求数学建模论文
话题生活中的数学建模
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如何安排钢煤水电从几个供应点到一些需求点的运输？
这个计划能使利润最大化吗？由于体积和重量的限制，如何把各种货物装在一起才能获得最高利润？多项任务分配给部分候选人完成，因为每个人的专长不同，完成任务的收益也不同。如何分配才能使总收益最大化？本文将通过下面的例子讨论通过数学建模解决这些问题的方法。
关键词:最赚钱，0-1变量
一、自来水输送问题
问题A市有A、B、C、D四个居民区，自来水由A、B、C三个水库供给，四个区的日基本生活用水量必须分别为8050102000吨，但由于水源短缺，三个水库只能分别供给60704000吨自来水。由于地域差异，供水公司从水库向各区输水所缴纳的调水管理费不同(见下表)，其他管理费均为每千吨400元。根据公司规定，各区用户按统一标准每千吨950元收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为10，20，30，50千吨。公司应该如何分配供水以获取更多利润？
调水管理费(每千吨人民币)A、B、C、d。
a 160 130 220 170
b 140 130 190 150
c 190 200 230-
问题分析
供水分配是将三个水库的供水分配到四个地区的计划，目标是获得最大利润。根据题目给出的数据，A、B、C三个区的供水量为170千吨，小于四个区270千吨的基本生活用水量和额外用水量之和，所以总能卖出去，盈利。因此，供水公司每天的总收入是950 * (60+70+40)。同样，公司其他日常管理费400 *(60+70+40)= 68000元与送水方案无关。所以利润最大的话，只有调水管理费最小。此外，供水方案自然受到三次供水供水能力和四次供水需求的限制。
模型结构
决策变量分别为A、B、C和三个水库(i=1，2，3)对四个社区(j=1，2，3，4)的供水量。设水库I至J日供水量为西吉。因为鱼的目的地和水库C的目的地之间没有输水管道，也就是X34=0，所以决策变量只有11。
由以上分析可知，问题的目标可以从利润最大化转变为调水管理费最少化，所以有
min = 160 * x 11+13+220 * x 170 * x 14+140 * x 21+130 * x22+190 * x23+65438
约束有两种:一种是水库的供给约束，一种是各区的需求约束。因为供水总是可以出售并获利，所以水库的供水极限可以表示为
x 11+x 12+x 13+x 14 = 60；
x 21+x22+x23+x24 = 70；
x 31+x32+x33 = 40；
考虑到歌曲的基本用水量，需求极限可表示为
80 & lt= x 21+x 11+x 31；
50 & lt= x 12+x22+x32；
10 & lt；= x 13+x23+x33；
20 & lt= x 14+x24；
x 21+x 11+x 31 & lt；=90;
x 12+x22+x32 & lt；=70;
x 13+x23+x33 & lt；=40;
x 14+x24 & lt；=70;
模型求解
将上述公式输入LINGO进行求解，得到如下输出:
在步骤10找到最优解
目标值:25800.00
可变价值降低成本
x 11 0.000000 20.00000
X12 60.00000 0.000000
x 13 0.000000 40.00000
X14 0.0000000 20.00000
X21 50.00000 0.000000
X22 0.0000000 0.0000000
X23 0.0000000 10.00000
X24 20.00000 0.000000
X31 30.00000 0.000000
X32 0.0000000 20.00000
X33 10.00000 0.000000
供水方案为:A水库向B区供水60000吨，A、D水库分别供水5020000吨，C水库分别向A、C供水3010000吨。调水管理费25800元，利润161500-68000-25800元= 67700元。
二。货物装载
问题A喷气发动机油有三个货舱:前货舱、中货舱和后货舱。三个货舱所能装载的最大货物体积是有限的，如下表所示，而且为了保持飞机的平衡，中世纪三个货舱所装载的货物重量必须与其最大允许重量成正比。
前舱、中舱和后舱。
重量限制(吨)15 26 12
体积限制(立方米)8000 9000 6000
本次航班装运的货物有四种，相关信息见下表，最后一栏是装运后获得的利润。如何安排装运才能使货机这次飞行的利润最大化？
重量(吨)空间利润(元每千吨)
商品1 20 480 3500
商品2 18 650 4000
货物3 35 600 3500
商品4 15 390 3000
模型假设中对货物的装运没有其他要求，我们可以做如下假设:
(1)每一种商品都可以分成任意小的尺寸；
(2)每种货物可以随机分布在一个或多个货舱中；
(3)多种商品可混搭，保证无缝隙。
模型结构
决策变量:Xij代表第J个货舱装载的I型货物的重量(吨)，货舱j=1，2，3分别代表前舱、中舱和后舱。
决策目标是利润最大化，也就是说，
max = 3500 *(x 11+x 12+x 13)+4000 *(x 21+x22+x23)+3500 *(x 31+x32+x33)+3000 *(x 41+x42+x43)；
制约因素包括以下四个方面:
(1)装载四种货物的总重量约束，即
x 11+x 12+x 13 & lt；=20;
x 21+x22+x23 & lt；=18;
x 31+x32+x33 & lt；=35;
x 41+x42+x43 & lt；=15;
(2)三个货舱的重量限制，即
x 11+x 21+x 31+x 41 & lt；=15;
x 12+x22+x32+x42 & lt；=26;
x 13+x23+x33+x43 & lt；=12;
(3)三个货舱的空间限制，即
480 * x 11+650 * x 21+600 * x 31+390 * x 41 & lt；=8000;
480 * x 12+650 * x22+600 * x32+390 * x42 & lt；=9000;
