复杂性和悖论论文

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悖论主要包括逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论。

罗素悖论以其简单明了震惊了整个数学领域，导致了第三次数学危机。然而，罗素悖论并不是第一个悖论。不用说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里四十就已经发现了集合论中的矛盾。罗素悖论发表后，出现了一系列逻辑悖论。这些悖论让我想起了古代的骗子悖论。即“我在撒谎”“这句话是骗人的”。这些悖论的结合造成了很大的问题，促使大家关心如何解决这些悖论。

第一个发表的悖论是布拉里四十悖论，它是指序数按照其自然顺序形成一个有序集合。这个良序集根据定义也有一个序数ω，根据定义应该属于这个良序集。但根据序数的定义，序数序列中任意一段的序数大于该段内任意一个序数，那么ω应该大于任意一个序数，所以不属于ω。这是布拉里·福蒂在1997年3月28日巴洛莫数学会议上宣读的一篇文章中提出的。这是第一个发表的现代悖论，引起了数学界的兴趣，并导致了此后多年的热烈讨论。讨论悖论的文章有几十篇，极大地促进了对集合论基础的重新审视。

Blary Foday本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然序只是一个偏序，与康托尔几个月前证明的结果序数集相矛盾。后来Blary Foday也没有做这方面的工作。

罗素在他的《数学原理》中认为，虽然序数集合是全序的，但它不是良序的，但这种说法是不可靠的，因为任何给定序数的首段都是良序的。法国逻辑学家Jourdain找到了出路。他区分了相容集和不相容集。这种区分实际上已经被康托尔私下使用了很多年。不久之后，罗素在1905的一篇文章中质疑了序数集合的存在性，泽梅洛也有同样的想法，后来在这个领域也有很多人持同样的想法。

经典数学的悖论

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古今中外有许多著名的悖论，它们冲击了逻辑和数学的基础，激发了人们的求知和精确思维，引起了古往今来许多思想家和爱好者的关注。解决悖论问题需要创造性思维，而悖论的解决往往能给人带来新的思路。

本文将悖论大致分为六种类型，分为上、中、下三个部分。这是第一部分:自我指涉概念引起的悖论和引入无穷带来的悖论

(一)自我参照引起的悖论

下面的例子中有一个概念自指或自相关的问题:如果我们从一个正命题出发，就会得到它的负命题；如果我们从否定命题开始，我们将得到它的肯定命题。

1-1骗子悖论

公元前6世纪，哲学家埃庇米尼得斯，一个克里提人，说:“所有的克里提人都在撒谎，其中一个诗人也这么说。”这就是这个著名悖论的由来。

《圣经》中曾提到:“朴容洙族人中的一位当地先知说，‘凯尔特人经常说谎，但他们是邪恶的野兽，贪婪而懒惰’”(提多书1)。可见这个悖论是有名的，但保罗对它的逻辑解并不感兴趣。

人们会问:Epiminides在说谎吗？这个悖论最简单的形式是:

1-2“我在撒谎”

如果他在说谎，那么“我在说谎”就是谎言，所以他说的是实话；但如果这是真的，他又在撒谎了。矛盾在所难免。它的副本:

1-3“这句话不对”

这种悖论的一个标准形式是:如果事件A发生，则推导出非A，如果非A发生，则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的片面体是形象的表达。

哲学家罗素曾经认真思考过这个悖论，并试图找到解决办法。他在《我的哲学的发展》第七章“数学原理”中说:“自亚里士多德以来，任何学派的逻辑学家似乎都能从他们公认的前提中推导出一些矛盾。这说明有问题，但不能指出改正的方法。1903年春天，一个矛盾的发现打断了我正在享受的逻辑蜜月。”

他说:骗子悖论简单地概括了他发现的矛盾:“骗子说，‘我说的都是假的’。其实这是他说的，但这句话指的是他说的全部。只有把这句话包含在那个人群里，才会产生一个悖论。”(同上)

