基于应力波衰减的岩石冲击损伤模型
利用损伤理论研究问题的主要步骤是:首先定义一个合适的状态参数——损伤变量，然后根据外载荷确定物体在外载荷作用下的损伤演化方程和本构关系，最后根据相应的初始和边界条件求解物体内部某一点的应力应变场和整体损伤场。因此，损伤变量的定义是基础。正确合理的损伤变量不仅可以简化问题，而且可以使损伤演化方程和本构方程易于建立，具有明确的物理意义。因此，损伤变量的定义在冲击损伤模型的研究中起着基础性的作用。下面对几种常见岩石冲击理论模型中损伤变量的定义方法进行分析和比较。
Kipp-Grady(K-G)损伤模型认为岩石中存在大量的原生裂纹，其长度和方向的空间分布是随机的。在外载荷的作用下，一些裂纹被激活并扩展。损伤变量D定义为(杨军，1996)。
岩石断裂和损伤
其中:Cg为裂纹扩展速度，设为常数；k和m是材料常数；ε是体积应变；是时候了。同时，如果V(t)，-V(t)和N(t)分别是受单个裂缝影响的岩石体积、受单个裂缝影响的岩石体积的平均值和岩石中包含的裂缝数量，则公式(13-1)可以表示为:d (t) =-v (t) n(.其中:Cg为裂纹扩展速度，设为常数；k和m是材料常数；ε是体积应变；是时候了。同时，如果V(t)，-V(t)和N(t)分别是受单个裂缝影响的岩石体积、受单个裂缝影响的岩石体积的平均值和岩石中包含的裂缝数量，则公式(13-1)可以表示为:d (t) =-v (t) n(.其中:Cg为裂纹扩展速度，设为常数；k和m是材料常数；ε是体积应变；是时候了。同时，如果V(t)，-V(t)和N(t)分别是受单个裂缝影响的岩石体积、受单个裂缝影响的岩石体积的平均值和岩石中包含的裂缝数量，则公式(13-1)可以表示为:d (t) =-v (t) n(.其中:Cg为裂纹扩展速度，设为常数；k和m是材料常数；ε是体积应变；是时候了。同时，如果V(t)，-V(t)和N(t)分别是受单个裂缝影响的岩石体积、受单个裂缝影响的岩石体积的平均值和岩石中包含的裂缝数量，则公式(13-1)可以表示为:d (t) =-v (t) n(.其中:Cg为裂纹扩展速度，设为常数；k和m是材料常数；ε是体积应变；是时候了。同时，如果V(t)，-V(t)和N(t)分别是受单个裂缝影响的岩石体积、受单个裂缝影响的岩石体积的平均值和岩石中包含的裂缝数量，则公式(13-1)可以表示为:d (t) =-v (t) n(.其中:Cg为裂纹扩展速度，设为常数；k和m是材料常数；ε是体积应变；是时候了。同时，如果V(t)，-V(t)和N(t)分别是受单个裂缝影响的岩石体积、受单个裂缝影响的岩石体积的平均值和岩石中包含的裂缝数量，则公式(13-1)可以表示为:d (t) =-v (t) n(.
