勾股定理的证明

在中国最早的数学著作《周并行算经》的开头，有一段周公向商高请教数学知识的对话。周公问:“听说你很精通数学。请问:天上没有梯子可以上去，地上也不能用尺子一段一段的量。那么如何才能得到关于天地的数据呢？”商高答:“数来自对方和圈子的肉体饥渴。有一个原理:当直角三角形‘矩’得到的一个直角边‘钩’等于3，另一个直角边‘弦’等于4时，那么它的斜边‘弦’一定是5。这个道理是大禹治水时总结出来的。”从上面的对话可以看出，中国古代的人们早在几千年前就已经发现并应用了勾股定理，这是理解数学的重要原理。稍微懂点平面几何的读者都知道，勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图，我们用hook (a)和strand (b)分别表示直角三角形得到两条直角边，用chord (c)表示。那么就可以得出勾股定理，即:a2+b2=c2，在西方被称为勾股定理，据说是古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯在公元前550年首先发现的。实际上，中国古代人民对这一数学定理的发现和应用，要比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法准确考证，那么周公与商的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周，比毕达哥拉斯还要早500多年。其中3股4弦5的钩是勾股定理(32+42=52)的一个特例。所以现在称之为数学中的勾股定理应该是非常恰当的。在后来的一本书里，“把钩和弦分别相乘，然后把它们的乘积加起来，再做一个根，就可以得到弦了。”把这段话写成一个方程，就是弦=(钩2+股2)(1/2)，也就是中国古代的c=(a2+b2)(1/2)。三国时的数学家赵双，画出了勾股方图，并用形数结合的方法对勾股定理作了详细的证明。在这幅毕达哥拉斯正方形图中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由四个相等的直角三角形加上中间的小正方形组成的。每个直角三角形的面积是AB/2；如果我们知道一个小正方形的边长是b-a，面积就是(b-a)2。那么我们可以得到如下公式:4*(ab/2)+(b-a)2=c2。简化后我们可以得到:a2+b2=c2，即c=(a2+b2)(1/2)。它严谨而直观，为中国古代独树一帜的形式数证明、形式数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的风格树立了典范。以后的大多数数学家都继承了这种风格，并代代发展。比如刘徽后来用了用形式证明勾股定理的方法，只是具体数字的划分、组合、补充略有不同。中国古代数学家发现并证明了勾股定理。它在世界数学史上有着独特的贡献和地位，尤其是“形数统一”的思想方法，对科学创新具有重要意义。事实上，“形数统一”的思想方法是数学发展的一个极其重要的条件。正如中国当代数学家吴文俊所说:“在中国传统数学中，量与空间形式的关系往往是并肩发展的。是笛卡尔在17世纪发明的解析几何。

勾股定理的证明方法(10多种)

证明1(教材的证明)做八个全等的直角三角形。设它们的两条直角边为A和B，斜边为C，然后做三个边分别为A、B、C的正方形，做成上图所示的两个正方形。从图中可以看出，这两个正方形的边都是a+b，所以面积相等。即在证明2(邹的证明)中，以A、B为直角边，C为斜边，做四个全等的直角三角形，每个直角三角形的面积等于。把这四个直角三角形摆成如图所示的形状，使A、E、B在一条直线上，B、F、C在一条直线上，C、G、D在一条直线上。，∴ ∠AEH + ∠BEF = 90？。∴ ∠HEF = 180？―90?= 90?。∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形，它的面积等于C2。∫rtδgdh≌rtδhae，∴ HGD = ∠ EHA。∫∠HGD+∠GHD = 90？，∴ ∠EHA + ∠GHD = 90？∫∠GHE = 90又来了？，∴ ∠DHA = 90？+ 90?= 180?。∴ ABCD是一个边长为a+b的正方形，其面积等于..∴.

关于勾股定理的证明

勾股定理的证明:在这几百种证明方法中，有的非常精彩，有的非常简洁，有的因为特殊的身份而非常出名。

首先介绍了勾股定理最精彩的两个证明，据说分别来自中国和希腊。1.中国法:画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中A和B为直角边，C为斜边。

这两个正方形全等，所以面积相等。左图和右图各有四个与原直角三角形相同的三角形，左右三角形的面积之和必须相等。

如果左图和右图中的四个三角形都被删除，则该图剩余部分的面积将相等。左图还剩两个方块，分别以A和B为边。

右边是一个以C为边的正方形。所以a 2+b 2 = c 2。

这是我们几何课本上介绍的方法。直观简单，谁都看得懂。

2.希腊方法:直接在一个直角三角形的三条边上画正方形，如图。很容易看出△ABA '≔△AA ' c。

画一条穿过C到A''B ' '的垂直线，在C '处与AB交叉，在C '处与A''B ' '交叉。△ABA '和正方形ACDA '的底高相同，前者的面积是后者的一半，△AA''C和矩形AA''C''C '的底高相同，前者的面积也是后者的一半。