罗素试图通过分层命题来解决:“一级命题可以说是那些不涉及整体命题的命题；二级命题是那些涉及一级命题整体的命题；其余如是，甚至无穷。”但是这种方法并没有取得效果。“在整个1903年和1904年期间，我几乎完全致力于这件事，但我完全没有成功。”(同上)

数学原理试图在纯逻辑的前提下推导出整个纯数学，用逻辑术语解释概念，避免自然语言的歧义。但在这本书的序言中，他称之为“出版一本包含如此多未解决争议的书。”可见，要从数学基础的逻辑上彻底解决这个悖论并不容易。

接着他指出，在所有的逻辑悖论中，都有一种“反身的自我指涉”，即“它包含着关于那个整体的东西，而这种东西是整体的一部分。”这个观点很好理解。如果这个悖论是朴正洙认为的人说的，那就自动消除了。但在集合论中，问题就没这么简单了。

1-4巴伯悖论

在萨维尔村，理发师挂了一块牌子:“我只给村里那些不自己理发的人理发。”有人问他:“你给自己理发吗？”理发师顿时哑口无言。

这是一个悖论:理发师不理发，就属于招牌上的那种人。按照承诺，他应该给自己理发。另一方面，如果理发师自己剪头发，按照牌子，他只剪村里不自己剪头发的人的头发，他自己剪不了。

所以无论理发师怎么回答，都不能排除内在矛盾。这个悖论是罗素在1902年提出的，所以也被称为“罗素悖论”。这是集合论悖论的一个通俗而有故事的表达。显然，还有一个无法回避的“自我参照”问题。

集合论的1-5悖论

" R是所有不包含自身的集合的集合."

人们还会问:“R包含R本身吗？”如果不是，根据R的定义，R应该属于R，如果R包含自身，则R不属于R。

在罗素的集合论悖论发现数学基础有问题后，库尔特·哥德尔(捷克人，1906-1978)于1931年提出了一个“不完全定理”，打破了19世纪末数学家“所有数学系统都可以从逻辑推导出来”的理想。这个定理指出，任何一个公设系统都是不完整的，必然存在既不能肯定又不能否定的命题。比如对欧几里得几何中“平行线公理”的否定，产生了几个非欧几里得几何；罗素悖论也说明集合论的公理体系是不完整的。

1-6书目悖论

一个图书馆编了一本书名词典，里面列出了图书馆里所有没有列出自己书名的书。那么它会列出自己的标题吗？

这个悖论与巴伯悖论基本一致。

1-7苏格拉底悖论

苏格拉底(公元前470-399)，雅典人，有“西方孔子”之称，是古希腊伟大的哲学家，曾与著名的诡辩家普鲁特·戈拉斯、戈吉斯等人对立。他建立了一个“定义”来对付诡辩家令人困惑的修辞，从而找出了数百种杂七杂八的理论。但他的道德观念并没有被希腊人接受，在他七十岁的时候被视为诡辩派的代表。在驱逐普鲁特·戈拉斯和焚烧书籍十二年后，苏格拉底也被判死刑，但他的理论被柏拉图和亚里士多德继承。

苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事，那就是一无所知。”

这是一个悖论，我们不能从这句话推断苏格拉底是否不知道这件事本身。中国古代也有类似的例子:

1-7“言语充满矛盾”

这是庄子在《庄子·万物论》里说的。后期墨家反唇相讥:如果“万物反真理”，庄子的说法岂不是反真理？我们常说:

1-7“世界上没有绝对的真理”

我们不知道这句话本身是不是“绝对真理”。

1-8“荒谬的真相”

有些字典把悖论定义为“荒谬的真理”，这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。Paradox来源于希腊语“para+dokein”，意思是“多思考”。

这些例子都说明，逻辑上，他们无法摆脱自我指涉概念带来的恶性循环。有没有更进一步的解决方法？我们将在下一节的最后一部分继续讨论。