圆和球的问题

国外科学技术的最新发展；《国外技术》2000年第7期第30-32页

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数学证明及其美

以前的数学证明通常简单漂亮，现在更像是一部浩繁的《战争与和平》甚至是一本枯燥的电话簿。人们不禁要问:美丽的数学证明是否已经成为一门失传的艺术？欧几里得因其简单、优美、充满智慧的数学论证而受到世人的敬仰。人们惊叹于数学的优雅和数学世界的美好，也乐于理解其证明的正确性。保罗·鄂尔多斯，一个古怪但聪明的数学家，得出结论说上帝有一本关于所有最好的数学证明的书。在他看来，数学家的工作就是越过上帝的肩膀偷看书本，把上帝的智慧传递给人类。但现在看来，这种简单而优雅的方法只是几种数学证明中的一种。纵观这几年著名的数学证明，并不是希腊人所熟知的那种短小精悍的证明，而是极其庞大的，有几百页甚至几千页。上帝创造的美到底怎么了？这些巨大的证明真的有必要吗？是因为数学家太笨，找不到神之书上写的短小巧妙的证明方法吗？其中一个答案是，一个简短的数学阐述可能没有一个简短的证明。奥地利出生的数学家库尔特·哥德尔(Kurt Godel)从原理上证明了一些简短的数学陈述需要一个很长的证明，但他不知道哪些数学陈述是这样，其他的也是这样。在过去的几年里，一些重要的数学证明冗长而复杂，比如费马大定理，是由来自美国普林斯顿大学的数学家安德鲁·怀尔斯在1996年证明的。为了解决这个问题，怀尔斯运用了大量的数学方法来拆解问题。结果证明一点也不枯燥繁琐，反而丰富美观。虽然不像《神之书》里的证明那么短，但也像《战争与和平》。费马大定理的形成过程值得一提。1637年，有着非凡数学天赋的法国律师皮耶·德·费玛在他的个人著作《丢番图算术》中阐述了一个重要的定理，这个定理与毕达哥拉斯定理a2+b2=c2(其中A，B，C是整数)有关，满足这个方程的A，B，C有很多不同的值。费马试图使三次或四次方程成立，但他找不到一个例子。换句话说，他找不到使an+bn=cn的方程，其中a，b，c为整数(a，b，c≠0)，n为大于2的整数。这是否意味着这个方程不能存在？费马在他的书的页边空白处写道，他想到了一个奇妙的方法来证明毕达哥拉斯定理只适用于二次，但他也注意到“地方太小，写不下这个证明”。这样的证明方法虽然不能写在书边上，但肯定简洁美观，能在“神书”中占有一席之地。然而，三个半世纪以来，一个又一个数学家试图找到它，但都失败了。然而，在20世纪80年代末，来自普林斯顿大学的英国数学家安德鲁·怀尔斯开始着手解决这个问题。他独自在自己的阁楼里工作，只告诉了几个发誓为他保密的同事。怀尔斯用的方法和前人一样，假设A，B，C，N满足方程存在，然后希望由代数引出矛盾。他的出发点源于德国埃森大学的格哈德·弗雷(Gerhard Frey)的想法。弗雷认为费马“不可能存在”方程的三个根A、B、C可以组成一个代表一条椭圆曲线的三次方程。这是一个聪明的办法，因为数学家研究椭圆曲线已经一个多世纪了，掌握了很多处理椭圆曲线的方法。当时数学家已经意识到费马方程的根生成的椭圆曲线具有奇特的特征，这与另一个决定椭圆曲线性质的猜想谷山-岛原-韦尔(Taniyama-Shimara-Weil)相矛盾。费马方程的根会否定谷山-岛原-韦尔猜想，也就是说如果该猜想被证明是正确的，费马方程的根就不可能存在。所以怀尔斯用了7年时间用数论解决了这个问题。虽然他独自工作，但他并不是一个人创造了这个领域，他与椭圆曲线领域的最新进展保持着密切的联系。没有众多数论专家创造的一系列新方法，他可能不会成功。即便如此，他自己的贡献也是巨大的，他把这个领域推向了一个全新的时代。怀尔斯的证明目前已经出版，长达100多页。当然，写在书边上太长了。怀尔斯发明的证明费马大定理的方法极其丰富和美好。他的思想开创了一个全新的数论时代。当然，他的证明很长，具体内容只有这方面的专家才能理解。还有第三种数学证明方法，是近30年才出现的。这是计算机辅助证明。就像快餐店提供单调重复的三明治。它可以做这个工作，但是结果一点也不漂亮。计算机辅助证明的工作就是把通常巧妙的解决难题的方法变成庞大的、程序性的计算，然后交给计算机。如果计算机说“是”，证明就完成了。使用这种证明方法的例子出现在去年。在1611中，约翰尼斯·开普勒在研究把球堆在一起的方法时，得出了一个结论:在给定的空间里，最有效的把最多数量的球放进去的方法是水果商堆橘子的方法。先将一层堆叠成蜂巢状，再在上面堆叠相同的一层，但位于第一层的凹陷处。这种堆叠方式也出现在很多晶体中，物理学家称之为面心立方晶格。开普勒的结论是“显而易见”的，但这么想的人自然缺乏敏锐的判断力。比如当时甚至没有证明最有效的堆码方式包括水铺。虽然水果商把商品层层摆放，但其实不必。即使是这个问题的二维版本，即在平面上铺设相同大小的圆的最有效方法是蜂窝铺设，也是直到1947年才被匈牙利数学家拉斯洛·费杰斯·托特证明的。大约10年前，加州大学的吴义兴宣布他已经证明了这个问题的三维版本。