谁能帮我详细解释一下孤子解？什么是双线性导数法？
非线性科学的核心问题之一“孤立子”，可以追溯到英国国家电力科学家罗素在1834年发现的孤立海浪。后来荷兰数学家Korfeweg和Vries在1895对其进行了研究，得到了现在著名的KDV方程。直到1965，克鲁沙尔才将其定义为孤子。在此期间，最显著的应用是激光瞄准和光纤通信。前者解释了一些以前无法解释的物理现象，后者带来了传播媒介的革命。
作为非线性科学的核心问题，孤子具有以下几大特点:第一，孤子解；二是巴赫隆德交易所；第三，无穷守恒定律；第四种是散射反演法。正是这些特点使得孤子成为当今世界的热点问题。
总结其最新研究进展，一是peah Solifon，如Camassu-Holm方程；二是三维Eulv方程的可积性。
节选自:郭百灵院士非线性科学学术报告。
早期历史
斯科特·拉塞尔是第一个讨论这个问题的人。他给英国科学促进协会
该报告发布于1845
关于波动
关于波动的报告。斯科特·拉塞尔，绅士，爱丁堡皇家学会文学硕士。
成员，在1842和1843年度会议上作出。
委员
爱丁堡皇家学会秘书约翰·罗宾逊爵士
斯科特·拉塞尔，绅士，爱丁堡皇家学会会员。
我相信我最好通过描述我第一次亲自见到他来介绍这一点。
现象。当时我正看着一匹小马沿着一条狭窄的水道快速向前拉。
船的运动。当船突然停下来的时候，很多水被船推着在水道里没有了
停，水在船头前堆积并剧烈激动，然后水波突然呈现一大片。
孤立的凸起是一个圆形的、光滑的、轮廓分明的水堆。它是巨大的
速度向前滚动，把船甩在后面。水继续沿着水道流动
已经明显改变了它的形状或者降低了它的速度。我骑马紧追不舍，追上了它，但它还是安全的。
保持它原来的形状大约30英尺长，1英尺到1英尺半高，大约每小时一次。
以8或9英里的速度向前滚动。渐渐地，它的高度下降了。当我追赶一两英里时，
然后消失在水道的转弯处。所以，1834的八月，这是我第一次拥有。
有机会看到如此独特而美丽的现象。我称这种现象为平移波
这个名字现在被人们非常广泛地接受。这个现象从我发现开始就差不多了。
它是每个流体阻力的重要部分；而属于这种波的有海洋。
巨大的隆起，加上地球的节奏，使我们的河流上涨，停留在我们的海岸。
卷轴。
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在那之后，斯科特·拉塞尔继续提出他遇到的孤立体实际上代表了流体力学。
广泛的解决方案。他先称之为“平动波”，后称之为“孤波”。
与冲击波不同，冲击波在波前是奇异的，而“孤波”在任何地方都是有规律的。
没有奇点。孤立波是稳定的，不会分散，因此它不同于任何由普通平面组成的波。
由波解组成的波包是不同的。然而，斯科特·拉塞尔不能让他所有的同事都满意。
大家都信。从图7.2可以看出(摘自瑞利勋爵1876的文章)，
孤立波的问题仍然是当时主要物理学家激烈争论的话题。
这一争论直到1895才得到解决，当时Kotwich和Desfray的依据如下。
非线性流体动力学方程Kotwich和Devrey方程的解(现在称为隔离)
子解)给出了全面的分析。然而，剩下的问题是这种稳定性，
除了物理流体力学，其他领域也可以出现非奇异非色散解。穿过
在50年代初费米、巴斯塔和乌拉姆的工作之后，这个问题被进一步推进。
使用Maniac I，最大的计算机之一，他们研究了64个谐振子的能量趋势平均值。
在均匀分布的过程中，这些谐振子之间存在微弱的非线性耦合。最初的
所有的能量都集中在一个谐振子上。他们惊讶地发现，这通常是关于
如何达到热平衡的概念是非常错误的。
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伦敦、爱丁堡和都柏林
哲学期刊和科学期刊
[第五集]
