什么是摩尔根定律和韦恩定律？

分析:

维恩图:用于显示元素之间的重叠关系。

摩根定律:

加法关系a+b中所谓的素数分布问题，是指表为两个正整数之和的任意一个足够大的正整数M的个数的问题。因为当x→∞时，加法关系只能给出∞+∞=2∞的极限。所以对加法关系a+b中素数分布的研究只能在区间(0，2∞)上进行。有:

2 ∞ = 1+(2 ∞-1) = 2+(2 ∞-2) = ...= ∞ +∞显然，在加法关系a+b中，当a→∞时，那么B只能表示为∞ +1和超出自然数的∞+。因此，在加法关系a+b中，其基数已经超过了自然数集n..得出M的给定加法关系a+b中的元素是*** G，和自然数集N一样，*** G中的元素是传递的。②三叉神经。③对于每个元素a+b，只要在区间(1，∞)内，就一定是后继。④基础好。所以加法关系a+b是符合zermelo-fraenkel的和正则公理的，因为无限*** G元素中B的值本来就是自然数的扩展。

显然不能用埃拉托斯特尼筛选法对无限*** G井进行测序。因为埃拉托斯特尼筛选法只针对自然序列，所以它的p=x-H只适用于被考察元素只有一个自然数的性质。在自然序列中，筛选出任何一个自然数，都不会影响其他自然数的存在。但在加法关系a+b中却不是这样，因为*** G中的元素是由两个自然数之和组成的，筛选掉任何一个自然数必然会影响到另一个自然数的存在。从量变到质变，自然序列中得到的规律不适用于加法关系A+B。

本文考察加法关系a+b中两个正整数之和的性质，包括素数加素数、素数加和、和加和三类(此处不包括与1的加法)。所以，在*** G中，根据完备性原理，有:

质数加质数=G-质数加合数-合数加合数用符号表示，包括

P (1，1) = g-{(p，h)+h (1，1)}这个公式就是* * *理论中著名的摩根定律:A ~ ∩ B ~ = (A ∪ B)

因为在加法关系a+b中，设m为值，有元素m = 1+(m-1)= 2+(m-2)= 1...= M/2+m/2 * *还有M/2。摩尔根定律应用于加法关系a+b:在区间(1，m/2)中，所有具有复数性质的元素a+b概括为* * * * A；；在区间[M/2，M]内重置，其中a+b具有复数的性质概括为* * * * B；；那么A∪B=(p，H)+H(1，1)和

(a ∪ b) ~ = g-(p，h)-h (1，1)而*** A的补集A~是区间(1，M/2)中所有具有素数性质的元素的* *；*** B的补集B~是区间[M/2，M]内所有具有素数性质的元素的***之和。所以有A~∩B~=p(1，1)

综上所述，有

A ~ ∩ b ~ = p (1，1) = g-(p，h)-h (1，1) = (a ∪ b) ~摩根定律告诉我们，一个区域内有两个以上的* *。

既然是加法关系，就必须应用加法环中的公式。当m被设置为选定值时，根据唯一分解定理:

M = (p _ I) α * (p _ j) β *...* (p _ k) γ有。

M=np=(n-m)p+mp从这个公式可以知道，与m的素因子之和总是与另一个与m的素因子之和相加到同一个元素上..由唯一分解定理确定的A+b称为特征值。由于p的倍数总是加在同一个元素中，所以p每隔一个值就会有一个p的倍数加元素，所以在M=a+b中，如果特征值p的倍数的出现概率为1/p，那么与其互质的元素的出现概率为(1-1/p)。

此外，根据剩余类环

从公式M=nq+r=(n-m)q+mq+r可以看出，质数Q的任何一个不是M的质因数的倍数，永远不能加到同一个元素中有质因数Q的合数上，R就是两者之差。为了与特征值相区别，我们称它为残值，是根据它从残类环上得到的。因为r < q，q的每一个值，都会有两个素因子为q的元素，一个在A，一个在b，所以在M=a+b中，余值q的倍数的出现概率为2/q，与它互质的元素的出现概率为(1-2/q)。