这个证明长达200页，但其中的推理缺乏连贯性，渐渐地其他数学家拒绝接受这个证明。去年，密歇根大学的托马斯·黑尔斯(Thomas Hales)公布了一份计算机辅助证明，长达数百页，并附有大量计算结果。这个证明首先发表在他的网站上，现在正在接受同行的审查，以期在数学期刊上发表。Hales的方法是记录下所有可能的球粒堆积方式，然后证明如果堆积方式不符合面心立方晶格结构，可以通过轻微调整进行压缩。结论是唯一不可压缩的堆积法，也就是最有效的填充空间的方法，就是猜测的那种。托特也是这样处理二维问题的。他列出了大约50种可能的摆放方式，而黑尔斯要处理数千种。计算机需要3G内存来证明这些不同的方法。使用这种计算机方法的最早的数学证明之一是四色原理。大约在150年前，英国数学家弗朗西斯·格思里克(Francis Guthric)提出，是否所有包含任何形状国家的地图都可以用四种颜色着色，这样可以使相邻的国家有不同的颜色。这个原理听起来很简单，但是证明起来却异常困难。1976年，美国数学家肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯发现了证明方法。通过反复实验和人工计算，他们首先提出了近2000种国家组合，然后通过计算机证明这些组合是“必然的”，即任何可能的地图中国家的排列至少是这些组合中的一种。下一步是证明这些组合中的任何一个都是“可约的”，即每个组合的一部分都可以被约化和去除，成为一个简单的地图。严格来说，还原必须保证如果还原后的简单地图可以使用四种颜色，那么原图也可以。现在想象一下最简单的需要五种以上颜色的地图，也就是所谓的“最小违例地图”。像所有地图一样，这张地图必须包含2000种可简化组合中的至少一种。通过减少包含的组合，可以得到一个更简单的贴图，它肯定只需要四种颜色，也就是说最小违反贴图只需要四种颜色，而避免这种矛盾的唯一可能就是最小违反贴图不存在。其实在证明的过程中使用了更多的方法，而不仅仅是缩图。为每种组合寻找相应的归约方法需要大量的计算机运算，用当时最快的计算机需要2000个小时，而用现在的计算机只需要1个小时，最后由Appel和Haken得出答案。计算机辅助证明带来了风格、创新、方法、理念等一系列问题。有些哲学家认为，在传统意义上，计算机辅助证明得到的东西根本不是证明。还有人指出，这种海量的、程序化的工作是计算机的特长，却是人类的弱点。如果计算机和人同时进行大规模计算后得出不同的结论，赌注应该在计算机上。计算机进行的任何计算都是平凡而单调的，只有当人们深入其中，才会有价值。如果说怀尔斯对费马大定理的证明像《战争与和平》一样，内涵丰富，充满思想，那么计算机证明更像一本电话簿，没有人愿意看这样的东西。事实上，像Appel-Haken和Hales这样的证明，从文献阅读的角度来看，都太短了，只用于审计。然而，这些证明并不缺乏优雅和深度。毕竟要有足够的智慧让计算机能够解决难题，在证明了猜想的正确性之后，或许可以尝试找到更优雅的证明方法。这听起来很奇怪，但这往往证明，知道事情的正确性是很容易的。有可能在数学家中听到这样的对话，有人会开玩笑地提出，我们可以在一个重要的问题中散布一个已经解决的谎言，让别人更容易找到证明方法。这是否意味着数学家可以逐渐发现开普勒、费马等定理的上帝证明？如果是这样，当然是好的，但可能不尽如人意。也许在上帝之书里没有这些定理的证明。没有理由认为陈述一个简单的定理也一定有简单的证明。人们都知道，很多极难做的事情，说起来都很简单，比如“登月”、“治疗癌症”，数学也不例外。专家们往往对某些人提出的复杂冗长的证明或其他简化证明方法的错误印象深刻。虽然他们经常是对的，但他们的判断偶尔会因为知道得太多而受到影响。就像有一座高山，蜿蜒的山路是到达顶峰的自然途径。但如果这高山上全是冰川和沟壑，这条路可能会异常漫长和危险。也许这似乎是唯一可以选择的路，还有无法攀登的悬崖。然而，发明一架直升飞机是可能的，这样你就可以快速而容易地到达顶峰。因此，有些人会偶然发现类似的方法来证明专家是错的。请记住哥德尔的理论和他发现的一些数学证明一定很长。也许四色定理和费马大定理就是例子。就四色定理而言，通过计算可以证明，如果用现在的方法，即找出一系列必然的组合，然后用“还原”的方法逐一排除，是不可能有更短的证明的。这就像爬山的时候遇到了冰隙。当然，也不排除出现一种“直升机”。回到费马对其作品的潦草笔记。如果人类能找到的最好的证明只能有这么巨大，那为什么费马要那样注释它呢？当然，他不会在200页的校样里犯一个错误就草草注明“不能写在书边上。”这是另一个理论。剑桥大学数学家戈弗雷·哈代(Godfrey Hardy)是无神论者，但他不是传统的宗教信徒。哈代相信上帝的数学证明是给他看的，所以当他进行一次自己讨厌的乘船旅行时，他会发一封电报:“黎曼猜想刚刚被证明，但不可能在船上写下证明过程。”素数复分析的黎曼猜想一直是数学领域最重要的未解难题。哈代相信上帝不会让船沉，因为如果船沉了，他会得到死后可能找到证明方法的名声。也许费马也有同样的想法，也可能他只是想出名。如果是这样，他的目的就达到了。