65438+4月0876
三十二。瑞利勋爵，文学硕士，皇家学会会员。
……
孤波
这是斯科特·拉塞尔对一种特殊波浪的称呼。这一波没有列在1844。
在协会的报告中有所描述。
……
艾里关于潮汐和波浪的论文可能仍然是最权威的论点。他似乎是
我没有意识到孤波有什么异常。
……
另一方面，斯托克斯教授说，“罗素先生的观点是孤立波是一种特殊现象。
这绝不是从波浪产生的环境推断出来的。"
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正如我们在图7.3中看到的，在大约10，000次循环后，它的能量几乎
完全回到原来的模式，没有变化。只有总能量的百分之几被保留给一些其他的振动。
儿子。(这不是庞加莱循环，需要更长的持续时间。)这种
集体模的发展是一种普遍现象，可以用Todag点3)的孤子解近似表示
展示。孤子解的重要的一般特征是，即使非线性耦合很弱，孤子解
仍然存在:
弱耦合≠弱振幅
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非线性问题研究
E.费米、j .巴斯塔和s .乌拉姆文学LA-1900(5月1955日)
摘要
在洛斯阿拉莫斯的MANIACI计算机上研究了由64个粒子组成的一维粒子。
动态系统。相邻粒子之间存在非线性力。所考虑的非线性项是二次的，
立方和折线型。结果被分解成傅立叶分量，并作为时间的函数绘制。
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从那以后，出现了大量关于孤子的文章。斯科特、邱和麦克劳林(1973)
的综述文章中总共列出了***267篇参考文献。但是所有这些文章都只是关于
经典孤子解几乎同时局限于一维空间，并且只适用于七种特殊的孤子解
就方程而言:科特维奇-德弗瑞方程，塞纳-戈登方程等。最近在这个领子里
在该领域已经取得了很大的进展，包括扩展到三维空间的经典解和量子孤子解。
一些通用的技术(至少在弱耦合玻色子场的情况下)已经被开发出来
对于每一个经典解，都有对应的量子解。这些新发展将是我们的
讨论的主要部分。
1) D. J. Korteweg和G. de Vries，Phil。玛格。39, 422(1895)
2)恩利克·费密文集，主编e .塞格雷
(芝加哥大学出版社，1965)，第二卷，978页。
3) M. Toda，Progr。Theor。物理补编45，174(1970)。
4) A. C. Scott，F. Y. F. Chu和D. W. Mclaughlin，IEEE 61，
144(1973).
-粒子物理和场论简介第七章孤子
李政道拒绝翻译阮同泽的唐
科学出版社1984
站在世纪之交的门槛上，谁也无法忽视科学技术在本世纪给人类带来的翻天覆地的变化。计算机诞生，原子弹蘑菇云笼罩世界，人造地球卫星和航天飞机遨游太空，生物克隆技术在全世界掀起波澜。一百年在人类历史长河中只是弹指一挥间，但这期间科技的发展远远超过了过去两千年的总和，对人类的改变达到了前所未有的程度。正如美国著名作家R. W .爱默生所说，“现代科学创造的奇迹远远超过古代神话传说中的奇迹。”非线性科学在本世纪的显著兴起和迅速发展，把人类从认知中解放出来，打破了机械决定论的一个天窗，使人们能够探索窗外更复杂、更普遍、更高层次的世界。在非线性科学领域，有一朵美丽的“数学物理之花”，它与大家熟悉的混沌、分形一起，被认为是当今该领域的三大前沿分支，这就是孤子。孤子和混沌、分形一样，从它的发现到理论的形成、发展、应用，充满了许多轶事甚至传说，而且似乎更加曲折坎坷，可以给我们更多的思考和启示。