对于与特征值p互质的系数(1-1/p)，从欧拉函数ψ(N)可知，特征值p中的系数是一个可积函数:M/2{∏p|M}(1-1/p)。那么，余值q的系数也是可积函数吗？因为与残值互质的系数(1-2/q)以前从未涉及过，是我的首创，所以需要论证它是否是可积函数。

设N=nq+r=(n-m)q+mq+r，把mq+r变成p的倍数，即mq+r=kp。我们可以看到“Q不能被kp整除，那么(q-1)的个数是:p，2p，...，(q-65438)。因为k < q，所以，在M=a+b中，p加到同一个元素上的倍数从M=(n-m)q+kp开始，如果连续加减pq，就有M =(n-M-IP)q+(k+IQ)p；每个pq值出现1≤i≤M/pq。

所以，在M=a+b中，q的倍数和p的互质，不仅要在(n-m)q本身中筛选出p的素因子的元素，还要在其组成元素对mq+r=kp的合数中筛选出p的素因子的合数。因此，在M=a+b中，由Q的倍数组成的元素a+b中与P互质的个数为M/q(1-2/p)。

在M=a+b中，如果p⊥M，q⊥M(其中符号⊥表示不可分)，与p和q互质的元素a+b分别为:M/2(1-2/p)和m/2 (65433)。

m/2(1-2/p)-m/q(1-2/p)=(m/2-m/q)(1-2/p)= m/2(1-2/p)。换句话说，在M=a+b中，质数不大于√M的互质系数是用逐步消去原理计算的，特征值和残值都是可积函数。

通过分析我们知道，在M=a+b中，特征值和非特征值都是可积函数。因此，在M=a+b中，素数小于√M的互质个数为:

P (1，1)= m/2 {∏p | m }(1-1/p){∏p⊥m }(1-2/p)。从公式的系数中，我们可以清楚地看到摩尔根定律的作用:用不大于√M的素数作为筛子，对于是M的质因数的素数的倍数，筛出的系数为(1-1/p)；对于m以外的质因数的素数的倍数，筛出系数为(1-2/p)。

当m为奇数时，因为素数2不是特征值，所以从余值的系数可以知道有一个零因子:(1-2/2)=0，所以当m为奇数时，两个奇素数之和的个数为零。

因此，在加法关系a+b中，要求p的个数(1，1)，m的值必须是偶数，即素数2必须是一个特征值才能得到p的个数(1，1)。从(1-1/p)>(1-2/p)可以看出，如果有其他不大于√M的素数作为特征值，系数不可能最小。所以只有当m = 2 n时才会有最小系数，p (1，1)= m/4 ∏( 1-2/p)= m/4 ∏( { p-2 }/p)。

根据自然数列中素数的排列顺序，相邻两个素数之差大于2，至少不小于2，所以有(p_n)-2≥(p_{n-1})。(2)将不等式(2)的结论代入(1)。我们可以得到p (1，1)≥M/4(1/p)≥M/4(1/√M)=√M/4，当M→∞时，有√M/4→∞。换句话说，如果大偶数表是两个奇素数之和，那么它的个数不会小于√M/4。所以，如果m是偶数，叫做哥德巴赫猜想，当a→∞，哥德巴赫猜想成立。

因为通解是在m为无穷大时得到的，当m为有限时，会有一定的误差。即便如此，系数也能很好地反映大偶数是两个奇素数之和的规律。因为从系数分析:对于相同特征值的M，M越大，p(1，1)越多:p(1，1)≥Lim(√N/4)→∞。

对于不同特征值的N，特征值越小P越多(1，1):如果P < q，则(1-1/P)(1-2/q)>(1)。

特征值越多，p(1，1)越多:

(1-1/p)>(1-2/p).

