磁学小论文

胡，刘

(重庆邮电大学光电工程学院，重庆400065)

摘要:介绍了电磁计算方法的研究进展和现状，介绍了几种有代表性的算法，比较了它们的优缺点，包括矩量法、有限元法、时域有限差分法和复射线法。

关键词:矩量法；有限元法；时域有限差分法；复射线法

1报价

1864年，麦克斯韦在前人理论(高斯定律、安培定律、法拉第定律和无自由磁极)和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，用数学模型揭示了自然界所有宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的麦克斯韦方程。在11可分变量坐标系中求解麦克斯韦方程组或其退化形式，最终得到解析解。这种方法可以得到问题的精确解，效率比较高，但是适用范围太窄，只能解决简单的有规则边界的问题。对于不规则形状或任意形状的边界，需要很高的数学技巧，甚至无法得到解析解。自20世纪60年代以来，随着计算机技术的发展，一些电磁场数值计算方法得到了发展和广泛应用。与经典电磁理论相比，数值方法受边界形状的约束要小得多，可以解决各种复杂的问题。然而，各种数值计算方法各有利弊。单一的方法往往很难解决一个复杂的问题，往往需要结合各种方法取长补短。因此，人们越来越重视混合方法。

本文综述了国内外计算电磁学的发展，并对常用的电磁计算方法进行了分类。

2电磁场数值方法的分类

电磁问题的数值解可以分为两类:时域和频域。频域技术主要包括矩量法、有限差分法等。频域技术发展较早，也比较成熟。时域法主要是时域差分技术。时域方法的引入是基于计算效率的考虑，有些问题在时域讨论时需要的计算量较小。比如，频域法在求解目标对脉冲的早期响应时，必须在较大的带宽内进行多次采样计算，然后做傅里叶逆变换才能得到解，计算精度受采样点数的影响。如果非线性部分随时间变化，时域法更直接。还有一些高频方法，如GTD、UTD和射线理论。

从求解方程的形式来看，可以分为积分方程法(IE)和微分方程法(DE)。与DE相比，IE具有以下特点:IE法的解区域维数比DE法少一维，误差限于解区域边界，因此精度高；IE方法适用于求解无限域问题，而DE方法此时会遇到网格截断问题。IE方法产生的矩阵是满的，阶小，而DE方法产生的矩阵是稀疏的，阶大。IE方法很难处理非均匀、非线性、时变的介质问题，DE方法可以直接用于这类问题[1]。

3几种典型方法的介绍

有限元法于20世纪40年代提出，50年代用于飞机设计。后来，这种方法得到发展，并广泛应用于结构分析。目前，有限元法作为一种广泛应用于工程和数学问题的通用方法，非常有名。

有限元法是一种基于变分原理的数值计算方法。确定的解决方案问题是:

应用变分原理，将所需解的边值问题转化为相应的变分问题。通过对区域D的划分和插值，将变分问题离散化为普通多元函数的极值问题，进而得到一组多元代数方程组。通过求解代数方程组，可以得到所需边值问题的数值解。一般来说，它经过以下步骤:

①给出了所要求解的边值问题对应的泛函及其变分问题。

②划分D域，选择相应的插值函数。

③将变分问题离散化为多元函数的极值问题，得到如下一组代数方程组:

其中:Kij是系数(刚度)矩阵；Xi是离散点的插值。

④选择适当的代数解(2)可以得到所要求解的边值问题的数值解Xi (I = 1，2，…，n)。

(2)力矩法

许多电磁问题的分析归结为一个算子方程[2]:

L (f) = g (3)其中:L为线性算子，F为未知场或其他响应，G为已知源或激发。

一般来说，这个方程是一个矢量方程(二维或三维)。如果F可以用方程求解，那就是精确的解析解。在大多数情况下，不能得到F的解析形式，只能用数值方法预测。设f在L的定义域上展开成某个基本函数系f1，f2，f3，…，fn的线性组合；

其中:an是展开系数，fn是展开函数或基函数。

对于精确解，方程(2)的光滑性是无穷项的和，并形成一组完整的基函数。对于近似解，将方程(2)带入方程(1)，然后应用算子L的线性，得到:

m=1，2，3，…

这个方程组可以写成矩阵形式f来求解f，矩量法就是这样一种将算子方程转化为矩阵方程的离散方法。

在电磁散射问题中，散射体的特征尺度与波长的比值是一个非常重要的参数。他决定了应用矩量法的具体方式。如果目标的特征尺度可以与波长相比，则可以使用一般的矩方法。如果目标很大，特征尺度包含的范围很大，那么就需要选择合适的离散方法和离散基函数。受计算机内存和计算速度的影响，用矩量法求解一些二维和三维问题是非常困难的，因为计算内存量通常与N2或N3 (N为离散点数)成正比，离散化后的病态矩阵也很难求解。这时候就需要更高的数学技巧，比如利用小波展开，选择合适的小波基函数来降维[3]。

