与国界有关的论文
在论文的第一部分，曼德尔伯格讨论了路易斯·弗雷·理查森测量的海岸线和其他自然地理边界之间的长度如何取决于测量尺度。Richardson观察到，在不同国家的边界测量的长度L(G)是测量尺度G的函数。他从几个不同的例子中收集数据，然后猜测L(G)可以通过以下形式的函数进行估计:
L(G)=MG1-D
曼德尔伯格将这一结果解释为表明海岸线和其他地理边界可以具有统计自相似性，指数D计算边界的豪斯多夫维数。从这个角度看，理查森研究的例子有一个从南非海岸线1.02到英国西海岸1.25的维度。
在论文的第二部分，曼德尔伯格描述了关于科赫雪花的不同曲线，这些曲线都是标准的自相似图形。Mandelberg展示了计算它们的Hausdorff维数的方法，所有维数都在1和2之间。他还提到了peano曲线，充满空间，维数为2，但没有给出它的结构。
这篇论文非常重要，因为它不仅展示了曼德尔伯格早期关于分形的思想，也是数学对象与自然形式之间联系的一个例子——曼德尔伯格后续许多作品的主题。
英国的海岸线有多长？
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欧氏几何的研究对象是具有特征长度的几何对象；
一维空间:线段，有长度，无宽度；
二维空间:有周长和面积的平行四边形；
三维空间:球体、表面积、体积；
自然界中很多物体都有特征长度，比如:人有高度，山有海拔等。
有一类问题比较特殊。Mandelbrot提出了这样一个问题:英国的海岸线有多长？
也许你会觉得这个问题太简单了，测量海岸线不容易。你可以通过使用地图或航测来得到答案。
然而1967年，在国际权威的美国杂志《科学》上发表了一篇划时代的论文，题目是《英国海岸线有多长？在《统计自相似与分形维数》中，作者贝奥尼特·曼德尔布洛特(Beonit Mandelbrot)是当代的法裔美国数学家和计算机专家，当时他正在纽约IBM的研究中心工作，但他的回答让你大吃一惊:他认为无论你做得多么仔细，都无法得到准确的答案，因为根本就没有准确的答案。英国海岸线的长度不确定！这取决于测量时使用的尺度。
原来，海岸线由于海水的长期冲刷和陆地本身的运动，形成了大大小小的海湾和海角。
如果你乘坐飞机沿着海拔10000m的海岸线飞行，同时拍摄海岸的照片，然后以适当的比例计算这些照片显示的海岸总长度，答案准确吗？不要！因为，你在高空分不清很多小海湾和小海峡。
如果你改乘一架小飞机，在500米的高度重复上述拍摄和测量，你会看到很多以前没有看到的细节，你的答案会大大超过上一个。
现在假设你在地面上。如果以千米为单位测量长度，那么几米到几百米的弯曲将被忽略，无法统计。设长度为l 1；用长度为10m的量规测量海岸线的长度，那么那些在空中看不清楚的弯道会让海岸线变长，L2 > l 1；比如换一个长度为1m的轨距，可以把忽略的弯都统计出来，结果会继续增加，但还是有几厘米、几十厘米的弯被忽略，得到的长度是L3 > L2 > l 1；以此类推，测量越精确，海岸线揭示的细节就越多，你得到的海岸线就越长(图19)。可想而知，以分子、原子尺度为单位，测得的长度将是一个天文数字。虽然这没有实际意义，但是说明随着测量单位变得无限小，海岸线长度也会变得无限长，所以是不确定的。所以长度是。
当然，就人力而言，你可能用1m量规测量完就停止测量了，物理学家可能会认为这个测量过程必须达到一个原子层面的理论极限，但是从数学家理想化的角度来看，这个越来越细致的测量过程可以无限地继续下去，也就意味着相应的测量结果会无限地增加，也就是说所谓的海岸线长度并没有确切的数学定义，通常我们所说的海岸线长度只是在一定的尺度上。伯努瓦·曼德尔布罗说，事实上，任何海岸线的长度在某种意义上都是无限的，或者说海岸线的长度取决于统治者的长度。
Mandelbrot在英国数学家Lewis Fry Richardson的最后手稿中一篇鲜为人知的晦涩论文中首次遇到了海岸线长度的问题。这个问题引起了他极大的兴趣，他潜心研究起来。其中，他探索的很多有争议的话题后来成为混沌理论的一部分。起初，刘易斯·弗莱·理查森(Lewis Fry Richardson)为了了解一些国家曲折的海岸线长度，翻阅了西班牙、葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书。他发现书中对同一个国家海岸线长度的估算有20%的误差。Lewis Fry Richardson指出，这种误差是由于他们使用了不同的长度标尺造成的。同时，他发现海岸线长度L与测量尺度S的关系如下。值得注意的是，log(1/s)与log(L)的关系是线性的，其斜率是某个值D:，即其中lgk≈3.7，d≈0.24。很明显，如果我们画lgL，直线的斜率就是d。
Mandelbrot以独特的眼光发现Richardson在1961年得到的边界长度L (r)= Kr1-a的经验公式可以作为这样一个参数来描述海岸线的特征，他称之为“规范维数”，这是著名的分形维数之一。对这一问题的研究成为了曼德勃罗思想的转折点，分形的概念也由此萌芽。他最终将康托尔的三多样性、科赫曲线等一个世纪以来被传统数学视为“病态”和“怪物型”的数学对象统一到一个全新的几何体系中，使一门新的数学分支——分形几何跻身于现代数学之列。
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用不同的量规测量海岸线长度的一个简单比喻
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很明显，用人的脚步去测量和用一只蚂蚁去测量会有天壤之别，因为蚂蚁爬的弯会比人多很多，所以测量结果会远大于人的结果。假设有一个无限小的生物，那么测量结果将是无限的。别忘了，在蚂蚁眼里，我们比鲸鱼还大。《格列佛游记》中有关于观察尺度的精彩描述。当格列佛到达巨人之地时，他发现没有一个女人是美丽的，因为在他的小眼睛里，他能清楚地看到女人每一个狰狞的毛孔。作为阅读对象的文本可以比作英国的海岸线。说文无解，不是说文无。是英国的海岸线，但是到底有多长，不同的读者有不同的测量结果。但是谁会赢呢？蚂蚁的结果不算吗？
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请帮助联合国特使。
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问题:A和B有相同的土地边界线，向B方向弯曲(图20)。边界线对面有一个战略高地，原属两国所有。上世纪80年代，A国重新测量边界，测得的边界长度大于原记录长度。按照新测得的长度，这个高地完全落在A国的版图内，于是A国要求B国把高地放进去。
方案:向两国指出边界线是一条分形曲线，用传统的测量方法无法得到确定的长度。随着测量单位的减少，测量长度会增加。一个新国家测出来的长度比原记录长度大，正是因为她在测量的时候用了更小的码尺。因此，一方面可以用分形几何理论对两国进行解释，另一方面可以用两国到边界进行论证。
思考:
1.为什么长度不再是海岸线的特征量？
2.为什么在测量海岸线长度时，海岸线会随着测量单位的减少而变得越来越长？
3.了解科赫雪花曲线的生成过程并加以探究，理解曼德尔布罗特为什么选择科赫雪花曲线作为海岸线的数学模型。