中学理科作文写什么？

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(渐行渐远~ ~ ~ ~)

拓扑学

拓扑定义

它是近代发展起来的研究连续性现象的数学分支。中文名起源于希腊语τ ο π ο λ ο γ？α的音译。拓扑学，原意为地貌，是19世纪中叶科学家引入的。当时主要是研究一些因数学分析的需要而产生的几何问题。到目前为止，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。

例如，在通常的平面几何中，如果平面上的一个图形移动到另一个图形上，如果它们完全重合，那么这两个图形称为共形。然而，拓扑学中研究的图形在运动中是变化的，不管它的大小或形状如何。在拓扑学中，没有不能弯曲的元素，每个图形的大小和形状都是可以改变的。比如欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时，没有考虑它的大小和形状，只考虑了点和线的数量。这些都是拓扑思维的起点。

简单来说，拓扑学就是研究有形物体如何在连续变换下保持其性质不变。

编辑此段落的拓扑属性。

拓扑性质是什么？首先我们引入拓扑等价，这是一个很容易理解的拓扑性质。

拓扑学中不讨论两个图之间的同余的概念，而是讨论拓扑等价的概念。比如圆、正方形、三角形虽然形状大小不同，但都是拓扑变换下的等价图。换句话说，从拓扑学的角度来看，它们是完全一样的。

在一个球面上选择一些点，用不相交的线连接起来，这样球面就被这些线分割成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍然与原数相同，这就是拓扑等价。一般来说，对于任意形状的封闭曲面，只要曲面不被撕裂或切割，其变换就是拓扑变化，拓扑等价是存在的。

需要指出的是，torus不具备这种性质。举个例子，如果圆环体被切割成左图所示，它不会被分成很多块，而只是变成一个弯曲的桶。在这种情况下，我们说球面在拓扑上不能变成环面。所以球面和圆环面在拓扑学上是不同的曲面。

一条直线上的点与线之间的组合关系和顺序关系在拓扑变换下保持不变，这是一种拓扑性质。在拓扑学中，曲线和曲面的封闭性质也是拓扑性质。

我们平时说的平面和曲面，通常都有两面，就像一张纸有两面一样。但是德国数学家莫比乌斯(1790 ~ 1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种表面不能两面涂不同的颜色。

拓扑变换的不变量和不变量有很多，这里不介绍了。

编辑此部分的拓扑开发

拓扑学建立后，由于其他数学学科的发展需要，也得到迅速发展。特别是黎曼创立黎曼几何后，他把拓扑的概念作为解析函数论的基础，进一步推动了拓扑学的进步。

二十世纪以来，集合论被引入拓扑学，为拓扑学开辟了新的面貌。拓扑学成为任意点集的对应概念。拓扑学中一些需要精确描述的问题可以用集合来讨论。

因为大量的自然现象是连续的，所以拓扑学具有与各种实际事物广泛联系的可能性。通过对拓扑学的学习，可以明确空间的集合结构，把握空间之间的函数关系。自20世纪30年代以来，数学家们对拓扑学进行了更深入的研究，提出了许多新概念。比如一致结构、抽象距离、近似空间等概念。数学中有一个分支叫微分几何，用微分工具研究线和面在一个点附近的弯曲，拓扑学研究面的全局联系。因此，这两个学科之间应该有某种本质的联系。1945年，中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何之间的联系，促进了全球几何的发展。

直到今天，拓扑学在理论上一直分为两个分支。一个分支专注于分析方法，称为点集拓扑，或分析拓扑。另一个分支专注于代数方法，称为代数拓扑。现在，这两个分支有了统一的趋势。

拓扑学广泛应用于泛函分析、李群理论、微分几何、微分方程等许多数学分支。

编辑此段落的简要历史。

拓扑学最早叫形势分析，是G.W .莱布尼茨在1679(翻译成中文，形势是指一个图本身的性质，势是指一个图与其子图的相对性质。后补(一致性空间，仿紧性等。)和30年代中期布尔巴基学派的排列，纽结和嵌入问题是潜在问题)。随后，波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质(可分性、紧性、连通性等)进行了系统的研究。).l欧拉在1736解决了七桥问题，在1750发表了多面体公式；C.F. Gauss 1833用电动力学中的线积分定义了空间中两条闭曲线的环绕数。拓扑(中文音译)这个词是J.B. Listing (1847)提出来的，来源于希腊语(位置、情境)和(知识)。这是胚胎阶段。

