数学家轶事

卡尔·西奥多·威廉·卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯？，其姓氏可以写成Weierstrass，1815 10 10月31-1897年2月19)，德国数学家，被誉为“现代分析之父”。奥斯坦费尔德(今德国)出生于威斯特法伦，卒于柏林。

Karl Veiershtrass的父亲是政府官员Wilhem Weierstrass母亲是提奥多拉·冯德福斯特。他在中学学习时对数学产生了兴趣，但高中毕业后，他进入波恩大学在政府部门工作。他想学的是法律、经济、金融，违背了他想学数学的愿望。他解决矛盾的办法不是关注布置的课程，而是继续私下自学数学。结果，他没有获得学位就离开了大学。他的父亲在明斯特的一所教师培训学校为他找到了一个位置，他后来在该市注册成为一名教师。在学习期间，他上过Christoph Gudermann的课，并对椭圆函数产生了兴趣。

1850之后，Veiershtrass病了很久，但他还是发表了论文，这让他名声大噪。1857柏林大学给了他一个数学椅。

1854年出版了一本关于阿贝尔函数论发展的专著——《论阿贝尔函数论》，公之于众。根据他的学术成就，哥尼斯堡大学授予他荣誉博士学位。1856被库默推荐为柏林大学(Freie Universit？t柏林)助理教授，1865晋升教授。在他去世之前，他的大部分研究成果都被教授和传播给学生。1886年发表函数论论文集。他的作品虽然不多，但发表过最有影响力的论文。

维尔斯特拉斯的主要贡献是在数学分析，解析函数论，变分法，微分几何和线性代数。他是一位将严格的论证引入分析的大师。他的批判精神对19世纪的数学产生了巨大的影响。在严格逻辑的基础上，他建立了实数理论，用单调有界序列定义无理数，给出了数集的上下限、极限点和连续函数的严格定义。在1861中，他还构造了著名的处处可微的连续函数，为分析的算术化做出了重要贡献。他完成了柯西引入的用不等式描述的极限的定义(所谓ε-δ定义)。在解析函数论方面，维尔斯特拉斯也做出了重要贡献。他建立了解析函数的幂级数展开定理和多元解析函数的基本理论，在代数函数论和阿贝尔积分方面取得了一些成果。在变分法中，他给出了带参数函数的变分结构，并研究了变分问题的间断解。在微分几何中，他研究了测地线和最小曲面。在性代数中，初等因子理论被建立并用于简化矩阵。他也是一位杰出的教育家，一生培养了一大批卓有成就的数学人才，包括柯瓦列夫斯卡娅、施瓦茨、塔米-莱弗勒、肖特基和富克斯。

少年数学天才

1826年9月17日，黎曼(1826-1866)出生在汉诺威Bre Slentz的一个乡村牧师家里，是六个孩子中的老二。

黎曼从小就热爱数学。6岁时，他开始学习算术，显示了他的数学天才。他不仅能解决所有留给他的数学问题，还经常问一些问题来捉弄他的兄弟姐妹。10岁时跟专业老师学习高等算术和几何，很快就超过了老师，经常对一些问题给出比较好的答案。

黎曼14岁在汉诺威上中学。由于经济拮据，他总是步行往返于汉诺威和农村小村庄之间。当然，他没有钱买参考书。幸运的是，中学校长及时发现了他的数学天赋。考虑到他的经济困难，校长授权黎曼从他的私人图书馆借数学书。在校长的推荐下，黎曼借了一本数学家勒让德的《数论》，这是一本长达859页的四页巨著。黎曼非常珍惜这次读书机会，他如饥似渴地自学。六天后，黎曼学完了，还了书。校长问他:“你读了多少？”黎曼说，“这是一本了不起的书，我已经掌握了。”几个月后，校长就书的内容对他进行了测试。黎曼回答问题如水，回答全面。利用校长的图书馆，黎曼还花时间快速自学了大数学家欧拉的著作，从而掌握了微积分及其分支。黎曼不仅从欧拉的著作中学到了数学知识，还学到了欧拉研究数学的技巧。

大学生涯

19岁，黎曼进入哥廷根大学。为了在经济上帮助家里，尽快找到一份有报酬的工作，他先学习了哲学和神学，但除了这两门课程，他还参加了数学和物理课程。他听了斯特恩关于方程理论和定积分的讲座，高斯关于最小二乘法的讲座和戈尔德斯·米特关于地磁的讲座，他对数学产生了兴趣。