站在世纪之交的门槛上，谁也无法忽视科学技术在本世纪给人类带来的翻天覆地的变化。计算机诞生，原子弹蘑菇云笼罩世界，人造地球卫星和航天飞机遨游太空，生物克隆技术在全世界掀起波澜。一百年在人类历史长河中只是弹指一挥间，但这期间科技的发展远远超过了过去两千年的总和，对人类的改变达到了前所未有的程度。正如美国著名作家R. W .爱默生所说，“现代科学创造的奇迹远远超过古代神话传说中的奇迹。”1本世纪非线性科学的显著兴起和迅速发展，把人类从认知中解放出来，打破了机械决定论的一个天窗，使人们能够探索一个更复杂、更普遍、更高层次的“窗外”世界。在非线性科学领域，有一朵美丽的“数学物理之花”，它与大家熟悉的混沌、分形一起，被认为是当今该领域的三大前沿分支，这就是孤子。孤子和混沌、分形一样，从它的发现到理论的形成、发展、应用，充满了许多轶事甚至传说，而且似乎更加曲折坎坷，可以给我们更多的思考和启示。
运河边的纪念碑孤独的孤波
说到孤立子，就不能不介绍孤立波的发现过程(孤立波是最早的具有孤立子性质的具体形式)，不能不提到一个属于上个世纪的人，那就是孤立波的发现者，英国科学家、造船工程师约翰·斯考特·拉塞尔。虽然孤立子理论是在五六十年代建立的，但是孤立波的发现要追溯到160多年前罗素偶然观测到的现象[2]、[3]、[4]、[5]。
1834年8月的一天，在苏格兰爱丁堡的联合运河岸边，罗素骑在马上，观察着一艘船的运动。这条船由两匹马拉着，沿着狭窄的河流快速行驶。当船突然停下时，罗素看到了一个奇妙而不可思议的现象:河中被推动的水团并没有停止运动，而是聚集在船头周围剧烈运动，然后变成了一个“圆形、平滑、轮廓分明、巨大而孤立的水峰”。突然，水峰离开船头，以很快的速度向前翻滚，继续沿河航行，丝毫没有减速和停止的趋势。拉塞尔敏锐地感觉到这是一股不同寻常的水波，立即跟在马后面。此时，水峰仍以每小时8-9英里的速度向前滚动，同时保持原来的形状，长约3英尺，高1 ~ 1.5英尺。直到他追到1 ~ 2里，水峰的高度才逐渐降低，最后消失在蜿蜒的河水中。罗素被这种“奇怪”而“美丽”的现象所吸引。他注意到，这个孤立的水峰与普通的水波完全不同，因为一般情况下水波总是由一系列周期波列组成，可以用一个众所周知的波动方程进行数学描述，其解就是周期波列。而且通常的水波一部分在水面之上，一部分在水面之下，这个水峰就是一个完整的全部在水面之上的波。罗素认为这个水峰是流体力学的稳定解，并将其命名为“平移波”，后人称之为“孤波”。孤立波不同于普通表面波，因为后者是色散的；它也不同于阿波罗之前的奇异冲击波，因为孤立波的波形圆润平滑，即处处有规律。
这个偶然的发现久久萦绕在罗素的脑海里，他坚信自己发现了一个新的物理现象。10年后，1844年9月，他在英国科学促进会第14次会议上以“论波动”为题向科学家们报告了自己的发现，以期得到科学界的重视，共同研究。在这十年间，罗素对孤波的原理做了很多努力和探索，在物理学上做了一些大胆的假设。而且他还对孤波进行了实验研究，并在1844年用各种方法在浅水槽中激发，观察到了同样的孤波现象。
然而，历史往往给人留下遗憾。罗素的想法没有得到当时科学权威的认可。大多数人怀疑和反对孤立波的存在，并一度掀起了广泛而激烈的争论。例如，一些物理学家认为，孤波振幅的减小否定了它保持形状和能量不变的特性。罗素的解释是由于摩擦和阻力的作用。即便如此，他仍然无法在数学和物理上正确地解释和证明孤立波的存在和机制，从而抱怨当时的数学家未能从已知的流体力学运动方程中预测到这一现象。“看到吴钩后，我把栏杆拍了个遍，也没人搭理。”我一边叹气，一边茫然地环顾四周。罗素最终没能让孤波获得科学上的合法地位。1982年，罗素逝世一百周年之际，人们在他骑马追逐孤波的联合运河旁立碑[5]，纪念这位孤独的孤波发现者，这可能是他生前未曾预料到的。如果说伟大科学家的标志是能够识别重要的新事物和新现象，而这些新事物和新现象确实是关键性质，那么罗素是名副其实的[6]。时至今日，几乎所有各个领域的孤子理论专著都是带着崇敬的心情首先提到这位孤子理论的先驱。哲学家伏尔泰曾说，“率先沿着新道路前进的幸运者，虽然只走了几步，却以他们的名字赢得了崇高的荣誉。”〔1〕
