王子坤的造诣
从65438到0984，调到北师大后，王子坤和李占兵共同主持了马氏过程的研讨会，继续从事马氏过程和位势论、多参数马氏过程等方面的研究工作。李占兵1961 7月毕业于莫斯科大学数学力学系，概率论与数理统计专业。1961 8月开始在北师大数学系任教。6月1980至6月1982访问麻省州立大学，6月1991访问乌克兰基辅大学。李占兵长期从事随机过程、非线性方程和数学物理的研究。20世纪80年代，他在研究一类满足某个非线性Fokker-Planck方程的Markov过程中采用的扩散近似方法得到了M.Crandall和R.Gardner的称赞，在高维Burger方程的研究中，他曾经解决了著名学者Ya提出的一个问题，他还在非平衡系统主方程的建立和稳定性、基本粒子的方程机制、辐射源交叉定位的精度分析等方面取得了许多研究成果。65438-0990，王子坤、李占兵培养的博士陈雄毕业后在数学系任教，充实了马尔可夫过程方向的研究力量。陈雄的研究工作主要集中在多参数马尔可夫过程方向，在多参数OU过程和多参数泊松随机微分方程的研究方面取得了较好的成果。陈雄在1993出国工作，并在随后的几年里继续从事相关领域的研究。
65438-0988年，王子坤因在概率论、科学教育和研究方法论方面的成就，获得澳大利亚麦考瑞大学荣誉科学博士学位。1988年底到1989年初，美国国家科学院院士E.B.Dynkin应邀访问中国，在南开大学和北京师范大学做了一系列关于Dawson-Watanabe超过程的讲座。此后，王子坤和李占兵带领他们的课题组开始了这个方向的研究。DW超过程是大规模微观粒子群体随机演化的数学模型，在生物学、物理学等学科有很强的应用背景。1989李占兵在一篇短文中阐述了关于DW超过程分支机制的积分表示的Dynkin猜想。1990中，王子坤给出了DW超过程的拉普拉斯泛函的幂级数展开。同年，李增虎证明了分支机制的积分表示，这是超过程定义中的几个基本公式之一。戴金[安。可能吧。1993]用他的结果解释了DW超过程模型的普适性:如果超过程是取一个分支粒子系统的极限得到的，那么它的分支机制一定有特定的积分表示。1991年11月，王子坤当选中国科学院院士。同年发表了DW超过程的综述文章，系统地向国内学术界介绍了度量马尔可夫过程的国际研究进展。在这篇文章中，王子坤提到了具有移民和多种群的测度分支过程是一个值得研究的模型。在1992发表的论文中，李增虎引入了一类带移民的测度分支过程，并研究了相应粒子系统的收敛性。在同年的另一篇论文中，他利用非局部分支DW超过程构造了一个一般的多物种模型。基于上述思想，李增虎后来与D.A.Dawson等人合作研究了非局部分支DW超过程的构造，作为应用，他导出了多种群型、年龄结构型、质量结构型、随机控制型等超过程。对上述模型存在性的统一处理和简洁证明被《美国数学评论》认为是“真正好的特征”。
1993中，王子坤利用多参数随机积分定义了一类多参数无限维OU过程，并给出了它们绝对连续的充要条件。同年，李增虎、李占兵和王子坤对Feller条件下的实测迁移过程给出了完整的描述，并得到了这类过程的大数定律。在1995中，李增虎和Shiga研究了测度值分支扩散过程的偏移和相应迁移过程的构造。道森和珀金斯[数学。Surv。Monogr。AMS 1999/Lect。笔记数学。2002]两次收集了李增虎和志贺关于测度值巡的定理来研究DW超过程的“簇”分解。Dawson和Gorostiza等人[电子。j .可能。，2004]利用李增虎和志贺给出的迁移过程理论框架，对多层群过程进行了深入研究。在论文中，作者声称“由入境法决定的移民过程的存在性最初是由李和志贺确立的”，他们的移民模型“可以从李和志贺研究的边界纳入移民过程的框架”。1994 10李增虎从日本回国后留在数学系做博士后，从1996 10开始在数学系任教。