(3)时域有限差分法

时域有限差分法(FDTD)是一种电磁场的时域计算方法。传统上，电磁场的计算主要在频率域进行。多年来，时域计算方法越来越受到重视。他在许多方面表现出独特的优势，特别是在解决与非均匀介质、任意形状和复杂结构的散射体以及辐射系统有关的电磁问题方面。FDTD方法直接求解依赖于时间变量的麦克斯韦旋度方程，利用具有二阶精度的中心差分近似，将旋度方程中的微分算子直接转化为差分形式，从而实现对一定体积和一段时间内连续电磁场的数据采样和压缩。电场和磁场分量在空间上交叉放置，保证了介质边界切向场分量的连续性条件自然满足。在笛卡尔坐标系中，电场和磁场分量在网格单元中的位置是每个磁场分量被四个电场分量包围，反之亦然。

这种电磁场的空间放置方式符合法拉第定律和安培定律的自然几何结构。因此，FDTD算法是对数据存储空间中连续的实际电磁波传播过程的数字模拟。但是，每个网格点上每个场分量的新值仅取决于该点在同一时间步的值以及该点周围其他场在前半个时间步的值。这就是电磁场的感应原理。这些关系构成了FDTD方法的基本公式。通过逐步计算模拟区域内的网格点，在执行适当数量的时间步长后，可以得到所需的结果。

在上述算法中，时间增量δt和空间增量δx、δy、δz不是相互独立的，它们的值必须满足一定的关系，以避免数值不稳定。这种不稳定性表现为在求解显式差分方程时，随着时间步长的延续，67的无限增加。为了确保数值稳定性，必须满足数值稳定性条件:

其中:(对于非均匀区域，应选择c的最大值)[4]。

用差分法对麦克斯韦方程进行数值计算，也会引起模拟波模在网格中的弥散，即数字波模在FDTD网格中的传播速度会随着波长、在网格中的传播方向和离散化而变化。这种色散会导致非物理原因引起的脉冲波形畸变、人为各向异性和虚拟衍射，因此必须考虑数值色散。如果在模拟空间中使用不同尺寸或不同介质区域的网格，网格尺寸与波长的比值将是位置的函数，在不同网格或介质的界面上会发生非物理衍射和反射，这也要进行定量研究，以保证FDTD算法的精度。在开问题中，电磁场会占据一个无限的空间，而由于计算机内存总是有限的，只能模拟有限的空间，所以差分网格会在某处被截断，这就要求波在网格截断处不会有明显的反射，这样对外传播的波就会像在无限空间中传播一样。这是为了在截断处设置吸收边界条件，使得传播到截断处的波被边界吸收而不反射。当然，完全做到无反射是不可能的。目前已经创建的一些吸收边界条件可以满足精度的要求，比如Mur导出的吸收边界条件。

(4)复射线法

复射线是一种求解波场传播和散射问题的高频近似方法。他根据几何光学理论和几何衍射理论的分析方法和计算公式，在解析延拓的复空间中求解复射线轨迹和场的振幅和相位，从而直接得到局部非均匀波(落波)的传播和散射规律[5]。复射线法是复射线追踪、复射线傍轴近似、复射线展开、复射线衍射等一系列处理方法的总称。其* * *特点是:通过将光线参考点的坐标推广到复空间，建立了简单统一的实空间光线束分析模型；通过费马原理及其推广，利用基于复光线追迹或复光线傍轴近似的处理技术，构建了光线光学框架下鞍点场的有效描述方法。比如复射线追踪法，直接将射线光学中使用的射线追踪法和场强计算公式推广到复空间，利用推广的复费马原理搜索复射线，从而找到复射线轨迹和复射线场。这种方法的特点是能够有效地描述基于光线光学方法的光束在空间中的传输，为分析光束传输提供了一种简单的方法。它的缺点是必须对每个给定的观测点搜索一个二维或四维的复射线轨迹，这是一个非常耗时的计算机迭代过程。

