有哪些看似与理论无关的问题可以用理论模型解决？
素数等差数列，比如3，5，7。长一点的，比如7，37，67，97，127，157。如果我没记错的话，算术级数只有26项，已知最长的素数，所以G-T定理仍然是一个非凡的结果。
这个证明基本上是用图论和组合数学，基于Szemeredi正则引理和Szemeredi定理来完成的。Szemeredi本人通过这个定理获得了Abel奖，Gowers通过调和分析构造正则引理中常数的界获得了Fields奖，陶推广了这个定理也获得了Fields奖。难怪我老板说10年内，正则性引理会是大家都会用的工具。(特别是Frieze和Kannan给出了正则性引理的弱化版本，图极限理论在理论计算机中得到了广泛的应用。)
关于图极限最基础的理论可以参考。有哪些指标可以描述两个图的相似度？-知乎
我们对G-T定理的具体证明过程不感兴趣。我来说说大概的想法。鄂尔多斯有一个著名的猜想，我有一个自然数的子集A，其中的元素是，如果，那么在A中有一个任意长的等差数列..这个猜想还没有定论，人们甚至无法证明A中存在长度为3的等差数列..。G-T定理是这个猜想的特例，因为所有素数的倒数和是无穷大。至于一般情况，这个谁能证明？估计田野没跑了。
Szemeredi证明了弱化版本。所谓Szemeredi定理是指如果A是自然数的稠密子集，则A中存在任意长的等差数列..密集的意思是，其中[N]是指前N个自然数的集合。注意素数不满足这个性质(来自素数定理)，所以这个定理弱于G-T定理。
他使用的工具是正则性引理。
Szemeredi正则性引理描述的是完全混沌是不可能的。给我一个大图，我可以把它分成m个部分，这使得它在每两个部分之间非常规则。高尔斯证明了m至少是一个塔函数。
通过正则引理可以得到图计数引理。我以三角形为例。三角形去除引理说，如果一个图中三角形不多()，我可以去掉相当多的边()，使图没有三角形。三部曲中的三角形可以对应长度为3的等差数列。基本上，通过计数引理和一些仔细的分析，我们可以得到Szemeredi定理。
G-T定理的核心是证明相对的Szemeredi定理。因为素数集P在N中是稀疏的，所以这个定理的内容是，如果N的子集S满足某些性质(最初的论文必须满足两个条件，最新的结果简化为一个)，A在S中是稠密的，那么在A中存在一个任意长度的等差数列，我们可以把S看成一个素数因子很少的数的集合，这样素数在里面是稠密的。具体思想是在稀疏的情况下证明图中的计数引理。
但是，我们可以看到，这个最新的结果距离鄂尔多斯猜想还有很大距离。。期待大神的突破。
我在外面吃饭，所以我不会用参考纸。另外，有没有人知道为什么陶用“绿陶”理论占了田地，而绿却没有？他应该是18的41，一点希望都没有。