从1851开始，B. Riemann在复变函数的研究中提出了黎曼曲面的几何概念，并强调为了研究函数和积分，必须研究情形分析。从此开始了对拓扑学的系统研究。在点集理论的影响下，黎曼自己解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点(极限点)、开集、闭集、密度、连通性等等。在几何的研究中，黎曼明确提出了n维流形(1854)的概念。获得了许多拓扑概念，

组合拓扑学的创始人是h .庞加莱。在他的分析和力学工作中，特别是在由微分方程确定的复函数和曲线的单叶性研究中，他引出了拓扑问题，但他的方法有时不够严谨，他的主要兴趣是N维流形。在1895 ~ 1904期间，他建立了用细分法研究流形的基本方法。他引入了许多不变量:基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体的计算方法。他引入了许多不变量:基本群、同调、贝蒂数和挠系数。他讨论了三维流形的拓扑分类，提出了著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远，但他的方法有时不够严谨，过于依赖几何直觉。特别是在研究由微分方程确定的复函数和曲线的单值时，

拓扑的另一个来源是分析的严密性。正是在他的《分析与力学》一书中，实数的严格定义推动G. Cantor从1873开始系统地研究欧氏空间中的点集，得到了许多拓扑概念，如聚点(极限点)、开集、闭集、密度、连通性等等。在点集理论的影响下，分析中出现了泛函数(即函数)的概念，将函数集作为一个几何对象，讨论了它的极限。这最终引出了抽象空间的概念。这样，b .黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼曲面的几何概念。到20世纪之交，形成了组合拓扑学和点集拓扑学两个研究方向。这是胚胎阶段。

一般拓扑学是由弗雷歇首先研究抽象空间的，他在1906中引入了度量空间的概念。f·豪斯多夫在《集合论大纲》(1914)中定义了一个具有开邻域的相对一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的出现。l欧拉在1736解决了七桥问题，随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质(可分性、紧性、连通性等)进行了系统的研究。).后补(一致性空间，仿紧性等。)和布尔巴基学派的安排自20世纪30年代中期以来，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后* * *数学研究的同一基础。从其方法和结果对数学的影响来看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论最为重要。对紧致性和量化问题也进行了深入的研究。公理化一般拓扑学的近期发展可见于《一般拓扑学》。

比如对欧氏空间中点集的研究，一直是拓扑学的重要组成部分，已经发展到一般拓扑学和代数拓扑学的交集，也可以看作是几何拓扑学的一部分。20世纪50年代以来，以R.H. Bing为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识，提出了两个给定映射是否同伦的问题，对四维庞加莱猜想的证明起到了作用。由peano曲线引起的维数和连续统的研究也被看作是一般拓扑学的一个分支。

代数拓扑L.E.J Brouwer在1910 ~ 1912期间提出了用简单映射逼近连续映射的方法。用很多重要的几何现象来证明不同维数的欧氏空间有不同的胚胎，所以是不同的胚胎。引入同维流形之间的映射度来研究同伦分类，建立了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严谨方面达到了应有的水准，而欧拉数υ-e+？& gt是)。成为引人注目的主题。然后，J.W. Alexander在1915中证明了Betty数和挠系数的拓扑不变性。例如连接性、紧凑性)，

随着抽象代数的兴起，大约在1925年，A.E .诺特提出在群论的基础上建立组合拓扑。在她的影响下，H. hopf在1928中定义了同调群。从此，组合拓扑学逐渐演变为利用抽象代数来研究拓扑问题的代数拓扑学。比如维数和欧拉数，S. Allen Berg和N. E. Stranrod在1945中以公理化的方式总结了当时的同调理论，后来写出了《代数拓扑基础》(1952)，极大地促进了代数拓扑的传播、应用和进一步发展。他们把代数拓扑学的基本精神概括为:把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来解决。同调群，以及20世纪30年代引入的上同调环，都是拓扑到代数的过渡(见同调论)。直到今天，三角形和圆形都是同胚的；同调理论(包括上同调)提供的不变量在拓扑学中仍然是最容易计算的，所以也是最常用的。没必要做区分。

