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1.计算机图形学的动态理论与技术
(1)分形理论及其应用
分形理论是当今世界上非常活跃的新理论。分形理论作为一门边缘学科，认为自然界是由分形组成的。在世界上，对称和平衡的物体和状态是少数和暂时的，而不对称和不平衡的物体和状态是多数和长期的。分形几何是描述自然的几何。分形作为人类探索复杂事物的一种新的认知方法，在涉及组织结构和形态发生的各个领域都具有实际应用意义，在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了许多突破。分形的概念最早是由美国数学家B.B.Mandelbrot提出的，他在1967年发表了一篇题为《英国海岸线有多长？著名的报纸。
海岸线作为一条曲线，其特点是极不规则、极不平滑，呈现出极其曲折复杂的变化。它不能用常规和传统的几何方法来描述。我们无法从形状和结构上区分这部分海岸和那部分海岸的本质区别。这种几乎同等程度的不规则性和复杂性说明海岸线在形态上具有自相似性，即局部形态和整体形态相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物的情况下，空中拍摄的100公里的海岸线，看起来和两张放大的10公里的海岸线照片非常相似。
有人曾提出这样一个明显荒谬的命题:“英国海岸线的长度是无限的。”论点是这样的:海岸线破碎曲折。我们在衡量的时候，总是用一定的尺度来衡量一个近似值。例如，我们每65，438+000米设置一个基准。这样，我们就测出了一个近似值，这个近似值是沿着一条折线计算出来的。这条虚线中的每一段都是直线段，长度为100米。如果改为每10米设立一个基准点，则实际测量另一条折线的长度，其每段长度为10米。很明显，后面测得的长度会大于之前测得的长度。如果继续缩小尺度，测得的长度会越来越大。这样看来，海岸线的长度不是无限的吗？
为什么会有这样的结论？Mandelbrot提出了一个重要的概念:分形维数，又称分维。一般来说，尺寸是整数，直线段是一维图形，正方形是二维图形。数学上，欧氏空间中的几何对象被不断拉伸、压缩、扭曲，维数不变，这就是拓扑维数。但是，这种维度观并不能解决海岸线长度的问题。Mandelbrot是这样描述一个绳球的维度的:远距离观察绳球可以看作一个点(零维度)；从近处看，它充满了一个球形空间(三维)；再近一点，你会看到绳子(一维)；再往微观里说，绳子就变成了三维柱，三维柱又可以分解成一维纤维。那么，这些观测点之间的中间状态呢？很明显，绳球和三维物体之间没有确切的界限。为什么英国海岸线无法精确测量？因为欧几里得一维测度与海岸线的维度不一致。根据Mandelbrot的计算，英国海岸线的维度是1.26。利用分形维数的概念，可以确定海岸线的长度。
1975年，Mandelbrot发现自然界中广泛存在具有自相似性的形式，如连续的山川河流、漂浮的云彩、岩石中的裂缝、布朗粒子的轨迹、树冠、花椰菜和大脑皮层...Mandelbrot称这些在某些方面与整体相似的形式为分形，这个词来源于拉丁语Frangere，它有自己的特点。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是以他的名字命名的集合，是他在1980年发现的。他发现整个宇宙以一种意想不到的方式形成了自相似结构。Mandelbrot集合图的边界具有无限复杂和精细的结构。在此基础上，形成了一门研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论或分形几何。
分形的特征及其理论贡献
数学分形具有以下特征:
(1)具有无限精细的结构；
(2)比例自相似性；
(3)一般来说，它的分形维数大于它的拓扑维数；
