但问题远未解决。65438-0999曾是张彤学生的李介泉，经过几年的探索，巧妙地找到了一组黎曼不变量，将非线性双曲型方程转化为线性退化双曲型方程，从而成功地解决了问题，终于迈出了严格证明“猜想”的第一步，首次证明了高维欧拉方程在大范围内存在非轴对称解。
还需要提到的是，张彤和郑玉喜曾将四个常状态的初值推广到无穷个常状态，并考虑欧拉方程的轴对称解，将问题归结为一个三维动力系统的奇点连接问题。与经典理论不同的是，轨道可以由不连续点(激波)过渡。经过仔细分析，他们彻底解决了问题，构造了五种解，包括涡旋、真空、冲击波、疏散波和稳态的不同组合，找到了涡旋的精确解。
1996与杨树理联名申请中国科学院自然科学奖时，该院院长龙曾写信征求美国国家科学院院士j . Glimm(2004年国家科学奖章)的意见。格利姆在回信中写道:
“张教授在气体动力学二维黎曼问题上的工作，在国际学术界定义和引领了一个极其重要的研究方向。我认为二维黎曼问题是非线性守恒律研究中最重要的理论问题。张教授在这个问题上做出了权威性的贡献。他的工作是原创性的，纯理论的，后来辅以数值研究。”
“张彤教授的主要成就是给出了一组所有二维黎曼解的丰富图像，远远超出了人们以往的认识，引起了广泛的兴趣。”
那一年，张彤和杨树理获得了中国科学院自然科学奖二等奖。1984以来，张彤多次应邀赴美、德、法、日、台、港、澳合作研究、学术访问和参加国际会议。65438+1989年8月在日本召开的非线性偏微分方程及其应用研讨会上作了90分钟的邀请报告。1998 12在北京举行的首届世界华人数学家大会上做了45分钟的邀请报告。
张彤和他的九个学生从1986到1998的相关工作被编成专著《气体动力学中的二维黎曼问题》，还被收入英国朗曼出版社著名的皮特曼丛书，出版于1998。2000年，美国数学学会《数学评论》上发表的书评将这个研究群体称为“中国学派”。
2004年，张彤、李洁泉、张鹏获得北京市科学技术奖一等奖。
1986年，张彤和郑玉喜完成了论文《气体燃烧理论的黎曼问题》，美国《微分方程杂志》的审稿意见说:“本文给出了含反应项的一维气体动力学方程黎曼问题的第一个完全解。这个问题由Courant和Friderichs在1945中以基本相同的形式提出，并给出了特殊的解法。直到这篇文章的出现，人们对这个问题的认识几乎还停留在那个状态。.....这是一个很大的进步，必将给这一课题的研究带来全新的面貌。...一个重要问题...确实是一项有价值的努力。”此后，张彤在1988美国数学学会和美国工业与应用数学学会联合主办的夏季研讨会上，就此问题提出了一套全面的思路:反应速度从有限(ZND)到无限(CJ)考虑；从存在到不存在，粘度是变化的，方程的范围从最简单的模型到气体动力学。通过与合作者的不断努力，他已经完成了6篇论文。最简模型的概念已基本得到证实，气体动力学方程也取得了一些实质性进展。
张彤开朗真诚；淡泊名利，甘于孤独；坚持探索，原创。经过40年的不懈努力，他带领学生们终于在一个重要问题上开创了一条新路。他曾说:“我像喜欢音乐一样喜欢数学，都是为了追求世界的美好。”他总是陶醉于数学和音乐的美好境界，快乐地和学生一起做自己的数学，品味生活。他还说:“中国有很多人比我聪明，比我努力，我很佩服他们。就我个人而言，我只是幸运地来到了数学所的宝库，幸运地选择了一个好的课题，把精力集中在这个小领域，形成了一点特色。它的真正价值还有待时间的检验。”“关于这个话题的攻坚战才刚刚开始。我最大的愿望就是年轻人能坚持走我们找到的路，胜利在向他们招手。”