相信数学，或者相信计算机

作者:瑞| 2004年5月-14

如果你面前有一堆橘子，如何摆放最节省空间？

不要以为这只是困扰水果店老板的日常烦恼之一。虽然任何人都可以凭经验或直觉判断，但将上层的橙子交替放在下层橙子的相邻凹槽中，显然比直接叠放更合理、更节省空间。但是，谁能从数学上证明真的没有更合理的方法呢？

事实上，在400多年的时间里，由沃特·罗利爵士首先提出的“开普勒猜想”这个问题，难倒了很多数学家。虽然最新一期的《数学年鉴》在1998发表了匹兹堡大学数学教授托马斯·希尔斯(Thomas Hiles)撰写的证明论文，这个权威的数学界承认一个难题有通常的最终解形式，但这一次似乎引起了更大的争论。争论的中心是，你能相信一台计算机的计算结果吗？

说起开普勒猜想的历史，要追溯到1590年的某一天。在出海前为他的舰队准备物资时，沃特·罗利爵士突然想到:我们能根据一堆排列整齐的炮弹的高度计算出炮弹的准确数量吗？他的助手、数学家托马斯·哈里奥特几乎毫不费力地给出了答案。然而，当更深入地思考这个问题时，哈丽特发现其中的奥秘并不那么简单。水手常用的排列方式是最节省空间的方式吗？如何放置球体，使它们占据最少的空间？哈丽雅特构想了各种堆积模型，并在此基础上发展了自己的原子理论。