黎曼把这一切都告诉了父亲，并请求允许他转数学专业。父亲衷心同意了他的请求。黎曼非常高兴，并深深感激他的父亲。

1847年，为了向更多的大师学习，黎曼转学到柏林大学，师从伟大的数学家雅各比、狄利克雷、施泰纳、爱森斯坦。他从雅各比那里学到了高等力学和代数，从狄利克雷那里学到了数论和分析，从斯泰纳那里学到了现代几何，从温斯坦那里学到了椭圆函数理论。

这期间他特别勤奋，连假期都不休息。1847的秋假，黎曼发现了几份《巴黎科学院学报》，里面有数学家柯西发表的一篇关于单复变解析函数的新论文。他一眼就看出这是一个新的数学理论，于是他在室内呆了几个星期，潜心研究柯西的论文，酝酿他对这个课题的新见解，为四年后写博士论文《单复变函数通论》奠定基础。

黎曼不仅认真研读大师的学术专著，还虚心向大师求教。有一次，狄利克雷来哥廷根度假，黎曼借此机会向他请教数学方面的问题，并把他未完成的论文递给他征求意见。狄利克雷被黎曼的谦虚、真诚和天才迷住了。他和黎曼长谈了两个小时，对黎曼的论文做了很多评论，对黎曼正在研究的课题给出了很多方向。黎曼受益匪浅。他说，如果没有狄利克雷的指导，他将不得不在图书馆苦读几天。

虽然他生活贫困，但他非常勤奋地学习，这使得黎曼在大学毕业时取得了丰硕的成果。1851结束时，黎曼将博士论文提交给大数学家高斯审阅。高斯看完论文后非常激动，对黎曼的论文评价很高，这对于高斯来说是不多见的。高斯评论说:“黎曼先生提交的论文提供了令人信服的证据，表明作者对本文讨论的这个问题进行了全面而深入的研究，表明作者具有创造性的、活跃而真实的数学头脑和辉煌的创造力。”

在贫困中求进步

1852年初，黎曼以优异的学习成绩获得博士学位，并留在了哥廷根大学。在19世纪中期的德国，科学几乎与国民经济毫无关系。大学的设立只是为了培养律师、医生、教师和传教士，为贵族子弟和富家子弟提供场所，让他们度过有吸引力和受尊重的岁月。只有正教授才能获得政府补贴，他们可以教授正规的标准课程。这些课程都是基础学科，上课的学生多，教授收的学费也多。这也是当时课程标准低的原因，因为如果课程太难，就没办法接收很多学生，会影响教授的收入。毕竟贵族子弟和富家子弟上大学的目的不是真心学习。而讲师则没有政府补贴，没有机会教授基本的正规课程。他们完全靠来听课的学生的学费生活。平时上课的学生不多，收入相当微薄，生活非常困难。当讲师是成为正教授的唯一途径。但是讲师什么时候可以晋升教授，没有明文规定。为了照顾一个特别有价值的学者，没有正教授的空缺，政府可以任命他为“客座教授”，使他有资格教授基本的正规课程，增加他的收入，但这种任命有附加条件，规定政府不会支付任何津贴。因此，在担任讲师期间，黎曼没有任何独立的生活费来源，生活依然贫困。

然而，尽管生活贫困，黎曼仍将全部精力投入到数学中。他觉得只要能勉强维持生计，让他学数学，他就满足了。他从来没有因为财务证据而沮丧过。他一方面积极准备“无偿讲师”的就职演讲论文，另一方面认真从事数学物理的研究工作。他的就职论文相当难。一开始，为了确定论文的题目，他向高斯提交了三个题目，让高斯从中选择一个。其中，第三个题目与几何基础有关。黎曼当时没有太多的案头准备工作，所以黎曼真心希望高斯不要选。但是，高斯对第三个题目研究得很深，他思考了60年。为了看看黎曼在这个深奥的问题上会做什么样的创造性工作，高斯把第三个题目指定为黎曼就职演说的题目。