通常的Dawson-Watanabe超过程是封闭微观粒子系统随机演化的数学模型。比这个模型更具理论性和实用性的是开放系统模型，或者说是移民超过程。在1995中，李增虎发现伴随偏移过程的DW超过程的分布概率族{ n(t):t≥0 }满足斜卷积方程N(r+t) = [N(r)Q(t)]*N(t)，其中{q (t): t ⊷.李增虎证明了斜卷积半群与无限可分概率入境律之间的1-1对应关系，并在后续论文中发展了相应的移民超过程理论。作为开放系统的研究工具，斜卷积半群也适用于其他几个模型。例如，李增虎和Dawson后来将斜卷积半群应用到广义Mehler半群的研究中，给出了Hilbert空间值ou过程的完整刻画。他们还将斜卷积半群工具应用于数理金融的研究，部分回答了Duffie等人提出的仿射金融模型的正则性问题。应用概率。2003]，并建立了该模型与随机介质迁移分支过程之间的关系。Bojdecki和Gorostiza[数学。Nachr。2002]写道“李通过引入和使用斜卷积半群的概念发展了一种移民系统理论”，而Schmuland和孙[静态。可能吧。Lett.2001]称这些结果为“一项重要的工作(an)”。Gorostiza在德国数学文摘中称斜卷积半群“在移民分支过程中起关键作用”。
65438-0996北京师范大学出版社重印王子坤《概率论与应用基础》，其《随机过程论、生灭过程与马氏链和布朗运动与势》编辑重印，书名为《随机过程通论》。从65438到0999，王子坤研究了多参数无限维OU过程分布的绝对连续性和渐近性态。他的新书《马氏过程与今日数学》由湖南科学技术出版社出版。1998 65438+2月至1999 65438+2月，李增虎受日本学术振兴会(JSPS)博士后研究基金赞助访问东京工业大学，期间还获得日本文部科学省追加研究基金，并于3月应邀访问加拿大菲尔兹数学研究所1999。
从65438年到0999年，李增虎和志贺合作给出了Fleming-Viot超过程可逆的充要条件，从而解决了美国文理学院院士T. Kurtz提出的猜想。FV超过程来源于对遗传的研究，可逆性的充要条件一直是该领域长期存在的问题。李增虎等人的结果表明，可逆稳定分布遗传系统的变异算子一定具有某种简单的形式和明确的遗传意义。他们的研究成果引发了国内外学者对相关问题的后续研究。比如汉达[probable。Theory Related Fields 2002]在紧性条件下给出了李增虎等人的一些结果的另一种证明，并将其推广到带重组的模型。Schmuland和Sun[加拿大皇家学会2002年Comptes Rendus数学报告]再次证明了上述一些结果。这些作者在论文中多次提到可逆性问题已经被李增虎等人解决，充要条件被反复证明，这也说明了国际上对这个问题的关注程度。
65438-0999年，洪和李增虎研究了随机环境中移民的超过程，他们发现并证明的波动极限的性质被美国《数学评论》认为是一个“令人惊讶”的现象。2000年，洪和王子坤研究了广义介质分支迁移超过程的大数定律和中心极限定理。李增虎于2000年6月至2006年5月访问加拿大菲尔兹数学研究所和卡尔顿大学。在2001中，李增虎和Dawson合作用对偶方法构造了一个空间运动相关的超过程。洪，2006年6月在复旦大学完成博士后研究，回国任教于数学系，并于2006年6月到加拿大卡尔顿大学访问。2002年，王子坤获得贺亮合力科技进步奖。王子坤在数学方面的研究主要在概率论方面，他的工作是随着这门学科的发展而进步的。他是中国概率论的先驱之一。中国的概率论能有今天的国际地位，有他的贡献。总的来说，在60年代初，他研究了马尔可夫链的结构，彻底解决了生灭过程的结构和函数分布的问题。20世纪70年代，他研究了马尔可夫过程与位势理论的关系，得出了布朗运动的时间和位置分布以及对称稳定过程，研究了地震的统计预测。他写了《布朗运动和势》、《概率和统计预测》等著作。80年代，他研究了多指标马尔可夫过程，在国际上首次引入了多指标奥恩斯坦-乌伦贝克过程的定义，并研究了它的性质。90年代初，他除继续上述工作外，还从事超过程的研究，这是目前国际上最活跃的课题之一。以上课题都是当时重要的国际方向。始终紧跟时代发展，努力在科学研究的重要前沿做出成果，争取成果和方法的概率意义，是王子坤数学研究的特点。
(1)首创了极限跃迁的概率方法，彻底解决了生灭过程的构造问题。随机运动从0开始，可以扩展到无穷大，所以要确定一个随机过程，就要观察它在无限时间内的运动(也就是要给出它的所有有限维分布)。能否在限定时间内确定？即在短时间内观察到过程的一些所谓“无穷小”的特征后，能否利用这些特征来确定其在无限时间内的概率分布？这是结构主义要解决的问题。不是每个过程都能这样。人们首先开始研究一些特殊的马尔可夫过程。1958左右，几乎同时，概率论者W. Feller和王子侃都研究了灭绝过程的构造，只是方法不同。费勒用的是分析法，王子侃用的是概率法(也就是他首创的极限跃迁法)。所以，各有各的特点。苏联概率论专家a.a.юшкквич在transaction fourth Prague conference on information theory，Statistical Decision Functions，Random Processes (1965)第381-387页评论道:“费勒在轨道达到无穷大后构造了生灭过程的各种扩展...同时，王子坤用极限跃迁的方法找出了生灭过程的所有延拓。”在他和ебд的讨论中，
