斐波那契数列和音乐！！！！！！！！！！！！！！！

事实上，人们对数学与音乐关系的研究和认识可以说是源远流长。这可以追溯到公元前六世纪，毕达哥拉斯学派用比率[1]将数学和音乐联系起来。他们不仅意识到拨弦产生的声音与弦的长度密切相关，还发现了和声与整数的关系。此外，还发现谐波是由同一根长度为整数比的绷紧弦发出的。于是，勾股音阶和调律理论诞生了，并在西方音乐界占据了统治地位。虽然c .托勒密(约100-165)对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改革，得到了理想的纯音阶和相应的调律理论，但直到tempered音阶和相应的调律理论的出现，毕达哥拉斯音阶和调律理论的统治地位才被彻底动摇。在中国，第一个完整的法学理论是三分损益法，大约是在春秋中期的关袁篇和陆春秋篇的旋律。明代的朱载(1536-1610)在他的音乐著作《律新论》中概述了十二平均律的计算方法。这是世界上第一次讨论十二平均律的理论，并精确计算出十二平均律，与今天的十二平均律一模一样。因此，在古代，音乐的发展与数学密切相关。此后，随着数学和音乐的不断发展，人们对二者关系的认识和理解不断加深。理性数学在感觉的音乐中处处闪烁。谱子的写作差远了。

看看钢琴键盘，乐器之王，恰好也和斐波那契数列有关。我们知道，在钢琴键盘上，从一个键C到下一个键C是音乐中的一个八度音(如图1)。其中，* * *包含13键，8个白键，5个黑键，5个黑键分为2组。

如果说钢琴琴键上出现斐波那契数是巧合，那么音乐中出现几何级数绝不是偶然:1，2，3，4，5，6，7，I等音阶都是由几何级数定义的。看图1，很明显这个八度被黑键和白键分成12个半音。而且我们知道下一个C调的振动频率是第一个C调的两倍，因为除以2，所以这个除法是按照几何级数来做的。我们可以很容易的找到分频比X，显然X满足x12= 2。通过解这个方程，我们可以得到X是一个无理数。大概是1106。所以我们说一个半音的音高是那个音的1106倍，整个音的音高是那个音的11062倍。其实吉他里面也有同样的几何级数[3]。

音乐中的数学变换。

数学有平移变换，音乐有平移变换吗？我们可以通过两个音乐小节找到答案[2]。很明显，第一小节的音符可以翻译到第二小节，音乐中也会有翻译，其实就是音乐中的重复。将两个音节移动到直角坐标系中，如图3所示。很明显，这是数学中的翻译。我们知道，作曲家创作音乐作品的目的是将内心的情感表达得淋漓尽致。而内心情感的表达是通过整首音乐来表达，并在主题处升华，音乐的主题有时会以某种形式反复出现。例如，图4是西方音乐的主题，当圣徒进入时[2]。显然，这首音乐的主题可以看作是翻译。

如果我们在五线谱上取一条合适的水平线作为时间轴(横轴X)，取一条垂直于时间轴的直线作为音高轴(纵轴Y)，那么我们就在五线谱上建立了一个时间-音高的平面直角坐标系。因此，图4中的一系列重复或平移可以用函数近似表示，如图5所示，其中X为时间，Y为音高。当然，我们也可以及时投球。

这里需要提到19世纪的一位著名数学家，约瑟夫·傅立叶。正是他的努力，使人们对音乐本质的认识达到了顶峰。他证明了所有的音乐，无论是器乐还是声乐，都可以用数学公式来表达和描述，而且这些数学公式是简单的周期正弦函数的和[1]。

音乐中不仅有平移变换，还有其他变换及其组合，如反射变换等。图6中的两个音节是音乐中的反射变换[2]。如果我们还是从数学的角度来考虑坐标系中的这些音符，那么它们在数学上的表达就是我们常见的反射变换，如图7所示。同样，我们可以用时距直角坐标系中的函数来近似表示这两个音节。

从上面的分析可以看出，一首乐曲可能是对一些基本的曲子进行各种数学变换的结果。

自然音乐中的数学。

音乐和数学在自然界的联系更是神奇，这通常是大家都不知道的。比如蟋蟀的鸣叫，可以说是大自然的音乐，但我不知道蟋蟀鸣叫的频率和温度有很大的关系。我们可以用一个线性函数来表示:c = 4t–160。其中c代表每分钟蟋蟀鸣叫的次数，t代表温度。根据这个公式，只要知道每分钟蟋蟀鸣叫的次数，不用温度计就能知道天气的温度！

理性数学中也有感性的音乐。

从一幅三角函数图像出发，我们只需要对它进行适当的分段，形成适当的分段，在曲线上选取适当的点作为音符的位置，就可以一段一段地进行音乐制作了。这样，我们不仅可以像匈牙利作曲家贝拉·巴托克那样用黄金分割作曲，也可以用纯粹的函数图像作曲。这是数学家约瑟夫·傅立叶的后继工作。也是他工作的逆向过程。其中最典型的代表就是20世纪20年代哥伦比亚大学的数学和音乐教授JosephSchillinger。他曾在坐标纸上描绘出《纽约时报》的一条起伏的商业曲线，然后将曲线的每一个基本段按照恰当和谐的比例和音程转化成音乐。最后，他用乐器演奏了这首曲子。结果他发现原来是一首很美的曲子，和巴赫的音乐作品很像【教授甚至认为所有的音乐杰作都可以按照一套准则转化成数学公式。他的学生乔治·格什温甚至创新创造了一套用数学作曲的系统。据说他用这样的系统创作了著名的歌剧《波吉与贝丝》。

所以我们说，数学在音乐中的出现，音乐在数学中的存在，不是偶然的，而是数学与音乐融合的反映。我们知道，音乐是通过演奏一系列的音符来表现人对自然、对生活的情感或态度，即音乐表达人的感情，反映人自身的内心世界，对客观世界的感受，所以用音乐来描述客观世界。只是以感性或者更个人化的方式进行。数学以理性、抽象的方式描述世界，使人类对世界有客观、科学的认识，并通过一些简单、优美、和谐的公式表达自然。所以可以说，数学和音乐都是用来描述世界的，但最终目的都是为了更好地服务于人类的生存和发展，所以都是用来描述世界的。

既然数学和音乐之间有如此奇妙的联系，为什么不沉浸在梁祝的优美旋律中，或者定居在昆虫唧唧喳喳的田野里，去思考数学和音乐之间的内在联系呢？为什么不让我们满怀信心地在琵琶的铮铮声或激动人心的交响乐中继续探索它们的内在联系呢？

以上，我们提供了一些数学和音乐相关的资料。如何将这些材料“加工”成“数学教育”的内容？我们提出几个问题，供在一线工作的教材编写者和教师思考。

1)这样的材料如何加工渗透到数学教学和教材中？

2)能否将这些材料编成一份“科普报告”，在课外活动中，报告、调查、了解、思考这样一份报告对学生的影响，以及学生对这样一份报告的反应。

/Magazine/BKDD

http://staff . ccss . edu . hk/jckleung/jiao _ Cai/Fibonacci . PPT # 265