罗素去世后，1895年，荷兰数学家D. Korteweg和他的学生G. de Vries研究了浅水波的运动。在长波近似和小振幅假设下，建立了单向运动的浅水波运动方程。通过求解析解，得到了与Russell描述一致的孤立波解，首次从理论上证明了孤立波的存在。这个方程就是著名的KdV方程，也是当今研究孤子解最常见的模型之一。但是孤波稳定吗？两个孤波碰撞后变形了吗？这些问题一直没有得到解决，许多科学家对此持否定态度，认为孤立波是“不稳定的”，放弃了进一步的研究。孤波再一次失去了人们的关注，被长时间掩埋，继续在孤独中度过20世纪上半叶。
大浪淘沙。世界上没有人了解你。
“有时候真相可能很暗淡，但永远不会熄灭。”1】孤波的长期掩埋和沉寂，并不意味着它已经失去了力量。
20世纪50年代，一项计算机数值实验开始改变孤立波的命运。从1952开始，美国三位物理学家恩利克·费密、约翰·帕斯塔和斯坦·乌拉姆利用美国当时用于设计氢弹的Maniac I计算机，对64个相互间具有弱非线性相互作用的谐振子组成的系统进行了数值计算实验，试图证实统计物理中的“能量均分定理”。在初始时刻，这些振子的能量全部集中在一个振子上，其他63个振子的初始能量为零。根据能量均分定理，只要非线性效应存在，就会出现能量均分和遍历性等现象，即任何微弱的非线性相互作用都可以导致从非平衡态向平衡态的转变。但1955的计算结果却让他们大吃一惊，因为经过长时间上万次的计算，能量并没有均匀地分配到其他振子上，而是出现了一种奇怪的“回流”现象:大部分能量都集中在初始能量非零的原谐振子上。经典的能量均分定理还没有被证明。这就是著名的FPU问题，它和诞生了爱因斯坦相对论的迈克尔逊-莫雷实验一样，被认为是对传统科学的有力挑战[2]和[6]。
遗憾的是，当时费米等人只在频率空间考察了这个实验，没有找到孤波解，没有得到正确的解释，因此错过了孤子理论。后来人们把晶体看成是一个弹簧连接的有质量的链，近似模拟了这种情况。Toda研究了这种模式的非线性振动，确实得到了孤波解，使得FPU问题得到了正确的解决。
FPU问题的出现和解决依赖于新近诞生的计算机技术，它首次以数值计算的方式向人们证明了孤立波的存在，从而进一步激起了人们对孤立波研究的兴趣。在1962中，Perring和Skyrme将正弦-戈丹方程应用于基本粒子的研究。他们的计算结果表明，这样的孤波并不分散，甚至在两个孤波碰撞后，它们仍然保持原来的形状和速度。1965年，普林斯顿大学的两位数学家M. D. Kruskal和N. Zabusky基于FPU问题，将实验中能量分布的几乎回归性质与孤波奇特的相互作用性质联系起来，用数值模拟方法详细研究了等离子体中孤波碰撞的非线性相互作用过程。得到了一个比较完整和丰富的结果，进一步证实了碰撞后孤立波的波形和速度保持不变，这个结果彻底打消了人们以前对孤立波稳定性的疑虑。
Kruskal和Zabusky根据孤立波与粒子碰撞后的性质相似这一事实，被正式命名为“孤立子”。这是孤波走出科学冷宫的重要里程碑。从孤立波的发现到孤子概念的正式提出，经历了130多年的漫长旅程，其中的跌宕起伏是现代科学史上罕见的。至此，被誉为“数学物理之花”的孤子终于洗去了一个多世纪的尘埃，经受住了时间的考验，在科学的花园里展示了它美丽的蓓蕾。
孤子的概念开启了孤子理论研究的新时代，各个领域的科学家纷纷对孤子投入了极大的热情和兴趣。至此，一个相对完整系统的孤子理论逐渐形成。今天数学家把孤子的定义理解为非线性演化方程的局域行波解。相互碰撞后，波形和速度不会发生变化，但相位可能会发生变化。物理学家把非线性演化方程理解为能量有限的解，即能量集中在空间的有限区域，并不随着时间的增加而扩散到无限区域[5]。