Chen E P和Taylor L M(1984)基于K-G模型引入了裂纹密度Cd与裂纹材料有效泊松比和损伤变量D的关系，建立了TCK损伤模型(Chen E P等，O'connell R J等，1974；杨R，1987)，损伤变量与材料宏观模量的关系如公式(13-2)所示:
岩石断裂和损伤
Budiansky B和O'connell R J用自洽方法得到了具有随机分布的平裂纹的断裂体的宏观等效模量表达式:
岩石断裂和损伤
式中:，k，，e，，g，μ分别为未受损和受损岩石的体积模量、弹性模量、剪切模量和泊松比；Cd是裂纹密度；d是损伤变量。
杨等人建立的损伤模型认为，岩石中裂纹的萌生和扩展是由塑性应变决定的。当岩石中某一点的塑性应变大于某一临界值时，原始裂纹萌生并扩展。裂纹扩展导致岩石损伤。该模型中定义的损伤因子D为(O'connell R J等人，1974): D = 1-exp (S2)。岩石损伤前后的弹性常数有如下关系:
岩石断裂和损伤
式中:e、g、μ分别为未受损岩石的弹性模量、剪切模量和泊松比，并标注了受损岩石中的量。在该模型中，岩石损伤前后的弹性常数与损伤变量之间存在明显的关系。
上述损伤变量的定义不便于工程应用，工程实践中常采用一些简单明了的损伤变量定义方法。
(1)损伤变量由损伤面积定义:如果材料的横截面积A由于分布的微裂纹和微孔的形成和扩展而减少到有效承载面积A*，则损伤变量D定义为(于天庆等，1993)。
岩石断裂和损伤
(2)根据弹性模量的减小定义损伤变量:设材料无损伤时的弹性模量为E，损伤变量D定义为(戴军，2002)因为损伤后的有效弹性模量变为。
岩石断裂和损伤
由于岩石的弹性模量可以通过实验直接测量，因此损伤变量易于量化，这一定义在实践中得到了广泛的应用。
(3)根据应力波衰减定义的损伤变量:当材料发生损伤时，其微观结构的变化会引起材料内部传播的弹性波速度的变化，因此材料的损伤可以定义为
岩石断裂和损伤
其中v是材料损伤前后的弹性波速度。
(4)分形维数定义的损伤变量:杨军等的研究工作表明(杨军等，1999)岩石中裂纹的分布是一个分形，裂纹分形维数的物理意义可以理解为岩石中裂纹填充空间程度的参数，岩石损伤的过程也是分形维数增大的过程。损伤变量与分形维数的关系如下:
岩石断裂和损伤
其中:β为形状影响因子，0 <β< 1；Rf是裂纹的平均半径；Df是裂纹的分形维数。
由于上述损伤模型都是在弹性范围内建立的，所以也称为弹性损伤理论，材料弹性常数之间的内在关系仍然成立(徐志伦，1982):
岩石断裂和损伤
在工程实践中，如果用应力波的衰减来定义损伤变量，不仅可以反映材料的逐渐劣化过程，而且很容易获得损伤参数。假设损伤变化过程中不考虑材料密度的变化，应力波衰减定义的损伤变量与弹性模量变化定义的损伤变量是一致的，即
岩石断裂和损伤
第二，损伤演化方程的建立
岩石在冲击载荷下的破坏主要与微裂纹的拉伸活化有关。岩石冲击实验和超声波实验揭示了应力波在损伤岩石中传播的衰减特征，即随着损伤的增大，应力波衰减更多，表现为衰减系数增大。因此，可以认为衰减系数α与损伤耗散能YD的关系反映了损伤演化的基本规律:
岩石断裂和损伤
其中:Kα是拟合常数；α0可视为岩石介质的初始衰减系数。随着应力波的传播和损伤的演化，介质的衰减系数增大，其损伤程度也越来越大。损伤参数和衰减系数之间的关系是线性的，即
岩石断裂和损伤
其中a和b是材料常数，公式(13-12)和(13-13)写成导数。
岩石断裂和损伤
其中C是材料常数(C=1/B)。方程(13-14)和(13-15)是体积拉伸下的损伤演化方程。
体积压缩下的损伤演化方程为
岩石断裂和损伤
式中:λ为损伤敏感参数；是压缩塑性功率；d是拉伸损伤。
3.损伤本构方程
冲击损伤模型本质上是一个弹性损伤模型，在体积拉伸状态下，其应力应变关系可以表示为(杨军等，1999)。
岩石断裂和损伤
上述公式被写成偏移部分和体积部分的比率形式:
岩石断裂和损伤
式中:k和g为受损岩石的体积模量和剪切模量；d是损伤参数；Eij是应变偏差张量；δij是单位张量。公式(13-14)，公式(13-15)，公式(13-18)，公式(13-19)。
在体积压缩下，采用理想弹塑性模型，屈服强度服从与应变率相关的摩尔-库仑准则，即
岩石断裂和损伤
式中:C1为静态屈服强度；C2是应变率参数；是等效塑性应变率；d是拉伸损伤；C3是围压常数；p是压力；σ1和σf为最大主应力和断裂应力。
第四，损害标准的确立
最大主应力准则和体积应力准则可以用来共同判断是否发生损伤累积。只要材料单元满足最大主应力准则，就会发生断裂损伤。如果材料单元断裂并处于体积拉伸状态，则发生损伤累积；在体积压缩状态下，如果满足最大主应力准则，设抗压强度Y=0，否则抗压强度服从与应变率有关的摩尔-库仑准则，即
岩石断裂和损伤
其中:C1，C2和C3是常数。在拉压两种情况下，只要损伤达到1，单元就失去承载能力，压力和偏应力都设置为零。