从△ABA '≔△AA ' ' C可知，正方形ACDA '的面积等于长方形AA''C''C '的面积。同样，正方形BB'EC的面积等于长方形B''BC'C '的面积

因此，S平方AA''B''B=S平方ACDA'+S平方BB'EC，即a2+b2=c2。至于三角形面积是同底同高的矩形面积的一半，可以用挖填法得出(请自行证明)。

这里只用到了简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中的证明。

以上两种证明方法之所以奇妙，是因为它们用的定理很少，只用到了面积的两个基本概念:(1)同余的面积相等；⑵将一个图形分成若干部分，每一部分的面积之和等于原图形的面积。这是一个任何人都能理解的完全可以接受的简单概念。

中国历代数学家论证勾股定理的方法很多，对于勾股定理的图解也很多，其中赵双(即赵)在他的论文《勾股方图解》中证明了勾股定理，该论文附于《周髀算经》。采用挖填法:如图所示，图中的四个直角三角形用朱砂涂色，中间的小正方形用黄色涂色，称为中间黄色实心，以弦为边的正方形称为弦实心。然后经过东拼西凑、搭配，“入口与出口相得益彰，各按其型”，他肯定了勾股三和弦之间的关系符合勾股定理。

即“毕达哥拉斯股互乘，且为弦实，方除，即弦也。”赵爽的勾股定理证明，说明中国数学家有高超的证明问题的思想，简洁直观。

西方许多学者研究了毕达哥拉斯定理，给出了许多证明方法，其中毕达哥拉斯给出了有文字记载的最早证明。据说他证明勾股定理的时候欣喜若狂，杀了一百头牛庆祝。

因此，西方国家也称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从得知他的证明方法。

以下是美国第二十任总统加菲尔德对勾股定理的证明。如图，S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)，① S梯形ABCD = S△AED+S△EBC+S△CED = a b+ BA+C2 =(2ab+C2)。

②比较以上两个公式，可以得到a2+b2=c2。这个证明因为使用了梯形面积公式和三角形面积公式，所以相当简洁。

4月1876日，加菲尔德在《新英格兰教育杂志》上发表了他对勾股定理的证明。五年后，加菲尔德成为美国第二十任总统。

后来，为了纪念他对勾股定理直观、简单、易懂、清晰的证明，人们把这个证明称为勾股定理的“总统式”证明，被传为数学史上的佳话。研究相似三角形后我们知道，在一个直角三角形中，斜边上的高度把直角三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形。

如图所示，在Rt△ABC中，∠ ACB = 90。使CD⊥BC，竖足为d

然后△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。从△BCD∽△BAC可以得到BC2=BD？BA，① AC2=AD可由△CAD∽△BAC得到？AB .

②我们发现，把①和②相加，可以得到BC2+AC2=AB(AD+BD)和AD+BD=AB，于是就有了BC2+AC2=AB2，也就是a2+b2=c2。这也是证明勾股定理的一种方法，也很简洁。

它利用了相似三角形的知识。在勾股定理的众多证明中，人们也会犯一些错误。

比如有人给出了以下证明勾股定理的方法:设△ABC，∠c = 90°，cosC=0从余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，因为∠c = 90°。所以a2+b2=c2。

这种看似正确简单的证明方法，实际上犯了循环证明理论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

人们之所以对勾股定理感兴趣，是因为它可以推广。欧几里德在《几何原本》中给出了勾股定理的一个推广定理:“直角三角形斜边上的一条直边，其面积为两个直角上两条相似直边的面积之和”。

从上面的定理可以推导出下面的定理:“如果以直角三角形的三条边为直径做一个圆，以斜边为直径的圆的面积等于以两条直角边为直径的两个圆的面积之和”。勾股定理还可以推广到空间:如果用直角三角形的三条边作为对应的边来做相似的多面体，那么多面体在斜边上的表面积等于两个多面体在直角边上的表面积之和。

如果用直角三角形的三条边做球，球在斜边上的表面积等于两个直角边上做的两个球的表面积之和。诸如此类。

另外八年级数学勾股定理的证明(介绍16证明方法)(数学教案)ydgz/。

描述并证明勾股定理。

证明了左边的正方形由边长为A的1正方形和边长为B的1正方形以及边长为A和B、斜边为C的四个直角三角形组成，右边的正方形由边长为C的1正方形和边长为A和B、斜边为C的四个直角三角形组成，因为这两个正方形的面积相等，所以我们可以把方程a2+B2+4 * 12AB = C2+4 * 12AB列出来，简化为a 2 +b 2 =c 2。下面是一个错误证明:勾股定理:直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方的性质称为勾股定理或勾股定理，也称为勾股定理或勾股定理。A)，斜边的长度为C .然后用边长为C做一个正方形，把它们做成如图所示的多边形，使E，A，C在一条直线上。交点q为qp∑BC，交点AC为p，交点b为BM⊥PQ，竖尺为m；使FN⊥PQ在f点后，垂足为n .∫∠BCA = 90，qp∨BC，∴∠ MPC = 90，∵BM⊥PQ，∴∠ BMP。∠ BCA = 90，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA.同样，Rt△QNF≌Rt△AEF也可以证明，即a 2 +b 2 =c 2。