事后，黎曼对父亲说了这件事，“所以我又陷入了绝望的境地”，“我不得不制造这个话题”。

黎曼对数学物理的研究也有着无限的热情。当时，他曾对人说:“我着迷于把一切与物理定律结合起来的数学研究。”“通过对电、光、磁之间关系的一般性研究，我找到了对这一现象的解释。这件事对我来说非常重要，因为这是我第一次可以把我的工作应用到未知的现象中。”这两项研究在当时都是高水平的，所以难度极大。尽管贫穷和营养不良，但黎曼忘记了工作，长期紧张地思考，以至于经常体力不支，甚至病倒。一旦他恢复了一点，他就继续他的研究。有志者事竟成。1854，10年6月，黎曼以论文《几何基础上的假设》发表就职演说，得到与会数学家的认可和赞扬。高斯听后大吃一惊。他觉得这个年轻人把这个难题处理得很好，赞不绝口。黎曼的这篇论文被认为是19世纪数学史上的杰作之一。

从65438年到0855年，哥廷根大学开始支付黎曼薪水，但是相当低。一年只相当于200美元。这一年里曼29岁，家里遭遇了巨大的不幸。他的父亲和一个姐姐相继去世，曾经依赖父亲的三姐妹失去了生活来源。于是riemann sum和他的兄弟们担起了照顾三姐妹生活的重担。黎曼总是担心家人的生活。1857年，黎曼年薪提高到相当于300美元。因为收入低，照顾三个姐妹的负担重，黎曼甚至不敢考虑自己的婚姻。然而就在这一年，不幸的是，它又从天上掉了下来，黎曼的哥哥又死了。这对黎曼来说就像是雪上加霜，照顾三个姐妹生活的重担落在了他一个人的肩上。在1855到1859的五年间，黎曼总是被经济困难和贫困所困，有时家里甚至陷入了自己需要计算口粮的境地。正是在这种情况下，黎曼不顾物质生活的贫困，仍然投身于数学研究，在崎岖的科学道路上奋力拼搏，取得了惊人的成就。他在数学方面的许多重要成就都是在这个时期完成的。他对阿贝尔积分和阿贝尔函数的研究开创了现代代数几何。他开创了用复解析函数研究数论的先河，开创了现代意义上的解析数论；他对超几何级数的研究促进了数学物理和微分方程理论的发展。随着研究成果的问世，黎曼在数学领域的学术声望迅速提升。他受到了许多世界著名数学家的称赞，获得了一个科学家通常能获得的最高荣誉。

大师之死

1859黎曼33岁时，高斯去世。他被任命为哥廷根大学的正教授，成为继狄利克雷之后高斯的第二接班人。这时，黎曼的生活开始好转，开始考虑个人婚姻问题，36岁时娶了朋友的姐姐。一年后，他的女儿在比萨出生。

然而，长期的贫困生活、过度劳累和旺盛的研究使黎曼变得虚弱和疲惫。1862年，黎曼患胸膜炎，不久得了肺病，一年后得了黄疸。尽管生病，只要还有一点力气，黎曼就坚持他的数学研究。虽然黎曼在此期间积极就医休养，但因病失明，最终没有效果。1866年7月20日，黎曼纯洁高尚的心停止了跳动。他过早地去世了，他也过早地离开了数学，享年40岁。

黎曼是数学史上最具原创性的数学家之一。他在数学的许多领域做了大量基础性和创造性的研究工作:他从几何方向开创了复变函数理论；是现代意义上解析数论的创始人；他亲自建立了黎曼几何，是组合拓扑学的先驱。他对微积分的严格处理做出了重要贡献；在数学物理、微分方程等领域也取得了丰硕的成果。1859年，黎曼当选为柏林传播学院院士，1866年，当选为法国巴黎传播学院院士和国外皇家学会会员。

黎曼的英年早逝，是德国数学界乃至全世界的遗憾！但是，他留给数学界的，在他为数不多的公开发表的论文中，有太多丰富的概念，没有被后来的数学家充分研究。

高斯

包括人[1]和物理单位[2]

[1]人:

卡尔·弗里德里希·高斯(卡尔·弗里德里希·高？，1777 . 4 . 30 ~ 1855 . 2 . 23)，德国数学家、物理学家、天文学家，出生于德国兹威克的一个贫苦家庭。他的父亲格哈德·迪·德里希当过护堤工、泥瓦匠和园丁。他的第一任妻子和他一起生活了65，438+00多年，因病去世，没有给他留下孩子。迪德里克后来娶了罗洁雅，第二年他们的孩子高斯出生，这是他们唯一的孩子。父亲对高斯要求极其严格，甚至有点过分，经常喜欢根据自己的经历为年轻的高斯规划人生。高斯尊重父亲，继承了父亲诚实谨慎的性格。德·德里克死于1806年，当时高斯已经做出了许多划时代的成就。