(4)可以用非常简单的方法定义，通过递归迭代生成。
(1)和(2)解释了分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息。第(3)项说明了分形的复杂性，第(4)项说明了分形的生成机制。
将传统几何的代表欧几里得几何与以分形为研究对象的分形几何进行比较，可以得出以下结论:欧几里得几何是一个基于公理的逻辑体系，研究旋转、平移、对称变换下的角度、长度、面积、体积等各种不变量，其应用范围主要是人造物体；分形是通过递归迭代生成的，主要适用于自然界中形状复杂的物体。分形几何不再从单独的角度把分形中的点、线、面作为一个整体来看待。
我们可以从分形图案的特征来理解分形几何。分形图案具有一系列有趣的特性，如自相似性、对某些变换的不变性、内部结构的无限性等。此外，分形图案通常与某些几何变换相关联。在一些变化下，模式保持不变。从一个任意的初始状态开始，经过几次几何变换，图案就固定在这个特定的分形图案上，不再变化。自相似原理和迭代生成原理是分形理论的重要原理。
分形理论发展了维数的概念。在分形维数发现之前，人们习惯定义一个点为零维，一条直线为一维，一个平面为二维，一个空间为三维。爱因斯坦将时间维度引入相对论，形成四维时空。多方面考虑一个问题，可以构建一个高维空间，但都是整数维。
分形是20世纪出现的一种新的科学思想，是认识世界的新视角。从理论上讲，是数学思想的新发展，是人类对维数、点集等概念认识的深化和普及。同时与现实物理世界紧密联系，成为研究混沌的重要工具。众所周知，对混沌的研究是现代理论物理的前沿和热点之一。
由于对分形的研究，人们对随机性和确定性的辩证关系有了进一步的认识。对过程与状态的关系，宏观与微观的关系，层次之间的转化，无穷的丰富性也有有益的影响。
分形理论也是非线性科学的前沿和重要分支。作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态学的相似性，启发人们从有限中认识部分、认识无限，从而认识整体；第二，分形揭示了整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的一种新的形式和秩序；第三，分形从特定的层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分形理论的应用领域
除了理论意义，在实际应用中，分形也显示出了巨大的潜力。在很多领域都得到了有效的应用，应用范围之广，效益之大，显然远超十几年前的任何预测。目前，分形方法的大量应用案例层出不穷。这些案例涉及生命过程的演化、生态系统、数字编解码、数论、动力系统、理论物理(如流体力学、湍流)等。另外，也有人用分形理论做城市规则和地震预测。
分形技术在数据压缩中的应用就是一个非常典型的例子。《美国数学学会杂志》在6月刊1996上发表了巴斯里的文章《用分形压缩图形》。他在光盘制作中使用分形压缩图形。一般来说，我们总是将图形作为像素的集合来存储和处理。最常见的一张图片往往涉及几十万甚至上百万像素，因此占用了大量的存储空间，大大限制了传输速度。Basli在分形中使用了一个重要的思想:分形图案与某种变换有关，我们可以把任何图形看作某种变换反复迭代的产物。因此，要存储一个图，只需要存储关于这些变换过程的信息，而不需要存储图的所有像素信息。只要找到这个变换过程，就可以准确地再现图形，而不需要存储大量的像素信息。使用这种方法，在实际应用中，存储空间被压缩到1/8。
近年来，从分形理论发展而来的分形艺术，在表现形式和对分形几何的理解上也有了突破。分形艺术是一种二维视觉艺术，在很多方面与摄影有相似之处。分形图像作品一般通过电脑屏幕和打印机显示。分形艺术的另一个重要部分是分形音乐，它是由一种算法的多次迭代产生的。自相似性是分形几何的本质。有人利用这一原理构造了一些具有自相似片段的合成音乐。主题以小调重复循环，节奏上可以加入一些随机的变化。我们很多常见的电脑屏保程序也是通过分形计算得到的。