当然，这三个因素必须有机地结合起来，才能真实地反映p(1，1)的个数。

关于H(1，1)中具有相同出现概率但彼此不相交的剩余类值的子集，有:

φ，H(f，e)，H(g，e)，...，H(α，e)，H(β，e)，H(γ，e)，...

H(e，f)，φ，H(g，f)，...，H(α，f)，H(β，f)，H(γ，f)，...

H(e，g)，H(f，g)，φ，...，H(α，G)，H(β，G)，H(γ，G)，...

......

H(e，α)，H(f，α)，H(g，α)，...，φ，H(β，α)，H(γ，α)，...

H(e，β)，H(f，β)，H(g，β)，...，H(α，β)，φ，H(γ，β)，...

H(e，γ)，H(f，γ)，H(g，γ)，...，H(α，γ)，H(β，γ)，φ，...

其中e < f < g <...<α < β < γ ∈ w ≤√ n .我们将上述子集划分为商集，不失一般性，设子集H(β，α)。由于H(α，x)∩H(x，α)=φ，显然存在H(α，e)∩H(β，α)=φ，H (α，f) 𕪩.α) = φ，H(g，β)∩H(β，α)=φ，...，H(α，β)∩H(β，α)=φ除了场所，其他子集与H(β，α)明显相交:

H(f，e)∩H(β，α)=H(fβ，eα)，H(g，e)∩H(β，α)=H(gβ，eα)，...，H (β，e) ∩ H(。但是对于不同类别子集的交集，我们有:

H(fβ，eα)∈H(β，eα)，H(gβ，eα)∈H(β，eα)，...？从子集的包含可以知道，这类子集的交集已经被同一个模块类的子集的交集所包含，所以可以直接删除。(因为找不到包含符号，所以改为属于∈)。

因此，当子集H(β，α)的元素被划分时，可以用子集H(β，α)所在的行和列的方向上的模的子集划分成商集。

从直线的方向看，有子集H(e，α)，H(f，α)，H(g，α)，...依此类推相交:

H(e，α)∩H(β，α)=H(eβ，α)，H(f，α)∩H(β，α)=H(fβ，α)，H(g，α)∩H(β，α)=H(gβ，α)，...。

从列的方向看，有子集H(β，e)，H(β，f)，H(β，g)，...与它相交的是:

H(β，e)∩H(β，α)=H(β，eα)，H(β，f)∩H(β，α)=H(β，fα)，H(β，g)∩H(β，α)=H(β，gα)，...。

但是因为在行和列方向上存在不相交的子集:

H(e，α)∶H(β，e)=φ，H(f，α)∶H(β，f)=φ，H(g，α)∶H(β，g)=φ，...。因此，在与H(β，α)的交集处生成不相交的平行子集:

H(eβ，α)∶H(β，eα)=φ，H(fβ，α)∶H(β，fα)=φ，H(gβ，α)∶H(β，gα)=φ，...。所谓不相交的平行子集是指不相交的子集在出现概率的数值上是相同的。

但是对于不平行的子集，显然有:

H (eβ，α) ∩ H (fβ，α) = H (eβ，α) ∩ H (fβ，α) = H (fβ，eα)，H (eβ，α) ∩ H (β。因此，产生了不相交的平行子集:

H(efβ，α)∩H(fβ，eα)=φ，H(efβ，α)∩H(eβ，fα)=φ，...。

根据行和列两个方向上不相交子集的几何性质，可知不相交平行子集的个数由几何等级2 n组成。

综上所述，当子集H(β，α)划分为商集时，由于存在不相交的平行子集，显然目前的逐步淘汰原理不再适用于计算这类商集(否则会很繁琐)，必须寻找新的方法。

因为不相交平行子集出现概率的数值是相同的，所以我们可以用相同的符号来表示不相交平行子集，不相交平行子集的个数用它们旁边的系数来表示。由于不相交的平行子集属于且仅属于一个商子集，系数对子集中的元素没有影响，而逐步消去原理正好可以作用于元素。这样，逐步淘汰原则的一般形式就可以维持。因此，对于位于对角线右上角的商集子集，可以有类似于逐步淘汰原理的计算方法:

H(f，e)，H(g，e)-H(fg，e)，H(h，e)-H(fh，e)-H(gh，e)+H(fgh，e)，...。

- H(g，f)-2H(eg，f)，H(h，f)-2H(eh，f)-H(gh，f)+2H(egh，f)，...。

- H(h，g)-2H(eh，g)-2H(fh，g)+4H(efh，g)，...。

-......

