自然对数e的由来和证明

e的全称是自然对数的底数，不是自然对数，自然对数是ln。自然对数的底数e一般认为是欧拉(1707-1783，瑞士)在研究微积分时发现的。E = lim (1+1/x) x，x趋近正无穷大时的极值。在计算中，一般取e=1+1/(1！)+1/(2!)+1/(3!)...，条目越多，越准确。与上次提到的圆周率相比，e对人类的重要性不如π明显。但是e无处不在。-古代人对E的理解公元前65438年+公元前0700年左右，古巴比伦人曾经问过一个问题:如果你以20%的年利率借钱给别人，一年后你有多少钱？这个问题无非就是一个简单的公式:1x(1+0.2)1 = 1.2如果每半年复利一次，第一年的本息之和就是1x (1+0.2/2) 2 = 60。就是1x(1+0.2/4)4 = 1.21550625。如果一个月复利一次，就是1.2193910849。每天复利一次。第一年本息之和分别为1.221399696，1.2214027117，1.2214027574。从上面的计算可以看出，年利率不变，分期复利，期数增加，本息和增长缓慢；但是，无论期数如何增加，本息之和都不会无限增加，而是有一个永远无法超过的“上限”。这个封顶就是一直复利的时候第一年的本金和利息之和。用数学语言来说就是期数趋于无穷大时第一年本息之和的极限。稍微懂点微积分就能算出这个极限等于E 0.2 = 1.221402 7581。巴比伦人不知道这个连续复利的问题。显然，在古代讨论这么大的小数是很痛苦的。-伯努利家族对E的贡献瑞士著名数学家雅各布·伯努利(1683)研究过。但他只是提出了一个公式，认为这个数字应该在2到3之间，并没有得到完整的数据。因为那时候还没有极限的概念。顺便说一下，伯努利家族三代培养了八位天才科学家。这个雅各布·伯努利迷上了赌博游戏中的输赢数，写下了他的杰作《猜谜》。他还解决了悬链线问题(1690)、曲率半径公式(1694)、伯努利双纽线问题(1694)、伯努利微分方程(1695)和等周问题(65433)。另外，他非常热爱对数螺线，人们谈论最多的一件趣闻就是雅各布痴迷于研究对数螺线，这是从1691开始的。他发现对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线。比如，它的拐点线和延长线是对数螺线，竖足从极点到切线的轨迹，以极点为发光点反射对数螺线得到的反射线，与所有这些反射线(回射线)相切的曲线都是对数螺线。他惊叹于这条曲线的神奇，甚至在遗嘱中要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并配以一句悼词“即使变了，也还是我”，以象征死后不朽。还有一个约翰·伯努利，他不仅解决了悬链线问题(1691)，还提出了罗必达法则(1694)、最速下降线(1696)和测地线问题(1697)，并给出了积分的变量替换法(1697)。除了出版了《积分学教程》(1742)，还有一个对人类数学领域最大的贡献，就是培养了一个好学生——欧拉。学物理的同学也听说过另一个伯努利:丹尼尔·伯努利，他是上面约翰的儿子。这个人对流体力学有很大贡献。研究了弹性弦(1741 ~ 1743)的横向振动，提出了声音在空气中的传播规律(1762)。著作还涉及天文学(1734)、引力(1728)、圣汐湖(1740)、磁学(1743、1746)、振动理论(65438+)。远的不说，我们回到自然对数。——天才欧拉的诞生现在，轮到欧拉上场了。之前，我们先用点篇幅介绍一下这位欧拉先生。欧拉的一生是传奇的。他不到十岁时就开始自学代数。要知道，当时很多欧洲骑士还是文盲。他在大学时被约翰·伯努利提拔，然后丹尼尔·伯努利把他推荐到俄罗斯彼得堡的科学院。可以说伯努利家族是欧拉的贵人。欧拉可以在三天内计算出彗星的轨道。1771年，彼得堡遭遇大火，欧拉的书房被毁。然而，他双目失明，花了一年时间凭记忆重写了大部分论文。欧拉写了886本书和论文。在他死后，彼得堡的科学院花了47年来整理它们。欧拉能背出前100个素数的前10次方。欧拉创造了许多新的符号，如π(1736)、i(1777)、e(1748)、sin和cos(1748)、tg(1753)。F(x)(1734)几乎每个数学领域都有欧拉的名字，从初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、四次方程的欧拉解到数论中的欧拉函数、微分方程的欧拉方程、级数论的欧拉常数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式等等。他对数学分析的贡献更具有独创性，《无穷小分析导论》一书是他划时代的代表作。哥德巴赫猜想也是在他与哥德巴赫的通信中提出的。欧拉还首次完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜和显微镜的设计计算理论。欧拉首先将对数定义为幂的逆运算，并首次发现对数有无穷多个值。他证明了任何非零实数r都有无穷对数。欧拉使三角学成为一门系统的科学。他首先用比值给出了三角函数的定义，但之前一直用线段的长度作为定义。欧拉的定义让三角学跳出了只研究三角表的圈子。欧拉对整个三角学进行了分析研究。在此之前，每一个公式都只是从图表中推导出来的，大部分都是通过叙述来表达的。而欧拉从最初的几个公式解析推导出所有的三角公式，得到了很多新的公式。欧拉用A、B、C来表示三角形的三条边，用A、B、C来表示与第一条边相对的角，从而大大简化了叙述。欧拉的著名公式把三角函数和指数函数联系起来。如果你不想看上面这一段，可以不看。你们高中数学都学过。在老师的指导下，欧拉很快提出了用无限阶乘的倒数之和来表示自然对数的底数的公式。有了公式，就简单多了。据说他用手算到了小数点后23位。考虑到这个牛逼的人记忆力极好，这样的事情似乎也很正常。自然对数的出现不仅解决了悬链线方程，而且对当时流行的天文学——西方占星术也有重要意义。对数使得复杂的乘法可以转化为简单的加法，只要查对数表就可以了。与此同时，对数尺应运而生。当然，在计算器普及的今天，这种东西已经很少有人用了。-分割线，版本c #包括