自从进入1990年代以来，人们开始越来越多地运用这一理论来研究经济领域中的一些问题，主要集中在对金融市场(如股票市场和外汇市场)的研究上。操纵者可以通过在某些时间点上的操纵，在微观尺度上使股价发生所期望的变化；从时间的宏观尺度来看，要使股票价格发生预期的变化，就要求操纵者具有相当的经济实力。从分形的角度来看，股票价格具有分形特征。一方面，股价具有复杂的微观结构；另一方面，它对时间具有尺度不变性，即在不同的观测尺度下具有相似的结构，其结构是复杂与简单、不规则与有序的统一。对于股价操纵者来说，在单个时间点，甚至是大的时间尺度上影响股价并不困难。然而，通过人为操纵来维持股票价格在微观和宏观时间尺度上的一致性将是非常困难的。
(2)曲面造型技术。它是计算机图形学和计算机辅助几何设计的重要内容，主要研究在计算机图像系统环境下曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于飞机、船舶的放样技术，由库恩斯、贝塞尔等大师在20世纪60年代奠定了理论基础。经过30多年的发展，现已形成了以参数化特征设计和以Bezier、B样条方法为代表的隐式代数曲面表示两种方法为主体，以插值、拟合、逼近为骨架的几何理论体系。随着人们对计算机图形显示的真实性、实时性和交互性要求的不断提高，几何设计对象向多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢的趋势，图形工业和制造业的集成化、一体化和网络化的加速，以及三维数据采样技术和激光测距、扫描等硬件设备的提高，曲面建模近年来取得了很大的进展。这主要表现在研究领域的迅速拓展和表达方式的开拓创新。
1.从研究领域来看，曲面建模技术已经从传统的研究曲面表示、曲面求交、曲面拼接扩展到曲面变形、曲面重构、曲面简化、曲面变换和曲面位置差。
变形或形状融合:传统的非均匀有理B样条(NURBS)曲面模型只允许调整控制顶点或权重因子来局部改变曲面形状，最多使用层次细化模型直接在曲面上的特定点上操作；一些基于参数曲线的简单曲面设计方法，如扫掠法、蒙皮法、旋转法和拉伸法，只允许调整生成的曲线来改变曲面形状。计算机动画行业和实体建模行业迫切需要发展与曲面表示无关的变形方法或形状调整方法，于是产生了自由变形(FFD)方法、基于弹性变形或热弹性等物理模型(原理)的变形方法、基于求解约束的变形方法、基于几何约束的变形方法、基于图像形态学中多面体对应或Minkowski和运算的曲面形状调整技术。最近，作者和他的学生刘立刚首创了主动局部球面坐标插值的新思路，对空间点集的内部变量进行了完整的数学描述，从几何内部解的角度设计了一套快速有效的三维多面体和自由曲面的形状调整算法，画面流畅，实时交互，实现了三维曲面变形技术难题的突破。
曲面重构:在精致的车身设计或者人脸类雕塑曲面的动画中，经常使用污泥建模，然后采样三维值点。在医学图像可视化中，也经常使用CT切片来获得人体器官表面的三维数据点。从表面上的一些采样信息恢复原始表面的几何模型称为表面重建。采样工具有:激光测距扫描仪、医学成像仪、接触检测数字化仪、雷达或地震勘探仪器等。根据重建曲面的形式，可以分为两类:功能曲面重建和离散曲面重建。
曲面简化:和曲面重建一样，这一研究领域也是目前国际上的热点之一。其基本思想是在保证模型精度的同时，去除三维重建后离散曲面或建模软件输出结果(主要是三角网格)中的冗余信息，有利于图形的实时显示、数据存储的经济性和数据传输的快速性。对于多分辨率曲面模型，该技术也有利于建立曲面的层次逼近模型，实现曲面的分层显示、传输和编辑。具体的曲面简化方法包括:网格顶点消去法、网格边界删除法、网格优化法、最大平面逼近多边形法和参数化重采样法。