同伦理论研究空间和映射的同伦分类。W. leonid hurwicz从1935到1936引入了拓扑空间的N维同伦群，其元素是N维球面到这个空间的映射的同伦类，而？用它逆映射？-1:B→A都是连续的，一维同伦群只是基本群。同伦群提供了另一种从拓扑学到代数的过渡，确切的意思是同胚。它的几何意义比同调群更明显。上面提到的几何图形的连续变形是极难计算的。同伦群的计算，特别是球面同伦群的计算，促进了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950年，J.P .塞尔利用J.Leray发展的谱序列代数工具研究了纤维丛的同调理论，最简单的例子是欧氏空间。同伦群的计算取得了突破，为拓扑学的快速发展开辟了道路。

50年代末，在代数几何和微分拓扑学的影响下，产生了K理论，解决了一系列关于流形的拓扑问题，出现了几种广义同调理论。都是从拓扑学到代数的过渡，代数是广义的几何图形。虽然几何意义不同，比如物理中一个系统的所有可能状态构成所谓的状态空间，但代数性质非常类似于同调或上同调，是代数拓扑的有力武器。从理论上讲，很明显同调论(普通的和广义的)本质上是同伦论的一部分。

从微分拓扑到几何拓扑，微分拓扑是研究微分流形和微分映射的拓扑。这些性质与长度和角度无关。拉格朗日、黎曼和庞加莱已经研究过微分流形。随着代数拓扑和微分几何的进步，这些例子揭示了几何图形具有一些传统几何方法无法研究的性质。它在20世纪30年代重新出现。H Whitney 1935给出了微分流形的一般定义，并证明了它总能作为光滑子流形嵌入高维欧氏空间。为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，将许多几何问题与上同调(指示类)和同伦问题联系起来。

1953年，R. Thom的协同学理论(见微分拓扑学)开创了微分拓扑学与代数拓扑学并驾齐驱的局面，许多困难的微分拓扑学问题通过转化为代数拓扑学问题得以解决，也刺激了代数拓扑学的进一步发展。向量从驱动点到其图像点的旋转次数。1956年，J.W. Milnor发现，除了通常的微分结构，在七维球面上还有不寻常的微分结构。每个不动点也有一个“指数”，然后重新构造出不能被赋予任何微分结构的流形，说明拓扑流形、微分流形以及它们之间的分段线性流形之间有很大的区别，微分拓扑从此被公认为拓扑学的一个独立分支。1960年，S. Smale证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。J.W. Milnor等人发展了处理微分流形的基本方法——刨削技术，使五维以上流形的分类逐渐趋于代数化。

近年来，流形的研究取得了许多进展，如几何的学科和几何的方法。突出的地方如上述三类流形的关系以及三维和四维流形的分类。80年代初的重大成就包括:四维庞加莱猜想的证明和四维欧氏空间中不寻常微分结构的发现。这类研究通常称为几何拓扑学，以强调其几何色彩，但在环面上可以创建一个没有奇点的向量场。不同于代数味道浓厚的同伦理论。

拓扑学与其他学科的关系:连续性与离散性。这种矛盾普遍存在于自然和社会现象中，数学大致可以分为连续性和离散性两大类。拓扑学对连续数学具有基础性的意义，对离散数学有很大的推动作用。比如拓扑学的基本内容已经成为现代数学家的常识。拓扑学的重要性在于它与其他数学分支和其他学科的相互作用。

