数学论文中国古代数学的成就
(一)把纯循环小数变成分数
众所周知，一个有限的分数可以分成母为10，100，1000的分数...那么，一个纯循环小数可以约化成什么样的分数的分母呢？让我们从一个简单的一位数的循环小数开始。比如，@ ①，@ ②.....当它们被分成分量数时，它们的分母可以写成什么？
想一想:会不会是10？不会吧。因为1/10 = 0.1 < @ ①，3/10 = 0.3 > @②；会不会是8？不会吧。因为1/8 = 0.125 > @ ①，3/8 = 0.375 > @②；那么，会是什么呢？因为1/10 < @ ① < 1/8，3/10 < @ ② < 3/8，母亲可能是9。来测试一下我们的猜想:1/9 = 1÷9 = 0.111...= @ ①;3/9=1/3=1÷3=0.333……= @②。
计算结果表明我们的猜测是正确的。那么，所有循环段都是一位数的纯循环小数可以写成分母为9的分数吗？让我们根据自己的猜测把@ ③和@ ④做成组件，然后进行验证。
@ ③ = 4/9验证:4/9 = 4÷ 9 = 0.444...
@ ④ = 6/9 = 2/3验证:2/3 = 2 ÷ 3 = 0.666...
经过上述猜想和验证，我们可以得出如下结论:当一个循环段是一个数字的纯循环分数分量数时，以循环段组成的数为分子，9为分母；然后，能切点就再切点。
如何把一个循环段为两位数的纯循环小数变成一个数？比如，@ ⑤，@ ⑤...他们的分母能写多少？
你想想:会不会是100？不会吧。因为12/100 = 0.12 < @⑤，13/100 = 0.13 < @⑤。会不会是98？不会吧。因为12/98 ≈ 0.1224 > @ ⑤，13/98≈0.1327 > @⑤；可能是多少钱？因为12/100÷@⑤÷12/98，13/100÷@⑤13/98，分母可能是99。是否正确，有待考证。
12/99=12÷99=0.121212……=@⑤;
13/99=13÷99=0.131313……=@⑥。
验证结果表明我们的猜测是正确的。那么，循环段中两位数的纯循环小数是否都可以写成分母为99的分数？我们再用猜想的方法，把@ ⑦和@ ⑧分成分后查一下。
@ ⑦ = 15/99 = 5/33，验算:5/33 = 5÷33 = 0.151515...
@⑧= 18/99 = 2/11，验算:2/11 = 2÷11 = 0.18655。
经过这个猜想和验证，我们可以得出如下结论:当循环段是两位数的纯循环分数分量数时，用一个循环链组成的数作为分子，99作为分母；然后，能切点就再切点。
现在可以推断循环段是三位纯循环小数的一种方法吗？
因为当循环段是一位数的纯循环小数部分时，以9为分母，当循环段是两位数的纯循环小数部分时，以99为分母，所以当循环段是三位数的纯循环小数部分时，我们猜测以999为分母，分子也是由循环段组成的数。我们再核实一下。如果这个猜想是正确的，那么我们可以反过来推下去。
附图(图)
实验证明我们的猜测完全正确。据此，当循环段是四位数的纯循环小数成分时，将使用9999作为分母。实践证明也是正确的。因此，纯循环中元件的小数位数的方法是:
使用数字，如9，99，999.....作为分母，而9的个数与循环段的位数相同；使用由环状节点组成数作为分子；提供最后可以减少的点数。
第二，把混合循环小数变成分数。
我们用猜想验证的方法研究了如何把一个纯循环小数变成一个分数，然后用这种方法研究了如何把混合循环小数变成一个分数。
或者从一个简单的数字开始，例如:
附图(图)
.....当这个循环段中只有一位混合循环小数成分数时，分子和分母分别有什么特点？
可以这样想:混合循环小数有循环部分和非循环部分。是否可以改写为一个纯循环小数和一个有限小数之和，然后转换成一个分量数？让我们试一试。
附图(图)
观察上面的过程，能看出循环段只有一位数的混合循环小数的特点吗？很容易看出，它们的分母都是由一个9和几个0组成的数。仔细观察可以发现，零的个数和无环部分的个数完全一样。它的分子有什么特点？不难看出，它们的分子比无环部分和第一个环节点形成的数要小。它小了多少？让我们计算一下:
(1)21-19=2 (2)543-489=54 (3)696-627=69
仔细观察，不难看出分子只是由无环部分的数组成的数，小于由无环部分和第一个环节点组成的数。这个规律具有普遍性吗？让我们用上面的规则来放
附图(图)
组件号，并验证其正确性。
附图(图)
验证:352/1125 = 352÷1125 = 0.312888...
验证的结果是完全正确的。然后，循环部分是由两位数的混合循环小数形成的分数。分子和分母有这样的规律吗？分子是由比小数的无环部分和第一个循环部分组成的数少一个无环部分的数组成的数；分母是由9和0组成的数。0的数量与非循环部分的数量相同，9的数量与循环部分的数量相同。我们来猜猜看。
附图(图)
把它分成几个部分，然后进行验证。
附图(图)
实践证明，我们的猜测是正确的。那么，可以混合循环小数，其循环段是三位数还是四位数...，也这样分分数？让我们把
附图(图)
零部件编号后，再次验证。
附图(图)
验证的结果也是正确的，说明我们的猜测可能是正确的。这种方法确实是正确的。当然，当我们使用猜测和验证的方法时，我们可能并不总是猜对。如果不正确，需要根据具体情况进行修改，然后进行验证，直到正确为止。
猜想验证的方法是人类探索未知的重要方式。很多科学规律都是靠猜想发现的，然后不断验证，猜想，验证。猜想验证也是一种重要的数学思维方法。不仅要给学生讲解具体的知识，还要让他们从小就学会运用这种思维方式。
关于未存储在字体中的单词的注释:
@ ①原字0.1，加1。
@ ②原字0.3，加3。
@ ③原字0.4，加4。
@ ④原字0.6，加6。
@ ⑤原字0.12，加12。
@ ⑥原字0.13，加13。
@ ⑦原字0.15，加15。
@ ⑧原字0.18，加18。