上面的字母e，f，g，...都表示不大于√N且不是m的质因数的素数。

设p _ 1 < p _ 2 <...< p _ t ∈ w ≤√ n，位于对角线右上方的第n行第m列的子集为H(p_m，p_n)其中n < m，从行的方向看，有m-2个子集与之相交，从列的方向看，有n-1个子集与之相交。由于n < m，已知n-1≤m-2，所以产生的不相交平行子集最多为2 (n-1)。

从类似于淘汰原理的表中找出第N行第M列，进行商集分割，计算如下:

π{H(p_m，p _ N)}/(N/2)=(1/{ p _ N } { p _ m }){ 1-({ N-1∑I = 1 }(2/p _ I)+{ m-1∑I = N+1 }(1/p _ I))+({∑66...+(-1)^{m-2}(2^{n-1}/{p_1}{p_2}...{p_(n-1)} {p_(n+1)}...{ p _(m-1)} } =(1/{ p _ n } { p _ m })(1-2/p _ 1)(1-2/p _ 2)...(1-2/p _ { n-1 })(1-1/p _ { n+1 })...(1-1/p _ { m-1 })=(1/{ p _ n } { p _ m }){ n-1∏I = 1 }(1-2/p _ I){ m-1∏I = n+1 }(1

因为H(p_m，p_n)和H(p_n，p_m)的元素个数相同，并且商集的对象在值上也相同，所以很明显，位于对角线右上方的商集子集的出现概率之和等于位于对角线左下方的商集子集的出现概率之和。所以我们只需要找到n < m时商集子集的出现概率，将和的值乘以2。

显然* * *中的元素是由几个自然数组成的，不同的量有不同的筛选方法，不能视为相同。π(x)函数过滤自然序列，不能用于过滤加法关系A+B。

用摩尔根定律解决加法关系a+b中的素数分布问题，就像厄拉多塞筛选法一样，是一件很简单的事情，只要应用否定之否定定律，就能找到。诚然，与厄拉多塞筛选法相比，加法关系a+b中的素数分布问题确实比在自然序列中寻找素数的个数更难。但只要懂得如何从量变到质变，按规律办事，所谓的困难就迎刃而解了。因为无论是自然数列中的素数分布问题，还是加法关系a+b中的素数分布问题，都是有序* * *中的问题，而有序* * *的正则性提供了解决它们的充要方法。只要我们充分注意* * * *的完备性，解题方法就呈现在我们面前了。

根据加法关系a+b的顺序，通过分析相关的加法公式，可以简单地写出加法关系a+b的良序链:x=np=(n-m)p+mp，X = NP+R = (n-m) P+MP+R，但由于得到的通解包含了无穷多个特解，所以只能列举几个特解来说明。

当m的值是奇数时，因为有一个零因子，不管它的特征值是什么。在良好秩序的链条中，总有这样一个标志:2 = 2 <...由最小素因子诱导，所有自然数都由这两个不相交的商集* * *诱导，所以有p(1，1)=0。

设m = 2 n，此时只有唯一素数2为特征值，所以其良序链的标志为:

2<3=3<5=5<7=7<11=11<13=13< ...

p (1，1)的出现概率为p(1，1)/(m/2)= 1/2∏(1-2/p)。

综上可见，所谓大偶表是两个奇素数之和，它只是选择公理在基于最小素数除数的加法关系a+b中不能导出的最小元素。

但是现在的数论并不是按照规律的东西行事，相反，它想把东西和没有必要的东西混为一谈。以陈定理为例，陈景润先生在论文开头说:

设P_x(1，2)是适合下列条件的素数P的个数:

X-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)其中p_1，p_2，p_3都是素数。

用x表示一个足够大的偶数。

生活Cx={∏p|x，p & gt2 }(p-1)/(p-2){∏p & gt；2 }(1-1/(P-1)2)对于任意给定的偶数H和足够大的X，用xh(1，2)来表示满足以下条件的素数P的个数:

P ≤ x，p+h = p _ 1或h+p = (p _ 2) * (p _ 3)，其中p _ 1，p _ 2，p _ 3都是素数。

本文的目的是证明和改进作者在文献[10]中提到的所有结果，具体如下。显然，x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)是他研究哥德巴赫猜想时的前提。Cx的表述只说明使用的方法是解析数论，是研究哥德巴赫猜想的工具。

如果不仔细分析简短的开场白，很难发现哪里出了问题而被忽略。但就是这样的疏忽，使得陈定理可以从莫须有的境地发挥出数学中的著名定理。我们来详细分析一下陈定理的前提x-p，考察一下适合这个条件的自然数(注意不是适合这个条件的素数P，是正在考察适合这个条件的素数P的陈景润先生)。

x用来表示一个足够大的偶数，自然序列中的素数p列为:

p=2，3，5，7，11，13，17，19，23，...。

那么x-p的顺序是:

x-p=x-2，x-3，x-5，x-7，x-11，x-13，x-17，x-19，x-23，...。

如果用给定的偶数H来描述，设h=50，那么h-p的序列是:

50-p=48，47，45，43，39，37，33，31，27，...。

设h=52，那么h-p的顺序是:

52-p=50，49，47，45，41，39，35，33，29，...。

设h=54，那么h-p的顺序是:

54-p = 5251，4947，4341，37，35，31，...。

...诸如此类。

考察x-p或h-p的自然数已经明确告诉我们，被考察的自然数不是等差数列，被考察的自然数随偶数的值而变化(即出现在这个所谓数列中的自然数不一定出现在另一个数列中)。换句话说，在x-p自然数的排列中，无法确定会出现什么样的自然数，所以x-p就是一些不规则自然数的累加。在这种不确定自然数的积累中，连会出现什么样的自然数都无法得知，那么如何确定自然数是质数还是合数呢？显然，陈景润先生所设定的:“设P_x(1，2)为满足以下条件的素数P的个数:x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)”是漫无目的的，完全没有作出过仅由想象作出的假设。

在考察了x-p的不规则自然数的累加之后，我们知道这个累加不是等差数列。但在数论中，所谓研究哥德巴赫猜想的工具，是研究等差数列的特殊工具。用学术权威的话说:

研究等差数列中素数的分布是一个非常困难但又非常重要的问题。是研究哥德巴赫猜想的基本工具。如果我们用π(x；k，l)表示不超过X的等差数列l+kn中素数的个数，则证明了以下定理:

定理3.3若k ≤ log 20x，则有π(x；k，L)= { lix/ψ(x)}+o { xe(-c(logx 1/2))。(3.53)这里ψ(k)是欧拉函数，c是正常数。

定理3.3是解析数论中的一个重要定理，它是经过许多数学家的努力得到的，是我们研究哥德巴赫猜想的基本定理。由于定理的证明需要极其深奥的分析方法，这里就不做证明了。

注:这里的条件k ≤ log 20x只是为了描述方便。事实上，当k ≤ log a x时，定理也成立，其中a是任意固定的正常数。参见65页潘承东教授的《素数分布与哥德巴赫猜想》。

所以陈定理中Cx采用的解析数论只能在等差数列中起作用，而对x-p这种非等差的不定数堆(任何方法对x-p这种不定数堆都是没用的)。陈景润先生以谬误为前提发展出来的定理能正确吗？

只要有点逻辑思维的人都知道，把不相干的东西拼凑起来，是不可能找到规律的。但目前数论的工作恰恰是连最基本的逻辑都不讲。