拓扑学与微分几何密切相关，/img/y2hhl 2 jhawtl 2 rizevdjevzmlndxjl3n 4 dhvcda 0 lmpwzw = =。JPG Target = " _ blank " > & lt；img src =/img/y2hhl 2 jhawtl 2 rizevdjevzmlndxjl3n 4 dhvcda 0 lmpwzw =。jpg向量场问题">向量场问题考虑光滑曲面上的连续切向量场，研究不同层次上流形的性质。要看是否不包含这两个图中的一个。为了研究黎曼流形上的测地线以及一个网络能否嵌入平面，H.M. Morse在20世纪20年代建立了非退化临界点理论，将流形上光滑函数的临界点的指数与流形的Betty数联系起来，发展成为一种大规模变分方法。Morse理论后来用于拓扑学，证明了典型群同伦群的Bote周期性(这是K理论的基石)，启发了处理微分流形的互补技术。微分流形，纤维丛，特征类。加当的全球微分几何提供了一个合适的理论框架，也从中获得了强大的动力和丰富的课题。G. piano在1890中创造了这样的“曲线”，陈省身在20世纪40年代引入了“演示类”，不仅对微分几何产生了深远的影响，而且一个参数(时间)连续变化的动点所描绘的轨迹就是一条曲线。对于拓扑学来说也很重要。简单的概念就是点移动成一条线，纤维丛理论和联结理论共同为理论物理中的杨-米尔斯规范场理论提供了现成的数学框架(见杨-米尔斯理论)，量纲问题“>；维度问题

拓扑学极大地促进了现代分析科学的发展。随着科学技术的发展，需要研究各种非线性现象，分析更加依赖于拓扑学。要问一个纽结能否解开(即能否转化为一个平圆)，J. Leray和J. P. Sauder在20世纪30年代把L . E.J Brouwer的不动点定理和映射度理论推广到Banach空间，形成了拓扑度理论。后者和前面提到的临界点理论，扭结问题“>；纽结问题空间中的自不相交闭曲线已经成为研究非线性偏微分方程的标准工具。所以这个色数也是曲面在连续变形下的不变性质。微分拓扑的进步推动了分析向流形分析(也称大规模分析)的发展。在Thom的影响下，进而被随意扭曲，微分映射的结构稳定性理论和奇异性理论发展成为重要的分支。S. Smale在60年代初创立的微分动力系统理论需要七种颜色。是流形上的常微分方程理论。M.F. Atia等人在60年代初建立了微分流形上的椭圆算子理论。著名的Atiya-Singer指标定理将算子的解析指标与流形的特征类联系起来，是分析与拓扑学相结合的一个例子。现代泛函分析的算子代数与K理论、指数理论和叶结构有着密切的联系。在多复变函数理论中，来自代数拓扑的层理论已成为一个基本工具。

拓扑学的需要极大地刺激了抽象代数的发展，形成了代数的两个新分支:同调代数和代数K理论。四色问题在平面或球面上画地图，代数几何从20世纪50年代开始完全改变了，曲面转化为多面体后的欧拉数υ-e+？它起着关键的作用(参见/Baike/% CA % FD % d 1% A7 _ % b 1% D5 % C7 % FA % C3 % E6 % B5 % C4 % B7 % D6 % C0 % E0.html target = _ blank >封闭曲面的分类)。Thom的协同学理论直接促进了代数簇的Riemann-Roche定理的产生，进而促进了拓扑K理论的产生。现代代数几何已经完全使用了同调语言。连续变形下有多少种不同类型的闭合曲面？代数数论和代数群在此基础上也取得了许多重要成果，如关于不定方程整数解个数估计的Weii猜想和莫德尔猜想的证明(见代数数论)。

范畴和函子的概念是在总结代数拓扑方法论时形成的。范畴论已经渗透到数学基础和代数几何的分支中(见范畴)；它对拓扑本身也有影响。流行的说法是画框有洞。例如，拓扑学的概念大大拓宽了拓扑空间的经典概念。凸形和框形比长短曲线有更本质的区别。

在经济学中，这说明j·冯·诺依曼首先用不动点定理证明了均衡的存在。在现代数理经济学中，经济数学模型的存在、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑、微分拓扑和大规模分析等工具。拓扑学在系统理论、博弈论、规划理论和网络理论中也有重要的应用。

Thom基于微分拓扑学中微分映射的奇异性理论创立了突变理论，为量变到质变的转变提供了各种数学模型。在物理、化学、生物、语言学等方面已经有了很多“欧拉多面体公式和曲面的分类”的应用>:欧拉多面体公式和曲面的亚欧拉发现，

拓扑学的概念和方法除了受到数学各个分支的间接影响外，对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学(如分子的拓扑构型)和生物学(如DNA包裹和拓扑异构酶)都有直接的应用。

拓扑学与数学、科学各领域之间的边缘研究方兴未艾。