一篇关于数学史的短文

自古数学诞生以来，数学家们就一直在追求真理，并取得了辉煌的成就。在数学之外，数学概念及其推论为重要的科学理论提供了本质。

任何事物都包含矛盾，事物内部的矛盾推动事物的发展，数学也不例外。数学是在发现和解决矛盾中发展起来的。数学上对矛盾有一个委婉的说法，叫做悖论。数学悖论造成的更严重的后果是数学危机。所谓数学危机，不过是数学家本着严格探索数学真理的精神，对数学界的一次严厉警告。正是因为这种严厉的警告，才解决了许多悖论，推动了数学的不断发展。

数学史上出现过三次悖论和数学危机。

第一次数学危机发生在古希腊。但当时毕达哥拉斯学派提倡一种哲学观点，叫做“命理学”，认为一切事物和现象都可以归结为整数或整数与整数的比值，称为“数的和谐”。但后来，希帕索斯在证明勾股定理时，发现直角三角形斜边上的高度x是存在的。

1:x=x:2，x=√2，

√2不是整数比。于是“数的和谐”被打破，导致了无理数的出现(无理数这个词一直沿用到今天，虽然不雅，而且已经成为一种习俗)。

第二次危机发生在17世纪，涉及微积分的理论基础，由贝克勒悖论引起。贝克勒指出，在计算公式中

δy/δx

无穷小δx既不算为零，也弃为零，违背了矛盾律。无穷小是零就不能除，不是零就不能弃。这就是著名的“贝克勒悖论”。这导致了数学的混乱，第二次数学危机爆发。人们意识到，虽然微积分是解决许多实际问题的好方法，但它缺乏严谨的理论基础。因此许多数学家为建立微积分的理论基础进行了不懈的努力。法国数学家柯西首先给出了极限的定义，然后建立了连续性、导数、微分、积分等理论。

许多数学家，如笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、柯西、拉格朗日、阿贝尔、康托尔、费马、伯努利家族、欧拉、拉普拉斯、希尔伯特等，为数学的发展奠定了数学基础，取得了辉煌的成就。

康托尔建立的集合论已经成为数学的基础。然而，英国数学家罗素提出了一个著名的“理发师悖论”——一个小镇的理发师放出豪言:“我帮助并且只帮助城市里所有不刮胡子的人。”但问题是:理发师该不该自己刮胡子？如果他自己刮胡子，就不要按照他冠冕堂皇的话“只给不刮自己的人刮”；但他不刮自己，就该刮自己，就像他说的“把城里不刮自己的人都刮了。”巴伯悖论是罗素用来比喻罗素悖论的流行说法，由伯特兰·罗素在1901提出。罗素悖论的出现是由于朴素集合论中对元素的无限制定义。因为当时集合论已经成为数学理论的基础，这个悖论的出现直接导致了第三次数学危机，也引发了很多数学家对这个问题的补救，最终形成了现在的公理化集合论。同时，罗素悖论的出现促使数学家们认识到数学基础公理化的必要性。

于是数学家们做了大量的工作致力于公共物理和化学，到1930，建立了三个数学学派；直觉主义、逻辑主义和形式主义虽然仍有缺陷，但毕竟为数学的发展做出了巨大贡献。

三个学派中，形式主义学派似乎主要由希尔伯特建立，略胜一筹。它曾经声称已经解决了“兼容性和完整性”的问题。然而，在1931中，奥地利数学家哥德尔(后来移居美国)证明了两个不完全性定理，“揭示了形式主义方法不可避免的局限性。”哥德尔的不完全性定理是对排中律的否定，但是“如果，

总之，虽然数学取得了辉煌的成就。但是还有很多问题，根本的问题没有解决，比如数学的定义，数的定义，需要人们投身于数学研究，尤其是数学基础的研究，希望有意志的人投身于此。

正因如此，郭敦清研究数学40年，撰写了《哥德巴赫猜想证明》、《数学纲领——微观数学与宏观数学》、《欧几里得几何平行问题解法》、《论归谬法——活的普遍公理》等论文，已于2008-2009年在中国郭敦清专栏发表。

数学计划的第一章——微观数学和宏观数学也在百度发表。哥德巴赫猜想证明收录于百度快照。