在成长的过程中，年轻的高斯主要关注他的母亲和叔叔。高斯的祖父是一名石匠，30岁时死于肺结核，留下两个孩子:高斯的母亲罗洁雅和他的叔叔弗利尔德。弗利尔·里奇聪明热情，聪明能干，投身纺织贸易，成绩斐然。他发现姐姐的儿子聪明伶俐，于是把一部分精力花在这个小天才身上，用活泼的方式开发高斯的智力。几年后，已经成年并取得巨大成功的高斯回忆起叔叔为他所做的一切，深感这对他的成功至关重要。他想起自己多产的思想，悲伤地说“因为叔叔的去世，我们失去了一个天才”。正是因为弗利尔·里奇对人才有眼光，经常劝说妹夫让孩子发展成为学者，高斯才没有成为园丁或泥瓦匠。

在数学史上，很少有人像高斯那样幸运，有一个大力支持他成功的母亲。罗洁雅34岁才结婚，生下高斯时35岁。他有很强的个性、智慧和幽默感。高斯从出生开始，就对所有的现象和事物都非常好奇，他决心要弄个水落石出，这已经超出了一个孩子允许的范围。丈夫为此训斥孩子时，总是支持高斯，坚决反对固执的丈夫想让儿子和他一样无知。

罗杰亚衷心希望儿子能做一番大事业，也珍惜高斯的才华。但是，他不敢把儿子投入到当时无法养家糊口的数学研究中。19岁的时候，虽然高斯在数学上已经有了很多很大的成就，但她还是问她的朋友W·波尔约(非欧几何创始人之一j·波尔约的父亲):高斯会有前途吗？w·波尔约说她的儿子将成为“欧洲最伟大的数学家”，她激动得热泪盈眶。

七岁时，高斯第一次去上学。前两年没什么特别的事。1787岁，高斯10。他进入了第一次创办的学数学班。孩子们以前从未听说过像算术这样的课程。数学老师是Buttner，在高斯的成长过程中也起到了一定的作用。

根据一个在全世界广为流传的故事，高斯最著名的故事是，他十岁的时候，小学老师出了一道算术题:“算1+2+3 …+100 =？”。这对于初学算术的人来说很难，但高斯几秒钟就解决了答案。他利用了等差数列(等差数列)的对称性然后像求一般等差数列和的过程一样把数字两两放在一起:1+100，2+99，3+98，...49+52.然而，这很可能是一个不真实的传说。根据对高斯有过研究的著名数学史家E·T·贝尔的研究，布特纳给孩子们出了一道更难的加法题:81297+81495+81693+…+100899。

当然，这也是一个等差数列的求和问题(容差为198，项数为100)。布特纳一写完，高斯就完成了计算，把写有答案的小写字板交了上去。E. T .贝尔(E. T. Bell)写道，晚年的高斯经常喜欢和人谈论这件事，说当时只有他的答案是正确的，其他孩子都是错的。高斯没有明确说他是如何这么快解决问题的。数学史家倾向于认为高斯当时已经掌握了等差数列的求和方法。对于一个只有10岁的孩子来说，独立发现这种数学方法是不寻常的。贝尔根据高斯晚年自己的说法描述的史实应该更可信。而且这更能体现高斯从小就注重掌握更本质的数学方法的特点。

高斯的计算能力，主要是他独特的数学方法和非凡的创造力，使布特纳对他刮目相看。他特地从汉堡给高斯买了最好的算术书，说:“你已经超过我了，我没什么可教你的。”然后高斯和巴特尔的助手巴特尔建立了真挚的友谊，直到巴特尔去世。他们一起学习，互相帮助，高斯开始了真正的数学研究。

1788年，11岁的高斯进入一所文科学校。在他的新学校，他所有的课都很优秀，尤其是古典文学和数学。在巴特尔等人的推荐下，兹维克公爵召见了14岁的高斯。这个单纯、聪明但贫穷的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出做高斯的资助人，让他继续学业。