480 * x 13+650 * x23+600 * x33+390 * x43 & lt；=6000;
(4)三个货舱装载重量的平衡约束，即
(x 11+x 21+x 31)/15 =(x 12+x22+x32+x42)/26；
(x 12+x22+x32+x42)/26 =(x 13+x23+x33+x43)/12；
模型求解
将上述模型输入LINGO进行求解，可以得到:
在步骤10找到最优解
客观值:155340.1
可变价值降低成本
x 11 0.5055147 0.0000000
X12 6.562500 0.000000
X13 2.286953 0.000000
x 21 1.93439 0.0000000
X22 0.0000000 2526.843
x23 6.065611 0.0000000
x 31 0.000000 0.4547474 e-12
X32 0.0000000 1783.654
X33 1.599359 0.000000
x 41 0.000000 1337.740
X42 15.00000 0.000000
X43 0.0000000 1337.740
其实我们不妨四舍五入最优解，结果是货物1装入前舱1吨，装入中舱7吨，装入后舱2吨；货2装前舱12吨，后舱6吨；货3装2吨进后舱；4号货装在中舱，15吨。最大利润155340元。
三。混合泳接力队的选择
问题A班准备从5名游泳运动员中选4名组成接力队，参加学校的4 * 100米混合泳接力比赛。五位选手四个汉字的百米平均分如下表所示。入选的选手应该如何组建接力队？
甲基乙基丙基丁基戊基
蝴蝶1 ` 0657 ` 2 1 ` 18 1 ` 10 1 ` 07。
仰泳1 ` 15 1 ` 06 1 ` 07 1 ` 14 1 ` 11。
蛙泳1 ` 27 1 ` 06 1 ` 24 1 ` 09 1 ` 23
自由泳58'' 6 53'' 59'' 4 57'' 2 1' 02
问题分析:五个队员中选了四个组成接力队，没有一个人有泳姿，四个人用词不同，所以接力队表现最好。一个容易想到的方法是穷举法，有5种方案组成一个接力对！=120，逐一计算比较，可以找到最优方案。显然，这不是解决这类问题的好办法。随着问题规模的变大，穷举法的计算量将无法接受。
可以用0-1变量来表示接力队成员没有入选，从而建立了这个问题的0-1规划模型，并借助于本县的数学软件求解。
模型的建立和求解
让玩家i=1，2，3，4，5；即蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别是游泳泳姿j=1，2，3，4。玩家I的j中使用的单词100米中最好的成绩是Cij(s)，两者都有
cij I = 1 I = 2 I = 3 I = 4 I = 5
j = 1 66 57.2 78 70 67
j = 2 75 66 67 74 71
J = 3 87 66 84 69 83
J = 4 58 53 59 57.2 62
引入0-1的变量Xij。如果选择选手I参加游泳泳姿J，Xij-=1，否则Xij=0。根据组建接力队的要求，Xij应满足两个约束条件:
第一，任何人最多不能入选四大汉字之一。记住i=1，2，3，4，5应该有∑xij " = 1；
第二，每个笔画必须有一个人，只能选择1人。记住对于A，2，3，4，应该有∑xij = 1；
当选手I被选中游泳泳姿J时，CijXij表示他的成绩，否则CijXij=0。所以接力队的成绩可以表示为∑∑CijXij，这是问题的目标函数。
把题目给的数据带入这个模型，输入LINGO:
min = 66 * x 11+75 * x 12+87 * x 13+58.6 * x 14+57.2 * x 21+66 * x22+66 * x23+53 * x24+78 * x 31+67 * x32+84 * x33+59.4 * x34+70 * x4
使遭受
x 11+x 12+x 13+x 14 & lt；=1;
x 21+x22+x23+x24 & lt；=1;
x 31+x32+x33+x34 & lt；=1;
x 41+x42+x43+x44 & lt；=1;
x 11+x 21+x 31+x 41+x 51 = 1；
x 12+x22+x32+x42+x52 = 1；
x 13+x23+x33+x43+X53 = 1；
x 14+x24+x34+x44+X54 = 1；
@ bin(x 11)；@ bin(x 12)；@ bin(x 13)；@ bin(x 14)；@ bin(x 21)；@ bin(X22)；@ bin(X23)；@ bin(X24)；@ bin(x 31)；@ bin(X32)；@ bin(X33)；@ bin(X34)；@ bin(x 41)；@ bin(X42)；@ bin(X43)；@ bin(X44)；@ bin(x 51)；@ bin(X52)；@ bin(X53)；@ bin(X54)；
获得以下结果
在步骤12找到最优解
目标值:251.8000
分支计数:0
可变价值降低成本
x 11 0.000000 66.00000
X12 0.0000000 75.00000
X13 0.0000000 87.00000
x 14 1.000000 58.60000
x 21 1.000000 57.20000
X22 0.0000000 66.00000
X23 0.0000000 66.00000
X24 0.0000000 53.00000
x 31 0.000000 78.00000
X32 1.000000 67.00000
X33 0.0000000 84.00000
X34 0.0000000 59.40000
x 41 0.000000 70.00000
X42 0.0000000 74.00000
X43 1.000000 69.00000
X44 0.0000000 57.20000
x 51 0.000000 67.00000
X52 0.0000000 71.00000
X53 0.0000000 83.00000
X54 0.0000000 62.00000
也就是说会选出A、B、C、D四个人分别参加自由泳、蝶泳、仰泳、蛙泳的比赛。
参考
数学模型(第三版)姜启元高等教育出版社。