几何问题的代数论文
200年后，欧几里德把人们公认的一些事实列为定义和公理，并利用这些定义和公理，用形式逻辑的方法研究各种图形的性质，从而建立了一套论证命题并从公理和定义中获得定理的几何论证方法，形成了一个严格的逻辑体系——几何学。
经过几千年的变化，人们对形状的研究变得越来越复杂，这时候霍奇猜想就应运而生了。
霍奇猜想诞生的背景
17
世纪70
20世纪80年代以前，几何和代数有了长足的发展，但它们是两个独立的学科。笛卡尔比较了当时的几何方法和代数方法，他主张把几何问题化简为代数问题，用代数方法进行计算和证明，最终解决几何问题。根据这一思想，他创立了我们现在所说的“解析几何”。
笛卡尔的数学思想证明，如果你进一步抽象，几何其实和代数是一样的，几何可以转化为代数方程，代数方程也可以转化为几何图形。
如果你想知道一条线在哪里穿过一个特定的圆，你可以用几何方法画出这个形状，或者只是用代数方法比较方程。两种方法都会给出相同的答案。
19世纪，数学家试图推广笛卡尔的方法。他们从一些代数方程入手，将这些方程的解定义为“几何”对象。以这种方式由代数方程生成的对象称为“代数簇”。
球面射影空间上的代数簇
因此，代数簇是几何图像的推广。任何几何对应都是代数簇，但是很多代数簇是无法可视化的。但是，仅仅因为一个特定的代数簇不能被可视化，你就不能在它上面做(代数)几何。可以做，但是这是没有图形的几何。
在那之后，数学家们很快发现，更复杂的方程，甚至方程组，可以在各种维度上协同工作，产生令人惊叹的形状。
数学家们已经找到了一种非常实用的方法来获得更复杂的形状。基本的想法是，我们可以在多大程度上通过将尺寸不断增加的简单几何积木粘合在一起来形成给定物体的形状。这项技术非常容易使用，因此可以通过许多不同的方式进行推广。
数学家们希望通过这种方法，以不同的方式一步步展开，最终建立起一套强大的代数方程或/和几何工具，从而将各种复杂的物体归类为一些特定的简单几何物体及其组合。这使得数学家在对研究中遇到的各种物体进行分类方面取得了很大的进步。
不幸的是，在这个扩展中，程序的几何起点变得模糊了。在这个延伸过程中，几何起点变得模糊不清——简单的几何对象由此组合而成；什么是组合程序/序列？因此，在没有任何几何解释的情况下，需要添加一些“非几何”的基本模块。
基于这种困境，1958年，英国数学家、13届国际数学大会主席Hodge教授提出，任何Hodge类都可以表示为非奇异复射影代数簇空间上代数闭链类的有理线性(几何分量)组合。
这句话是什么意思？“非奇异射影代数簇”是指由一个代数方程的解生成的光滑多维物体的“表面”。简单来说，任何形状的任何几何图形，无论多复杂(只要你能想到)，都可以由一堆简单的几何图形组合而成。
霍奇猜想的意义
自伽罗瓦群论诞生以来，现代数学倾向于提取对事物本质的抽象理解。
一百多年来，数学家们不断在抽象的基础上构建更深层次的抽象，每一层抽象都离我们的日常经验世界更远。以群论为例，我们一般的“加减乘除”抽象为四种算法。
霍奇猜想是在现代数学的极端抽象体系下诞生的难题。作为一个专业性很强的问题，它所处理的对象与人的直觉相差甚远，以至于很难判断猜想本身的对错，甚至问题本身的表述都是在寻求建立一种真正的* * *知识。
也就是说，这个问题的表述是否严谨合理，在数学领域还是有争议的。甚至有人说，应该更准确的叫不着边际的猜测。
霍奇猜想的证明将在代数几何、分析和拓扑学之间建立一种基本的联系。
霍奇猜想证明的进展
美国数学学会出版了一本关于霍奇猜想研究进展的书。在其序言的开头，有一段关于霍奇猜想的陈述，被本书描述为这个猜想的“通俗版”:
这本书已经出版了两次。第二版出版于1999，* * *有368页，每页密密麻麻。根据已知情况更新。它列出了从1950到1996发表的71篇论文，这些论文只是关于这个猜想的一个方面，即所谓阿贝尔簇上的Hodge猜想。在前言中，这本书的作者承认，即使有这个附录，这个全面的报告仍然是不完整的，读者应该参考其他材料。
也就是说，从1958开始，霍奇猜想的研究进展几乎为零，唯一被证明的突破是在霍奇猜想提出之前，由美国数学家莱夫谢茨在1925年解决的。他证明了霍奇猜想的一个例子。
复杂几何图形
与著名的庞加莱猜想、哥德巴赫猜想等相比。，霍奇猜想堪称世界上最难的数学问题。半个多世纪以来，数学家们对此仍不知所措。
目前中国两位80后数学家，北京大学数学科学研究所毕业的荀志伟和张伟，在函数域证明了高阶Gan-Gross-Prasad猜想。张炜和云智威发现并证明的公式与七个千年问题中的三个(霍奇猜想、黎曼假设和BSD猜想)有关。在接受央视采访时，云智威说:“我们的方程是数论和几何的连接。几何方面与代数几何中的霍奇猜想有关，数论方面与黎曼假设中的黎曼ζ函数有关。这个方程本身可以看作是BSD猜想框架下的一些扩展。”
云智威，张伟
希望中国数学家能在这个几千年未解的难题上有一点突破，让数学家们知道霍奇猜想会引向何方。