(2)1961年，王子坤首先用差分方法研究了死亡过程的泛函的分布和停时与首达时的分布，得到了深刻的结果。这两部作品后来被国内一些同行开发出来，并得到国外一些大学和研究所的好评。剑桥大学的D.G.Kendall教授在评论这项研究时说:“我认为。
1980，王子坤用递归方法研究积分泛函，发表了一篇论文。这篇论文发表后，他收到了9个国家(美国、法国、联邦德国、民主德国、印度、捷克、以色列、荷兰、意大利)17单位(大学或研究所)的来信，索要这篇论文的小册子。
(3)用于研究马尔可夫过程的一般性质(遍历性、均匀性、递归性、马丁边界等。)，见论文[4、7、8]。
(4)1980后，研究马尔可夫过程与位势论的关系，发表论文[22，25，26]和书籍。1983之后，研究了多指标马尔可夫过程。见文献[23，27，30]。
(5)除了马尔可夫过程的研究，王子坤还在国内开创了随机泛函分析方向的研究(见论文[51])。在他的领导下，目前中国在这一领域开展了大量工作。
(1)、(2)、(3)中的大部分研究成果在王子坤的专著[41，44]中有总结。
(6)国内首次研究了多指标马尔可夫过程。在国际上首次提出了多指标奥恩斯坦-乌伦贝克过程(简称OUP)的定义，并获得了较为系统的结果。从单指标过程到多指标过程，正如从一元函数到多元函数，问题的复杂性和难度大大增加。OUP是一个重要的随机过程。它在物理学中有重要的应用，但前人只研究了单指标的情况，多指标的OUP是由王子坤首先研究的。后来很多人继续这个研究。
王子坤也从事超过程的研究，取得了《超过程的幂级数展开》等成果。此外，他对“随机性”和“混沌”深感兴趣，见论文[35，39]。
(7)书的种类很多。其中《概率论及其应用基础》、《随机过程论》和《生灭过程与马尔可夫链》三本书，从基础到前沿形成一个完整的体系。第三部主要是王子坤研究成果的专著，收录在科学出版社的《纯数学与应用数学专著》第5期。其英文修订见【41】。《数学评论》这样评价这本书:“这是一本美丽而清晰的书。”这三本书对我国概率论的教学和科研起到了重要的推动作用。一些大学(如南开大学、北京师范大学、中山大学等。)作为研究生、大学生和教师的教材。在这方面，王子坤主要做出了以下贡献。
(1)领导南开大学统计预测组学术研究，首创“随机转移预测法”和“利用国外大地震报告国内大地震相关区域的方法”，多次报告部分地震，受到国家地震局重视，获天津市科学技术二等奖。结合地震，对极移也进行了理论研究(见论文[165438+)
(2)与部队同志合作，完成了在计算机上模拟随机过程的研究，提出了理论方案，编制了计算程序。由于有关方面的规定，这部作品一直在内部沟通，没有公开发表。
3.关于科学方法和科普工作。
王子坤认为，教师不仅要传授知识，更要培养能力。所以他非常重视学习方法和研究方法，尤其是著名学者的经历和经验，能引起他的兴趣。1967+0977年，他将自己在60年代关于学习方法的演讲内容，连同日常笔记，整理成一篇文章《科学发现漫谈》，于1968+0977年出版，1986年上海人民出版社已出了单行本，这是一本独特的读物。数学界的老前辈苏在序言中对这本书作出了确切的评价:“王子坤同志纵览古今，放眼中外，从自然科学发展的长河中，选取了许多有意义的发现和事实，尽力用辩证唯物主义和历史唯物主义的观点加以分析和总结，阐明了科学发现的一些基本规律。并探讨一个自然科学工作者应该努力具备的素质。这些内容是作者在“四人帮”形而上学和唯心主义横行的情况下写出来的，尤其难能可贵。”苏老也说过，“作者是数学家，在讨论数学的同时写出这样的作品，同样可贵。”
《纵横谈》以清新独特的风格、简洁流畅的文笔、扎实丰富的内容吸引读者；书中很多章节堪称优美动人的散文，情理交融，回味无穷，让人陶醉在美的享受中。部分章节已被选入中学语文教材。
讲座结束后，王子坤在《红旗》杂志、《人民日报》、《光明日报》、《中国青年报》等报纸上发表了数十篇科普文章。1985年，他又出版了一本书《在柯海划船》，也对读者产生了很大的影响。