求柯西不等式的最大值和最小值

柯西-施瓦津不等式是数学中的一个基本不等式，可以用来求解向量空间中两个向量的内积的最大值和最小值。

设向量$a$和$b$是由$n$个实数组成的向量，那么它们的内积是:

$$a\cdotb=\sum_{i=1}^na_ib_i$$

柯西不等式表示为:

$$(a\cdotb)^2\leq(a\cdota)(b\cdotb)$$

这个不等式的条件是向量$a$和$b$不都是零向量，并且向量$a$和$b$是线性相关的。

柯西不等式在两种情况下可以用来推导最大值和最小值:

1.当向量$a$和$b$的方向相同时，其内积最大，最大值为$(a\cdota)(b\cdotb)$。

2.当向量$a$和$b$的方向相反时，其内积最小，最小值为$-(a\cdota)(b\cdotb)$。

柯西不等式在数学和物理中有着广泛的应用，如线性代数、实变函数等。在求解内积的最大值和最小值时，可以利用柯西不等式来简化求解过程。

柯西简介:

法国数学家柯夏·奥古斯汀·路易(1789-1857)，1838年8月21日出生于巴黎。他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西(Louis Franç ois Cauchy)是法国波旁王朝的官员，一直在法国动荡的政治漩涡中担任公职。由于家庭原因，柯西本人属于支持波旁王朝的正统派，是虔诚的天主教徒。

他的纯数学和应用数学知识相当渊博，许多数学定理和公式都以他的名字命名，如柯西不等式、柯西积分公式等。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉。他一生写了789篇论文和几本书，其中最著名的是《分析教程》(1821年)和《定积分论报告》(1827年)。

但他的创作并非都是高质量的，因此一度被批评为“多产而轻率”，这与数学王子(高斯)是相悖的。据说《法国科学院学报》刚出版的时候，柯西的作品太多，科学院要出很多印刷费用，超出了科学院的预算。所以后来科学院规定，论文最长只能达到四页。柯西更长的论文不得不提交到别处。