布伦兹威克公爵在高斯的成功中发挥了重要作用。而且这种作用实际上反映了现代欧洲科学发展的一种模式，说明在科研社会化之前，私人资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科研和科研社会化的转型期。

1792年，高斯进入布伦兹威克的卡罗琳学院继续深造。1795年，公爵为他支付了各种费用，送他去了德国著名的哥廷根大学，使高斯勤奋学习，按照自己的理想开始了创造性的研究。1799年，高斯完成了博士论文，回到了家乡不伦瑞克-兹威克。就在他因为担心自己的前途和生计而病倒的时候——虽然他的博士论文顺利通过，被授予博士学位，获得了讲师职位，但却没能吸引到学生，只好回到家乡，公爵伸出援手。公爵出钱印刷高斯的长篇博士论文，给他一套公寓，为他印刷《算术研究》，使这本书得以在1801出版。还承担了高斯的全部生活费。这一切让高斯非常感动。在博士论文和算术研究中，他写下了真挚的奉献词:“致大公”“您的恩情使我免除了一切烦恼，使我能够从事这一独特的研究”。

1806年，公爵在抵抗拿破仑指挥的法军时不幸阵亡，给高斯以沉重打击。他伤心欲绝，长期以来对法国人怀有深深的敌意。大公的死给高斯带来了经济上的困难，德国被法军奴役的不幸，第一任妻子的去世，这些都让高斯有些心灰意冷，但他是一个坚强的人，从不向别人透露自己的困境，也不让朋友安慰自己的不幸。直到19世纪，人们在整理他未发表的数学手稿时，才知道他当时的心态。在一次对椭圆函数的讨论中，突然插入了一个微妙的铅笔字:“对我来说，与其这样活着，不如去死。”

慷慨善良的恩人去世了，高斯不得不找一份合适的工作养家糊口。由于高斯在天文学和数学方面的杰出工作，他的名声从1802开始就传遍了整个欧洲。彼得堡科学院不断暗示，自从1783年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的地位就一直在等待高斯这样的天才。公爵在世时，极力劝阻高斯去俄国。他甚至愿意增加工资，为他建立一个天文台。现在，高斯面临着人生新的选择。

为了不失去德国最伟大的天才，德国著名学者B.A .冯·洪堡特(B.A.Von Humboldt)联合其他学者和政治家，为高斯赢得了哥廷根大学数学和天文学教授以及哥廷根天文台台长的特权职位。1807年，高斯去科廷根上任，他的家人也搬到了这里。此后，除了在柏林参加一个科学会议，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力不仅使高斯一家有了舒适的生活环境，高斯本人也能充分发挥自己的天才，还为哥廷根数学学校的建立和德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时也标志着科研社会化的良好开端。

高斯的学术地位一直备受人们推崇。他有“数学王子”、“数学家之王”的美誉，被认为是“人类历史上三位(或四位)最伟大的数学家之一”(阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉)。人们还称赞高斯是“人类的骄傲”。天才，早熟，高产，持久的创造力，...，几乎所有人类智能领域的赞美之词对高斯来说都不过分。

高斯的研究领域涵盖了纯数学和应用数学的所有领域，开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至具体成果来看，他都是18-19世纪之交的中坚人物。如果我们把18世纪的数学家想象成一系列高山，那么最后一个令人肃然起敬的高峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象成河流，那么他们的源头就是高斯。

虽然数学研究和科学工作在18年末并没有成为一个令人羡慕的职业，但高斯还是生逢其时，因为欧洲资本主义的发展使得世界各国政府在他接近30岁的时候开始重视科学研究。随着拿破仑对法国科学家和科学研究的重视，俄国沙皇和欧洲许多君主开始用新的眼光看待科学家和科学研究。科学研究的社会化进程不断加快，科学的地位不断提高。作为当时最伟大的科学家，高斯获得了很多荣誉，很多世界著名的科学家都把高斯当做自己的老师。

1802年，高斯被俄罗斯彼得堡科学院选为通信院士和喀山大学教授。1877年，丹麦政府任命他为科学顾问，今年，德国汉诺威政府也聘请他为政府科学顾问。

高斯的一生是典型的学者的一生。他一直保持着一个农民的节俭，让人很难想象他是一个伟大的教授，是世界上最伟大的数学家。他结过两次婚，几个孩子让他很烦。但是，这些对他的科学创造影响不大。在获得了很高的声誉，德国数学开始称霸世界之后，一代天骄完成了人生的旅程。