曲面转换:同一曲面可以用不同的数学形式表示，不仅具有理论意义，在工业应用中也具有实际意义。比如参数有理多项式曲面NURBS，它包含了参数多项式曲面的所有优点，但也有微分运算繁琐耗时，积分运算无法控制误差的局限性。但是这两个操作在曲面拼接和物性计算中是不可避免的。这就提出了将NURBS曲面转化为近似多项式曲面的问题。同样的要求更多的体现在NURBS曲面设计系统和多项式曲面设计系统之间的数据传输和无纸化生产的过程中。再比如，在两个参数曲面的求交运算中，如果将一个曲面的NURBS形式转化为隐式，就很容易得到方程的数值解。近年来，国际图学界对曲面变换的研究主要集中在以下几个方面:多项式曲面逼近NURBS曲面的算法及收敛性；隐式Bezier曲线曲面及其反问题:CONSURF飞机设计系统Ball曲线向高维的各种扩展形式的比较与互化:有理Bezier曲线曲面的降阶逼近算法与误差估计:三角域和矩形域上NURBS曲面的快速变换。
Offset:又称曲面等距，在计算机图形学和处理中有着广泛的应用，因此成为近年来的热门话题之一。比如数控机床的刀具轨迹设计，就需要研究曲线的等距性。但从数学表达式中很容易看出，一般来说，平面参数曲线的等距曲线不再是有理曲线，超出了一般NURBS系统的应用范围，导致软件设计复杂，数值计算不稳定。
2.从表现形式上看，以网格细分为特征的离散建模比传统的连续建模更具创新性。此外，这种曲面建模方法在生动的特征动画和雕塑曲面设计与加工中得到了广泛的应用。
在1998获得奥斯卡的电影作品中，有一部短片，是由美国著名的皮克斯动画电影工作室选送的作品《盖瑞的游戏》。这幅漫画描述了一个名叫格里的老人，他在公园里和自己下棋，并尽力获胜。画面中的人物、景物细致生动，与故事融为一体，让观众真正享受到审美。这个漫画制作的设计者就是上面这篇论文的作者，著名的计算机图形学科学家T.DeRose，DeRose在SIGGRAPH'98大会上发表的论文谈到了选择C-C细分曲面作为Geri老头的特征建模模型的背景。他指出，NURBS已经广泛应用于工业建模和动画中，但它仍然具有局限性，尽管它长期以来被ISO用作定义工业产品数据交换的STEP标准。单个NURBS曲面与其他参数曲面一样，仅限于拓扑等价于一张纸、一个柱面或一个圆环面的曲面，不能表示具有任何拓扑结构的曲面。为了在特征动画中表现更复杂的形状，如人头、人手或衣服，我们面临着一个技术挑战。当然，我们可以使用最常见的复杂光滑曲面的建模方法，比如修剪NURBS。的确，有一些商业系统，如Alias-Wavefront和SoftImage，可以做到这一点，但它们至少会遇到以下困难:第一，剪枝成本高，有数值误差；其次，在曲面的连接处很难保持平滑，即使是近似平滑的，因为模型是在移动的。细分曲面有可能克服上述两个困难。它们不需要修剪，没有接缝，并且自动保证可移动模型的平滑度。DeRose成功应用了C-C细分曲面建模方法，同时发明了构造光滑轮廓线和变半径复合的实用技术，提出了服装模型中碰撞检测的有效新算法，构造了细分曲面的光滑因子场方法。有了这些数学和软件基础，他生动地表现了Geri的头和壳，手指和衣服，包括夹克，裤子，领带和鞋子。这些都是传统的NURBS连续曲面造型不容易实现的。那么，C-C细分曲面是如何构造的呢？它类似于传统的Doo-Sabin细分曲面。它从一个叫做控制网格的多面体(网格可以用激光从手工模型输入)开始，递归计算新网格上的每个顶点，它是原网格上部分顶点的加权平均。如果一个多面体的一个面有n条边，细分后，这个面将变成n个四边形。随着不断细分，控制网格逐渐磨光，其极限状态为自由曲面。它是无缝的，因此是平滑的，即使模型是活动的。这种方法大大减少了设计和构建原始模型的时间。更重要的是，允许对原始模型进行局部改进。这是它优于连续曲面建模方法的地方。C-C细分基于四边形，而Loop曲面(1987)和butterfly曲面(1990)基于三角形。它们都同样受到当今图形工作者的重视。