孤子理论的最初研究主要集中在数学问题上。在1967中，Gardner等人发现了求解KdV方程的逆散射方法(IST)。随后，人们发现了除KdV方程之外的至少几十个具有孤子解的非线性方程，并发展了丰富多彩而有效的数学和物理方法[3]、[5]、[7]。随着研究的深入，科学家已经不满足于以纯数学的形式研究孤子，试图在流体力学以外的领域寻找其他类型的孤子。结果非常令人兴奋，人们在不同的自然科学领域都发现了孤子。例如，科学家发现生物大分子的蛋白质和DNA中存在各种类型的孤子，这些孤子肩负着生命活动中不可或缺的责任:传递生物能量和生物信息，完成复制、遗传和转录的功能[8]。到目前为止，可以说孤子现象无处不在:宇宙涡旋星系的密度波、海洋冲击波、等离子体、分子系统、生物系统、光纤中的光传输、激光传播、超导约瑟夫森结、磁学、结构相变、液晶等。，都可以找到孤子的神奇身影[4]。“数学物理之花”孤子在宇宙和基本粒子的微观世界中显示出奇妙的魅力，吸引着越来越多的科学家。
一位科学家曾经说过，“整个科学发展的历史证明，掌握自然现象的任何新领域，总会走向实际应用。这种实际应用往往完全出乎意料。”[1]孤子的发现也是如此。虽然孤立子似乎只是一个数学非线性方程的解或者是在实验室中发现的一种现象，但人们很快就发现了它在实践中的应用。最典型的例子就是光孤子在现代通信技术中的应用[4]，[9]。1973年，科学家提出并预言了光孤子的存在。1980在实验中得到证实。由于光孤子具有波形不损失、速度不变化、保真度高、保密性好等优点，是基于光电的通信手段的最佳信息载体，受到科学家们的青睐。人们自然希望将其应用到现代光纤通信中，从而产生现代光纤孤子通信技术。这项高科技正在不断发展，并已开始进入部分实用阶段。到90年代中期，光孤子已经传输到14000 km和1，000，000km没有变形(后者需要再生)。科学家们热切希望在未来的通信技术中，光孤子能够发挥其巨大的威力，让地球上的每个人都能享受到光纤孤子通信带来的速度和便利。
思考与启蒙——不是“玄宗盛况之辩”
孤子的概念提出后，这个领域吸引了成千上万的科学家，包括从事数学、力学、物理、生物、光学等越来越多领域的研究人员，使得孤子理论在过去的三十年里迅速发展。可以说，孤子研究方兴未艾，并且继续深入到更复杂、更广泛、更本质的层面。当我们翻开近代科学史，以今天的视角回望孤子这一“数学物理之花”100多年来的历史命运时，应该能够深切地体会到，这也是近代科技百年历史的一个缩影。“古今很多事都是可笑的”，从罗素发现孤波到光孤子的显示，从KdV方程到孤子的浩瀚数学理论著作，无一不是佳话，总能让人津津乐道。然而，对于科学家和科学家来说，除了“坐以待毙”或“谈笑风生”，或许更重要的是这段历史带给我们的思考。这里我们要问:为什么160多年前罗素的发现没有导致当时孤子理论的出现？换句话说，为什么孤立子理论在20世纪50年代以后才进入科学的舞台？
其实科技史上有很多例子，比如孤子的历史命运。据史料记载[11]，人类早就知道蒸汽的原理。早在公元前120年，古希腊人就根据喷射反应原理，制造出了由蒸汽驱动的机械。但他们并没有用它来推广生产工具或战舰战车，因为当时并没有这样的需求，它只是作为一种奇特的技能，在皇宫庙宇中享受。直到公元17世纪，由于矿冶工业的需要，蒸汽技术才得到重视、改进和创新，引发了历史上前所未有的技术革命和工业革命，并由此发展出一门新的学科——热力学。纵观20世纪的科技发展，没有脱离历史的规律，《孤儿》的历史命运恰恰生动而深刻地说明了这一点。