勾股定理的证明方法有图形，难度较大，方法多样

刘徽在证明勾股定理时，也用了用形式证明数的方法，只是具体的除法、组合、补充略有不同。刘辉的证明本来是有图的，可惜图已经丢了，只留下一段话:“钩乘朱芳，股乘方清，使进场和出场相得益彰，其他也一样，合成了和弦的力量。除了根，和弦也。”以钩A为边的正方形是朱芳，以股票B为边的正方形是方清。盈余弥补了不足，朱芳和方清组合成一个和弦方块。根据它们的面积关系，有a+b = c。因为朱芳和方清各有一部分在弦方块中，那部分不会移动。以钩子为边的正方形是朱芳，以股票为边的正方形是方清。当III移到III '时，一个以弦为边长的正方形(C的平方)就被拼出来了。由此可以证明A的平方+B的平方= c的平方，这个证明是三国时期魏国数学家刘徽提出的。魏景元四年(即公元263年)，刘徽对古书《九章算术》进行了注释。在注释中，他画了一个类似图5 (b)的图来证明勾股定理。因为他在图形中用“绿出”和“朱出”来表示黄、紫、绿，并解释了如何用“绿入”和“朱入”来填充斜边正方形的空白部分，后来数学家把这个图形称为“绿入出”。也有人用“进与出，相得益彰。

什么是勾股定理？有哪些方法可以用来证明问题？

在任意直角三角形(RT△)中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理。即钩的平方加上股的平方等于弦的平方(6根)。(直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。)勾股定理是余弦定理的特例。这个定理在国内也叫“商高定理”(据说大禹治水的时候，水利中的计算问题会用到这个定理)，在国外叫毕达哥拉斯定理或百牛定理。(毕达哥拉斯发现这一定理并斩首百头牛以示庆祝，故又称“百头牛定理”)，法国和比利时也称这一定理为“驴桥定理”(驴桥定理——欧几里得《几何原本》第一部分)求等边三角形。命题2:找一个已知点作为端点，做一条线段等于已知线段。命题3:找两条已知大小的线段，在大线段上找一条线段等于小线段。命题4:两个三角形的两边及其夹角相等。那么这两个三角形是相同的。命题5:等腰三角形的两个底角相等。他们发现勾股定理比中国晚(中国是最早发现这个几何宝藏的国家)。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多使用赵爽的弦图，用格林-朱通路图证明是一个基本的几何定理。勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一。也是数形结合的纽带之一。直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。若A、B、C分别代表直角三角形的两条直角边和斜边，则A ^ 2；+b^2；=c^2；勾股定理指出，直角三角形(即钩子的短边和一股的长边是钩子)的边的平方和等于斜边(即弦)的边的平方。也就是说，如果一个直角三角形的两条右边分别是A和B，斜边是C，那么A的平方+B的平方= C的平方？+b？=c？勾股定理的证明方法大约有500种，是数学定理中证明最多的定理之一。中国古代著名数学家商高说:“若勾三，股四，则弦五。”它被记载在《九章算术》中。它扩展到1。如果把直角三角形的斜边看作二维平面上的一个向量，把两个直角看作平面直角坐标系坐标轴上的投影，那么我们可以从另一个角度来考察勾股定理的意义，即向量长度的平方等于它在它的空间的一组正交基上的投影长度的平方和。

如何用小学证明勾股定理？我知道怎么教你。谢谢你。

勾股定理最早是由三国时期吴国数学家赵双证明的。用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明。在这个勾股定理中，弦被当作边。BDE这个名字是由四个相等的直角三角形加上中间的小正方形组成的。每个直角三角形的面积是AB/2。如果我们知道一个小正方形的边长是b-a，面积就是(b-a)2。那么我们可以得到如下公式:4*(ab/2)+(b-a)2=c2。简化后我们可以得到:a2+b2=c2，即c=(a2+b2)(1/2)。他在正方形上以毕达哥拉斯线为边切出(切出)一些区域，并把它们移到正方形以和弦为边的空白区域。结果刚好填了，用图解法彻底解决了问题。然后他给出了1的两种高度，然后用相似的三角形比例做出来。2.直角三角形被内接在一个圆里，然后扩展成一个长方形。最后，他用托勒密定理。