4几种方法的比较和进展

有限元法移植到电磁工程领域是上世纪六七十年代的事情，比较新颖。有限元法的优点是适用于边界形状或边界条件复杂、介质复杂的定解问题。该方法的各个环节可以标准化，可以得到通用的计算程序，计算精度高。然而，这种方法的计算程序复杂而冗长。由于是区域解法，元素和节点数量多，导致初始数据复杂，最终得到的方程组元素数量大，计算时间长，需要计算机本身的存储。对于电磁学中的许多问题，有限元产生条带(如果节点编号正确)和稀疏矩阵(许多矩阵元素为0)。但是有限元法本身只能解决开域问题。有限元数值分析的第一步是对目标进行离散。多年来人们一直在研究这个问题，试图找到一种有效方便的离散化方法，但是由于电磁场的特殊性，这个问题一直没有得到很好的解决。问题的关键在于，一方面，一般的细分方法难以适用于复杂结构；另一方面，由于细分的密度与最终形成的系数矩阵的存储量密切相关，人们采用了许多方法来减少存储量，如多重网格法，但这些方法都难以实现[6]。

网格生成和加密是有限元方法发展的瓶颈之一，自适应网格生成和加密技术可以较好地解决这一问题。自适应网格生成根据求解场分布的结果调整网格密度，在网格的密集区域采用高阶插值函数进一步提高精度，在场分布变化剧烈的区域进行多次加密。

近年来，有限元方法的发展日益加快，在与其他理论的结合上取得了新的进展，取得了可观的应用成果，如自适应网格生成、三维场建模求解、耦合问题、开域问题、处理高磁性材料和具有磁滞饱和非线性特性的介质等。、以及一些尚处于探索阶段的工作，如准问题、人工智能和专家系统在电磁装置优化设计中的应用、基于边缘的有限元方法等。，所有这些使有限元法。

矩量法将连续方程离散成代数方程，既适用于求解微分方程，也适用于求解积分方程。他的求解过程简单，求解步骤统一，应用方便。但他需要一些数学技巧，比如离散化的程度，基函数和权函数的选择，矩阵求解的过程。另外，必须指出的是，矩量法可以达到要求的精度，解析部分简单，计算量很大，即使使用高速大容量的计算机，计算任务也很繁重。矩量法在天线分析和电磁散射中得到了广泛的应用，在天线和天线阵辐射、散射、微带和有耗结构分析、不均匀大地上的传播和人体内的电磁吸收等方面都得到了成功的应用。

FDTD将麦克斯韦旋度方程在时域中的微分表达式替换为有限差分表达式，得到了关于场分量的有限差分表达式。可以针对不同的研究对象在不同的坐标系中建模，所以有这些优点，而且很容易对复杂介质建模。通过一次时域分析和计算，利用傅里叶变换可以得到整个相同频带范围内的频率响应。可在现场实时分布，精确模拟各种辐射源和散射体的辐射特性和散射特性；计算时间短。然而，由于计算机存储能力的限制，FDTD分析法的网格空间不能无限增大，这使得FDTD法不适用于大尺寸和薄结构介质。由于这种薄结构的最小尺寸比FDTD网格尺寸小得多，如果给薄结构装上网格，只能减小网格尺寸，这必然导致计算机存储容量的增加。因此，有必要将FDTD与目前正在大力发展的其他技术相结合，如时域积分方程/FDTD法、FDTD/矩量法等。FDTD有着广泛的应用，如手机辐射、天线、不同建筑结构的电磁干扰特性、微带线等。

复射线技术具有物理模型简单、数学处理方便、计算效率高的特点，在复杂目标散射特性分析等应用领域具有重要的研究价值。典型的处理方法是将入射平面波离散成一组平行波束的复源点场。通过射线追踪、场强计算和特定目标情况下各射线场贡献的叠加，可以得到特定观测位置散射场的高频渐近解。目前，复射线分析方法已成功用于分析飞机天线和天线罩(雷达舱)、翼身结合部和进气道、涂层金属板、角反射器等典型目标的散射特性。复射线技术的计算误差虽然可以通过参数调整来控制，但它是一种高频近似计算方法，由于入射波场的弥散和鞍点贡献的引入，带来了不可避免的计算误差。总的来说，复射线法在目标电磁散射领域仍然具有独特的优势，特别是对于复杂的

杂项目标的处理。

5结论

电磁学的数值计算方法远不止上面提到的，还有边界元法、格林函数法等。在具体问题中，我们应该采用不同的方法，而不是拘泥于这些方法，也可以综合运用，达到最佳效果。

电磁学的数值计算是一门计算艺术，它跨越了许多学科，是数学理论、电磁理论和计算机的有机结合。原则上，从DC到光的宽带范围属于他的研究范围。为了跟上世界科技的发展，应大力研究电磁场的并行计算方法，不断拓展其应用领域，如生物电磁学、复杂介质中的电磁正反问题、医学应用、微波遥感应用、非线性电磁学中的混沌与分岔、微电子学和纳电子学等。

参考

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