罗素发现和探索孤波的时期是在英国工业革命末期，是历史上化学技术革命和电力技术革命的开端，是机器生产取代手工生产的伟大时代。这个时代的特征是西方经济的空前发展，这呼唤着它所需要的科学理论和技术革命，并使之充满向前的活力。经典自然科学的大厦已经基本建立在牛顿等明星的智慧中，科学处于机械决定论的时代。“宇宙的解释者”牛顿在经典数学、力学和光学方面的成就，代表了机械决定论的最高峰，从此主导了人们的科学思想。拉普拉斯对此做了精辟的阐述。他认为一个复杂世界的形象，就像机械零件的结构和顺序一样，逃不过所谓“超智能者”的洞察。对于“超级聪明的人”，“他大概能用一个数学公式推断出宇宙中从最大的物体到最轻的原子的运动。”“大概没有什么是不确定的。未来和过去一样，会呈现在他面前。”机械决定论的一个后果是，人们痴迷于确定性和线性问题的数学和物理方法，并在当时将其完善和精通。这一科学思想虽然是在20世纪以后才被突破的，但在它所处的时代取得了巨大的成就:一方面推动了经典自然科学各个分支的迅速发展，为技术革命奠定了理论基础，另一方面极大地推动了社会生产的进步。工业生产的发展和当时的技术水平都无法对经典自然科学提出超越那个时代的“非平凡”的要求。因此，虽然牛顿力学中出现过有趣的非线性问题(如刚体定点运动、三体)，但科学家们还远没有被“强迫”去研究非线性问题。我们知道，孤子本质上是一种非线性的结果，在罗素的时代，工业生产、技术变革和科学理论的发展都不可能对孤子研究提出迫切的需求。这是上个世纪孤立波没有引起人们注意的根本原因。尽管罗素以其敏锐的洞察力和对事物物理本质的深刻把握发现了孤波，但他无法超越机械决定论对那个时代科学思想的支配，起初他无法在数学中得到问题的答案。同样，60多年后，KdV方程的结果也只是数学上的“巧合”，并不能改变孤波被埋没的命运。所以，假设孤立波的发现推迟几十年甚至一个世纪(就像60年代以后发现混沌一样)，孤立子理论的产生和发展大概不会受到太大影响。从这个意义上说，罗素就像一个孤独的拓荒者，不小心闯进了一个新宝库的大门，但他没有也不可能得到“芝麻开门”的咒语。当然，这不能否认他对后来孤子理论的贡献，更不能因此而苛求他，就像我们不能苛求古希腊人做出蒸汽机一样。
进入20世纪后，自然科学领域爆发了一场以相对论和量子力学诞生为标志的物理学革命，无论从宏观还是微观角度，人们对世界的探索和认识都达到了前所未有的深度。天体的演化，地球的变化，生命的起源，都涉及到极其复杂系统的演化规律。迫切需要人们研究这些复杂现象的基本规律，从更接近世界本质的整体联系的角度去探索和把握自然。[10]只有人们致力于非线性问题的研究，孤子才能走出科学的冷宫。
二战后的20世纪，人类迎来了科技超高速发展的新时代。世界各国在经济、军备和技术方面综合国力的竞争，从根本上推动了现代科学技术的超高速发展。有数据显示[10]，战后所有发达国家的科研经费投入都呈指数级增长，全球科研经费到60年代末比本世纪初增长了400倍。人类社会的发展从来没有像本世纪这样依赖科学技术。在本世纪初，发达国家只有5% ~ 20%的生产增长是依靠科学技术，但在20世纪70年代已经达到60% ~ 70%。正是在这种“巨大的需求”中，科学技术加速发展。科学家的触角不断深入和延伸，新的知识和规律不断被发现，各种新的学科和领域不断涌现。以孤子为例，FPU问题一开始并不是研究孤子，而是考察模拟非谐晶格的复杂动力系统的运动规律，最终意外发现了孤子现象。值得注意的是，军事需求对现代科技的发展有着不可估量的作用。众所周知，第一台电子计算机ENIAC是为了解决复杂的弹道计算问题而制造的。用数值计算寻找类孤立子FPU问题的工具是Maniac I，美国用来设计氢弹的大型计算机。不难想象，如果不是为了军事目的，人类的计算机时代可能会被推迟，计算机技术在非军事领域的广泛应用和许多重大科技发现都将被改写。因此，本世纪战后各种社会因素对科技发展的强烈需求以及科技本身的深化和复杂化，