费马点发现的历史背景
费马一生没有接受过专门的数学教育，数学研究只是业余爱好。然而，在17世纪的法国，没有一个数学家能与之匹敌:他是解析几何的发明者之一；对微积分诞生的贡献仅次于牛顿，莱布尼茨，概率论的主要创始人，17世纪继承数论世界的人。此外，费马还对物理学做出了重要贡献。数学大师费马是17世纪法国最伟大的数学家。尤其是他的费马大定理，让世界上的智者困惑了358年。
例:有A、B、C三个村，中间要建一个供水站，把水送到三地。现在，需要确定供水站的位置，以最小化所需管道的总长度？这个问题通过数学模型抽象如下:
在△ ABC中确定一个点P，使P到三个顶点PA+PB+PC的距离之和最小。
求解方法如下:分别以AB和AC为边，做一个正三角形ABD，ACE连接CD和BE在一个点上，那么这个点就是要求的点。
证明:分以下三种情况讨论:
(1)当∠ BAC < 120时，如下图所示。连接PA，PB和PC，in △ABE和△ACD，ab = adae = AC∠BAE =∠BAC+60∠DAC =∠BAC+60 =∠BAE∴△Abe同余△ACD。
∴ ∠ABE=∠ADC这样a，d，b，p就是四个* * *圈。
∴∠APB=120，∠APD=∠ABD=60
同理:∠ APC = ∠ BPC = 120。
以p为圆心，PA为半径做一个圆。PD在f点，连接AF，
以A为轴将△ABP顺时针旋转60°证明了∠ APD = 60。
∴△APF是一个正三角形。∴不难发现，当∠ BAC = 120 ABP与△ADF重合时。
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另外，取△ABC中任意一个与P不同的点G，以B为轴连接GA、GB、GC、GD。
逆时针旋转△ABG 60°，记录g点旋转到点m .
那么△ABG与△BDM重合，m要么在线段DG上，要么在DG外。
g b+ GA = GM+MD≥GDGA+g b+ GC≥GD+GC & gt；DC .
所以CD是最短的线段。
(2)当∠ BAC = 120时，由上述实践可知，求的点是a点.
(3)当∠ BAC >时；在120，如果再按(1)中的方法，点P会在△ABC之外，这样PA+PB+PC又变大了。所以，在这种情况下，A点就是符合题意的点。
以上是一个简单的费马点问题。把这个问题外推到四个点，可以验证四边形对角线的交点就是要找的点。
费马点
开放分类:科学，数学
费马点定义
[编辑此段落]
在多边形中，到每个顶点的距离之和最小的点称为多边形的费马点。
在平面三角形中:
(1).三个内角小于120的三角形，以AB、BC、CA为边，在三角形外侧做正三角形ABC 1、ACB 1、BCA 1，然后连接AA 1、BB 65438。
(2)如果三角形的内角大于等于120度，那么这个钝角的顶点就是需求。
(3)当△ABC为等边三角形时，此时外中心与费马点重合。
(1)在等边三角形中，BP=PC=PA，BP、PC、PA分别是三角形三边的高度和三角形的平分线。是内切圆和外接圆的圆心。△BPC≔△CPA≔△PBA .
(2)当BC=BA但CA≠AB时，BP是高度和三角形CA上的中线和三角形上的角平分线。
证书
[编辑此段落]
(1)费马点对对面的张角为120度。
△CC1B和△AA1B，BC = ba1，Ba = bc1，∠ CBC1 = ∠ b+60度=∠ABA1，
△CC1B和△AA1B为全等三角形，得到∠PCB=∠PA1B。
同理可得∠CBP=∠CA1P。
从∠PA1B+∠CA1P=60度，∠PCB+∠CBP=60度，所以∠CPB=120度。
同理，∠APB=120度，∠APC=120度。
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC绕B点旋转60度与△BDA1重合，连接PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度。
而∠BPA=120度，所以A，P，D在同一条直线上。
而∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A，P，D，A1四。
(3)PA+PB+PC最短。
取△ABC中任意一点M(与点P不重合)，连接AM、BM、CM，将△BMC绕B点旋转60度与△BGA1重合，连接AM、GM、A1G(同上)，然后AA1
平面四边形费马点
费马点在平面四边形中的证明比在三角形中简单易学。
(1)在凸四边形ABCD中，费马点是两条对角线AC和BD的交点p。
(2)在凹四边形ABCD中，费马点是凹顶点D(P)。