(3)计算机辅助设计与制造(CAD/CAM)。这是最广泛和最活跃的应用领域。计算机辅助设计(CAD)是利用计算机强大的计算功能和高效的图形处理能力，辅助知识工作者进行工程和产品设计分析，以达到理想目标或取得创新成果的技术。它是融合了计算机科学的最新发展和工程设计方法的一门新学科。计算机辅助设计技术的发展与计算机软硬件技术的发展和完善以及工程设计方法的创新密切相关。采用计算机辅助设计是现代工程设计的迫切需要。目前，CAD技术已广泛应用于国民经济的各个方面，其主要应用领域如下。
1.制造业中的应用
CAD技术已经广泛应用于制造业，尤其是机床、汽车、飞机、船舶、航天器等制造业。众所周知，一个产品的设计过程要经历几个主要阶段，如概念设计、详细设计、结构分析与优化、仿真等。
同时，现代设计技术将并行工程的理念引入到整个设计过程中，在设计阶段全面考虑整个产品生命周期。目前，先进的CAD应用系统已经将设计、绘图、分析、仿真和加工等一系列功能集成到一个系统中。目前常用的软件有UG II、I-DEAS、CATIA、PRO/E、Euclid等CAD应用系统，主要运行在图形工作站平台上。运行在PC平台上的CAD应用软件主要有Cimatron、Solidwork、MDT、SolidEdge等。由于各种因素，目前Autodesk公司的AutoCAD在2D CAD系统中占据了相当大的市场。
2.工程设计中的应用
CAD技术在工程领域的应用有以下几个方面:
(1)建筑设计，包括方案设计、三维建模、建筑效果图设计、平面风景、建筑结构设计、小区规划、日照分析、室内装修等CAD应用软件。
(2)结构设计，包括有限元分析、结构平面设计、框架/排架结构计算分析、高层结构分析、地基与基础设计、钢结构设计与加工等。
(3)设备设计，包括水、电、暖设备及管道设计。
(4)城市规划和城市交通设计，如城市道路、高架桥、轻轨、地铁等市政工程设计。
(5)市政管线设计，如自来水、污水排放、燃气、电力、供热、通信(包括电话、有线电视、数据通信)等各种市政管线的设计。
(6)交通工程设计，如道路、桥梁、铁路、航空、机场、港口、码头等。
(七)水利工程设计，如堤坝、运河、河海工程等。
(8)其他工程设计与管理，如房地产开发与物业管理、工程预算、施工过程控制与管理、旅游景点设计与布局、智能建筑设计等。
3.电气和电子电路中的应用
CAD技术最早用于电路原理图和接线图的设计。目前，CAD技术已经扩展到印刷电路板的设计(布线和元件布局)，在集成电路、大规模集成电路和超大规模集成电路的设计和制造中发挥了巨大的作用，极大地促进了微电子技术和计算与技术的发展。
4.模拟和动画
CAD技术的应用可以真实地模拟机械零件的加工过程、飞机的起降、船舶的进出、物体的损伤分析、飞行训练环境、作战方针制度、事故场景的重现等。在文化娱乐领域，计算机建模被广泛应用于模拟原始动物、外星人以及各种现实现实世界中不存在的场景，并将动画与实际背景和演员表演无缝结合，在电影制作技术上大放异彩，拍出了激动人心的大片。
5.其他应用
除了在上述领域的应用，CAD技术还将用于轻工、纺织、家用电器、服装、制鞋、医疗和医药，甚至体育。
CAD标准化体系进一步完善；系统智能成为另一个技术热点；集成化已成为CAD技术发展的一大趋势；科学计算可视化、虚拟设计和虚拟制造技术是90年代CAD技术发展的新趋势。
经过一个阶段的计算机图形学学习，对图形学中基本图形的生成算法有了一定的了解。深入学习图形学需要深厚的数学知识，每个细化方向需要不同的知识。图形学是计算机科学与技术的一门活跃的前沿学科，广泛应用于生物、物理、化学、天文、地球物理、材料科学等领域。深感这门学科范围之广令人惊叹，可以说是博大精深。