浅析层次分析法
2.构建成对比较矩阵。从层次结构模型的第二层开始，对于同一层中从属于(或影响)上一层各因素的因素，采用成对比较法，比较尺度为1-9，构造成对比较矩阵，直到最底层。
3.计算权重向量并进行一致性检查。对于每个两两比较矩阵，计算最大特征根和对应的特征向量，用一致性指数、随机一致性指数和一致性比率进行一致性检验。如果测试通过，特征向量(归一化的)就是权重向量；如果失败，则需要将其重构为一个配对比较矩阵。
4.计算组合权重向量，做组合一致性检验。计算最低层对目标的组合权重向量，根据公式做组合一致性检验。如果测试通过，则可以根据组合权重向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或者重构一致性比率较大的配对判断矩阵。
对问题所包含的因素进行分层:最高层(解决问题的目的)；中间层(为实现总体目标而采取的措施，必须考虑的标准等。).也可称为策略层、约束层、准则层等。);最底层(解决问题的各种措施和方案等。).把各种要考虑的因素放在一个适当的水平。这些因素之间的关系通过层次结构图清楚地表达出来。
[示例1]购物模式
当顾客购买一台电视机时，他将八项标准作为市场上销售的四种电视机的评价依据，并建立如下层次分析法模型:
[例2]选拔干部的模式
根据品德、才能、资历、年龄、群众关系这五个选拔干部的标准，对三个干部人选y1、y2、y3形成如下层次分析模型。根据选拔干部的五个标准:品德、才能、资历、年龄、群众关系，形成以下层次分析模型。
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构建成对比较矩阵
在比较第I个元素和第J个元素相对于上一级某一因素的重要性时，用定量的相对权重aij来描述。设* * *有n个元素参与比较，称为成对比较矩阵。
两两比较矩阵中aij的值可以参考Satty的建议，按照以下尺度赋值。Aij取1-9及其倒数之间的值。
Aij = 1，元素I和元素J对上一级的因素具有相同的重要性；
aij = 3，元素I比元素j略重要；
aij = 5，元素I比元素j重要；
aij = 7，元素I比元素J重要得多；
aij = 9，元素I比元素J重要；
Aij = 2n，n=1，2，3，4，元素I和J的重要性在Aij = 2n之间？在1和aij = 2n+1之间；
，n=1，2，...，9，当且仅当aji = n。
两两比较矩阵的特征是:(注:当i=j时，aij = 1)
案例二，选拔干部考虑五个条件:品德x1，才能x2，资历x3，年龄x4，群众关系x5。决策者使用成对比较方法得到成对比较矩阵如下:
A14 = 5表示道德对年龄的重要性之比为5，即决策者认为道德比年龄更重要。
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进行一致性测试
从理论上得出结论:如果A是完全一致的两两比较矩阵，则应该有
但实际上，在构造两两比较矩阵时，不可能满足上述许多方程。因此，成对的比较矩阵必须具有一定的一致性，即允许成对的比较矩阵具有一定程度的不一致性。
从分析可以看出，绝对值最大的特征值等于完全一致配对比较矩阵的维数。两两比较矩阵的一致性要求转化为:绝对值最大的特征值与矩阵维数相差不大的要求。
检查成对比较矩阵A的一致性的步骤如下:
计算并测量成对比较矩阵A(n >；1阶方阵)不一致指数CI:
RI是这样得到的:对于一个固定的n，用机制生成一个比较矩阵A，其中aij是从1，2，…，9，1/2，1/3，…，1/9中随机选取的。这样的a是不一致的，要取足够大的样本。
？
？n
？
？
？1
？
？
？2
？
？
？三
？
？
？四
？
？
？五
？
？
？六
？
？
？七
？
？
？八
？
？
？九
？
？
？印度尼西亚
？
？
？0
？
？
？0
？
？
？0.58
？
？
？0.90
？
？
？1.12
？
？
？1.24
？
？
？1.32
？
？
？1.41
？
？
？1.45
？
注意事项:
从相关数据中找出检验两两比较矩阵A一致性的标准RI:RI称为平均随机一致性指数，它只与矩阵阶数n有关..