在照片处理软件photoshop中，有一个菜单叫高斯模糊，对于模糊一些不需要的地方非常有用。高斯(Gauss 1777~1855)出生于德国中北部的不伦瑞克。他的祖父是农民，父亲是泥瓦匠，母亲是泥瓦匠的女儿，还有一个非常聪明的弟弟——高斯叔叔，他对高斯照顾得很好，偶尔还会给他一些指导，而他的父亲可以说是一个“大老粗”，认为只有实力才能赚钱，学习这种工作对穷人毫无用处。

高斯很早就表现出很大的天赋，三岁就能指出父亲书中的错误。七岁那年，我进了一所小学，在一间破旧的教室里上课。老师对学生不好，经常认为在穷乡僻壤教书是人才。高斯十岁的时候，他的老师参加了著名的“从一到一百”的考试，终于发现了高斯的天赋。他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本很深的数学书给高斯看。与此同时，高斯与比他大差不多十岁的助教巴特尔斯熟识，巴特尔斯的能力远高于老师。后来，他成了大学教授，给高斯教授更多更深的数学。

老师和助教去拜访高斯的父亲，请求他让高斯接受高等教育。但高斯的父亲认为儿子应该像他一样做泥水匠，没有钱让高斯继续学业。最后的结论是——找有钱有势的人做他的靠山，虽然不知道去哪里找。这次拜访后，高斯摆脱了每天晚上织布，每天和巴特尔讨论数学，但很快巴特尔就没什么可以教高斯的了。

1788年，高斯不顾父亲反对，进入高等教育机构。数学老师看了高斯的作业后，告诉他不要再上数学课了，他的拉丁语很快就超过了全班。

1791年，高斯终于找到了一个靠山——布伦瑞克公爵布伦瑞克，并答应尽一切可能帮助他。高斯的父亲没有理由反对。第二年，高斯进入布伦瑞克学院。这一年，高斯十五岁。在那里，高斯开始学习高等数学。独立发现了二项式定理的一般形式、数论中的二次互易定律、素数定理和算术几何平均。

1795高斯进入哥廷根(G？Ttingen)大学，因为他在语言和数学方面极有天赋，所以有一段时间他一直在担心以后是专攻文言文还是数学。到1796，17岁的高斯得到了数学史上一个极其重要的结果。正是绘制正七边形尺规的理论和方法，使他走上了数学之路。

希腊时代的数学家已经知道如何用尺子做出一个正的2m×3n×5p的多边形，其中m是正整数，n和p只能是0或1。然而，两千年来，没有人知道正七边形、九边形和十边形的规则画法。高斯证明了:

当且仅当N是以下两种形式之一时，可以用标尺绘制正N多边形:

1、n = 2k，k = 2，3，…

2，n = 2k ×(几个不同费马素数的乘积)，k = 0，1，2，…

费马素数是Fk = 22k形式的素数。比如F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257，F4 = 65537都是质数。高斯用代数解决几何问题已经有2000多年了。他也视之为一生的杰作，叫他把正七边形刻在自己的墓碑上。但后来，他的墓碑上并没有刻上七边形，而是刻上了一颗17角星，因为负责雕刻的雕塑家认为，正七边形与圆形过于相似，所以大家会分不清。

1799年，高斯提交了他的博士论文，证明了代数的一个重要定理:

任何多项式都有(复数)根。这个结果被称为“代数基本定理”。

事实上，很多数学家认为这个结果的证明在高斯之前就已经给出了，但没有一个是严谨的。高斯逐一指出了以往证明的不足，然后提出了自己的见解。在他的一生中，他给出了四种不同的证明。

1801年，高斯二十四岁时，发表了用拉丁文写成的《问题算术AE》。本来有八章，但由于缺钱，他只好印了七章。这本书除了第七章的代数基本定理外，都是数论。可以说是第一部系统的数论著作，高斯第一次引入了“全等”的概念。“二次互等定理”也在其中。

二十四岁时，高斯放弃了纯数学的研究，研究了几年天文学。

当时天文学界对火星和木星之间的巨大差距感到担忧，认为火星和木星之间应该还有行星没有被发现。1801，意大利