几年后，在给著名天文学家约翰尼斯·开普勒的一封信中，哈丽特提到了这个问题。经过一系列的实验，开普勒在161出版的小册子《新年的礼物——论六种结果的雪花》中，对问题的正确答案提出了自己的猜想:当同样大小的球体以“面心晶体”的形式存在时——球体的中心位于一个立方体各边的中心，第一层放在一个六边形中，开普勒虽然没有证明自己的猜想，但他的影响使这个问题被命名为开普勒猜想。

开普勒猜想提出后，许多数学家试图证明它。但直到200多年后，另一位伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯才在1831部分证明了开普勒猜想，即开普勒猜想对于规则形状是正确的。但之后，开普勒猜想的证明又停止了。在1900年的国际数学家大会上，数学家大卫·希尔伯特将其列为著名的“23个未解决的数学问题”之一。

1953年，匈牙利数学家拉斯洛·费杰斯·托特(Laszlo Fejes Toth)指出，开普勒猜想的证明可以简化为有限的计算次数，无论形状是规则的还是不规则的。这意味着，理论上，穷尽所有可能的证明是可行的。而一台足够快的计算机可以把这个想法变成现实。

从1992开始，当时在密歇根大学的Hiles开始和他的学生合作，用计算机辅助证明开普勒猜想。经过6年的运营，Hiles在1998的8月份宣布完成证书。他所有的证明包括250页的笔记，3GB的计算机程序，数据和计算结果。

虽然Hiles的证明是如此不同寻常，但数学年鉴同意发表这篇论文。为此，《数学年鉴》还专门聘请了匈牙利科学院的加博尔·费杰斯托斯(Gabor Fejestoth)，他是拉斯洛·费杰斯托斯的儿子，担任评审委员会的负责人。

开普勒猜想并不是第一个被计算机证明的著名数学问题。1976年，伊利诺伊大学的两位数学家利用计算机证明了著名的四色定理，即任何地图只需要使用四种颜色，就可以保证两个相邻区域的颜色不会相同。这个证明发表后，数学家不断从中发现一些错误。虽然每次发现一个错误，研究人员都能很快纠正这些错误，但这给很多数学家留下了非常不好的印象。

为了避免重蹈证明四色定理的覆辙，《数学年鉴》的工作人员决定对开普勒猜想的证明进行彻底而谨慎的检验。然而，在对海量数据进行了近6年的验证后，去年，评审团不情愿地宣布放弃全面验证开普勒猜想结果的计划。他们验证过的部分都是绝对正确的，但是几乎不可能把所有的数据都检查清楚。

无奈之下，《数学年鉴》想出了一个变通的办法。他们打算在发表的论文前加上一个免责声明:这个证书的大部分，但不是全部，已经被验证。然而，这种想法遭到了许多数学家的批评。最后，在咨询了另一位数学家之后，《数学年鉴》做出了所罗门式的决定。把所有的论文放一半，发表已经用传统方法验证过的证明，舍弃计算机运算的数据。

事实上，围绕开普勒猜想的一系列争论，很大程度上是是否应该允许学生在数学课堂上使用计算器的高端版本，但争论的双方都成为了职业数学家，价值判断的选择更加困难。问题的焦点在于，如果Hiles的证明被接受，就意味着计算机在执行计算时被假定为完全正确，不会有微小的程序错误。而是否真的是这样，人类很难凭自己的能力去判断。正如普林斯顿大学数学教授约翰·康威(John Conway)在接受《纽约时报》采访时所说，“我不喜欢它们(计算机证明)，因为你感觉自己不知道发生了什么。”

这对于一直奉行真理可以通过逻辑和运算来判断并被清晰简洁地证明为“好数学”原则的数学界来说，无疑是一个非常难以接受的结果。更何况电脑的操作也不是无懈可击的。英特尔公司一直使用校准工具软件来检查其计算机芯片的算法，希望避免1994年奔腾芯片出现的数据操作错误再次发生。

然而，一些乐观的数学家指出，既然最好的计算机能够在比赛中击败世界象棋冠军，那么未来的计算机也应该能够解决那些难倒最伟大的数学家的数学问题。但似乎这并不是问题的关键。开普勒说数学是唯一好的形而上学。用计算机以如此玄学的方式回答他的猜想，总有些讽刺意味。