根据下式计算成对比较矩阵A的随机一致性比率CR:
判断方法如下:当Cr
例如，对比实施例2的基质
通过计算，发现RI=1.12，
这说明A不是均匀矩阵，但是A具有令人满意的一致性，A的不一致性是可以接受的。
此时A的最大特征值对应的特征向量为U = (-0.8409，-0.4658，-0.0951，-0.1733，-0.1920)。这个向量也是问题所需要的。通常要对向量进行标准化，使其所有分量都大于零，分量之和等于1。归一化后的特征向量变成u = (0.475，0.263，0.051，0.103，0.126) z，这个向量标准化后称为权向量。这里反映出决策者在选拔干部时，把道德条件看得最重，其次是才能、群众关系、年龄因素和资历。每个因素的相对重要性由权重向量u的每个分量确定
求A的特征值，可以用MATLAB语句求A的特征值:[y，d] = EIG (a)，d是配对比较矩阵的特征值，Y的列是对应的特征向量。
在实际中，可以用以下方法计算成对比较矩阵A = (aij)的最大特征值λmax(A)和对应特征向量的近似值。
定义
它可以近似地看作A的最大特征值对应的特征向量。
计算
可以近似看作A的最大特征值，实际中可以用λ来判断矩阵A的一致性。
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分级综合排序和决策
现在要彻底解决例2的问题，就要从Y1，Y2，Y3这三个候选中选择一个最适合上述五个条件的候选。对此，三位候选人y = y1、y2、y3分别在品德(x1)、才能(x2)、资历(x3)、年龄(x4)、群众关系(x5)方面进行了比较。
首先，将三个候选人的美德成对进行比较，得到一个成对比较数组。
经计算，B1的权重向量
ωx 1(Y)= 0
(0.082，0.244，0.674)z
所以B1的不一致是可以接受的。ωx 1(y)可以直接看做每个考生在品德方面的得分。
同样，三位候选人的才能、资历、年龄、群众关系也是成对比较的。
通过计算，相应的权重向量为
可以分别作为每个候选人的才能分、资历分、年龄分、群众关系分。经检查可知，B2、B3、B4、B5的不一致是可以接受的。
最后计算每个候选人的总分。总分y1
根据计算公式，y1的总分ω (y1)实际上是条件分ω x1 (y1)，ω x2 (y1)，...，ω x5 (y1)。用同样的方法，我们可以得到Y2和Y3的分数如下
ωz(y2)= 1
0.243，ωz(y3) = 0.452
？
？
？
？
？0.457
？
？
？0.263
？
？
？0.051
？
？
？0.103
？
？
？0.126
？
？
？总分
？
？
？Y1
？
？
？0.082
？
？
？0.606
？
？
？0.429
？
？
？0.636
？
？
？0.167
？
？
？0.305
？
？
？Y2
？
？
？0.244
？
？
？0.265
？
？
？0.429
？
？
？0.185
？
？
？0.167
？
？
？0.243
？
？
？Y3
？
？
？0.674
？
？
？0.129
？
？
？0.143
？
？
？0.179
？
？
？0.667
？
？
？0.452
？
即排名:Y3 > y 1 & gt；Y2
经过比较，可以得出候选人y3为第一干部候选人。
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层次分析法的使用实例
例如，有人打算买一台冰箱。他了解了市面上六种不同型号的冰箱后，在决定买哪个款式的时候，往往不会直接对冰箱进行整体比较，因为有很多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。比如冰箱的容量、制冷水平、价格、型号、耗电量、对外口碑、售后服务等。然后再考虑以上中级标准下各种型号冰箱的优缺点。在这种帮助下，最终做出购买决定。在决策上，六种冰箱对各中间标准的排序一般不一致。所以决策者首先要估计这七个标准的重要性并给出一个排名，然后找出六种冰箱对于每个标准的排名权重，最后综合这些信息数据得出对于总体目标的排名权重，也就是买冰箱。有了这个权重向量，决策就容易了。
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层次分析法的应用程序
使用层次分析法进行决策时，需要经历以下四个步骤:
1.建立系统的层次结构；
2、构造两两比较判断矩阵；(正互反矩阵)
3.对于某个标准，计算每个备选元素的权重；
4.计算当前层元素相对于总体目标的排序权重。
5.进行一致性检查。
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应用层次分析法应注意的问题
如果选取的要素不合理、含义不清，或者要素之间的关系不正确，AHP法的结果质量就会降低，甚至AHP法的决策也会失败。
为了保证层级结构的合理性，我们需要把握以下原则:
1，分解简化问题时抓住主要因素，不遗漏太多；
2.注意被比较元素之间的强弱关系。差异太大的元素无法在同一级别进行比较。
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层次分析法的应用实例
1.建立层级结构；
2、构造两两比较判断矩阵；(正互反矩阵)
对指标进行成对比较后，按照9百分位比例排列评价指标的相对优劣，依次构造评价指标的判断矩阵。
3.对于某个标准，计算每个备选元素的权重；
计算判断矩阵权重有两种方法，即几何平均法(求根法)和典范列平均法(求和法)。
(1)几何平均法(根法)
计算判断矩阵A的每行的每个元素mi的乘积；
计算mi的n次方根；
归一化向量；
该向量是所需的权重向量。
(2)规范列平均法(总和法)
计算判断矩阵A的每行的每个元素mi的和；
对的每一行中的元素之和进行规范化；
该向量是所需的权重向量。
计算矩阵a的最大特征值？最大
对于任意i=1，2，…，n，其中是矢量AW的第I个元素。
(4)一致性检验
构造判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算某准则层中各元素的相对权重，并进行一致性检查。虽然构造判断矩阵A时不要求判断的一致性，但也不允许偏离判断的一致性太多。因此，有必要检查判断矩阵a的一致性。